petroleros/Administración de Pemex Exploracion ... - cedip

⎡ 3.0 3.0 3.0 ⎤⎡
3.0 3.0 3.0⎤⎡−
5.0 3.0 3.0⎤
⎢
⎢
3.0 0.0
⎥⎢
3.0
⎥⎢
− 5.0 0.0
⎥⎢
3.0
⎥⎢
− 5.0 0.0
⎥
3.0
⎥
⎢
⎣− 5.0 − 5.0 − 5.0⎥
⎦
⎢
⎣−
5.0 − 5.0 3.0⎥
⎦
⎢
⎣−
5.0 3.0 3. 0⎥
⎦
Otras matrices de peso que se utilizan son: la de
Sobel, Prewitt, Isótropa o la de Robinson.
Atenuación
El coeficiente de atenuación o absorción α se
obtiene del inverso del factor elástico de calidad Q:
π f π
α = = , (14)
VQ λ
donde V, f, y λ son respectivamente velocidad,
frecuencia y longitud de onda. Un método típico
para obtener absorción es la razón espectral, muy
utilizado en sismología de terremotos. La
atenuación se calcula de varias maneras. Se
puede obtener de la transformada corta de Fourier.
No obstante, es poco resolutiva. Por lo que aquí
utilizamos una transformada ondicular continua
conocida como transformada de Wigner. Refiérase
a trabajos previos en sísmica bidimensional (Del
Valle-García et al., 2002; Ramírez et al., 2004)
para los detalles matemáticos y prácticos del
método.
La transformada de Wigner puede ser interpretada
como la transformación bidimensional de Fourier
de una función de ambigüedad de peso de la
señal. La distribución de Wigner (DW) es una
transformada corta de Fourier reescalada que
utiliza la señal tiempo reversa como ventana y
provee óptimamente un compromiso de resolución
entre el tiempo y la frecuencia. La DW es una
función cuadrática de la señal:
W t
(,
ω) ∫
∞
τ * τ −i
= s(
t + ) s ( t − ) e
ωτ dτ
−∞
2
2
. (15)
Q
−1
LSQ
=
{ ln[ Wˆ
( t , f )]} LSQ{ ln[ Wˆ
( t , f )]}
2
− 2π
f ( t
2
− t )
1
1
, (16)
donde LSQ denota el ajuste por mínimos
cuadrados de la razón del logaritmo de las
distribuciones de Wigner tomadas a los tiempo t 1
y
t
2
.
Inicialmente, se calcula la transformada de Hilbert
de los datos para obtener datos analíticos.
Después se calcula la transformada Wigner de
cada traza sísmica (vector columna) para obtener
una representación tiempo-frecuencia simultanea
(matriz) que permite obtener el cálculo de la
atenuación precisamente. Se normalizan los
valores de la matriz [0,1] y con regresión lineal se
obtiene la atenuación para cada tiempo α :
( − f )
P ( f ) = a ⋅ exp α , (17)
donde P(f) es el espectro de potencia local.
Conociendo las velocidades del medio (de
intervalo), α se obtiene de las ecuaciones (14) y
(16).
La regresión puede ser optimizada utilizando, por
ejemplo, el algoritmo de Marquardt, que permite
realizar pertinentemente regresiones no-lineales.
Para este algoritmo se necesita derivar el
gradiente y el Hessiano de la función de error:
El gradiente:
N
i = 1
( ( )) 2
y − a exp − α
R( a,
α ) = ∑ i
x i
. (18)
∂R
= 2
∂a
N
∑
i = 1
2a
N
y
∑
i = 1
i
exp
exp
( − α x )
( − 2α
x )
i
i
−
(19)
El factor de calidad Q se obtiene de:
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