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24 CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE ORDENACIÓN Merge-Sort(A,p,r) if p < r then q := ⌊ ⌋ p+r 2 Merge-Sort(A,p,q) Merge-Sort(A,q + 1,r) Merge(A,p,q,r) El procedimiento Merge toma un arreglo A y tres índices p ≤ q < r, supone que A[p..q] y A[q + 1..r] están ambos ordenados y mezcla sus valores de manera tal que al finalizar A[p..r] está ordenado. Esto se puede hacer en tiempo lineal con respecto a r −p (o sea el largo de la porción que se quiere mezclar) y su implementación se deja como ejercicio. La propiedad más importante de un procedimiento que mezcle en tiempo proporcional a r−p es que obligatoriamente necesitará de un arreglo auxiliar para poder realizar la mezcla, lo que diferencia este algoritmo de los dos anteriores que sólo utilizaban el mismo arreglo para ordenar. Para calcular la complejidad de Merge-Sort usaremos relaciones de recurrencia. Supongamos que designamos por T(n) a la complejidad de tiempo (cantidad de operaciones) que le toma a Merge-Sort ordenar un arreglo de tamaño n. No es difícil notar que T(n) debe cumplir la siguiente ecuación: ( n ) T(n) = 2T + c · n (2.1) 2 ya que para ordenar el arreglo de tamaño n primero deberá ordenar cada una de las mitades del arreglo para finalmente mezclarlas. En ordenar cada mitad la cantidad de tiempo que tarda es T ( ) n 2 y en mezclarlos toma Θ(n), que hemos representado por el término c·n, con c una constante. El caso base de la relación de recurrencia es cuando el arreglo tiene tamaño 1, es este caso ya que T(1) es Θ(1), diremos que T(1) = c para alguna constante c. Para desarrollar la anterior relación haremos un cambio de variables que nos simplificará los cálculos, diremos que n = 2 k para algún k, entonces T(n) = T(2 k ) y desarrollando obtenemos: T(2 k ) = 2T(2 k−1 ) + c · 2 k = 2(2T(2 k−2 ) + c · 2 k−1 ) + c · 2 k = 2 2 T(2 k−2 ) + c · 2 k + c · 2 k = 2 2 (2T(2 k−3 ) + c · 2 k−2 ) + c · 2 k + c · 2 k = 2 3 T(2 k−3 ) + c · 2 k + c · 2 k + c · 2 k . = 2 i T(2 k−i ) + i · c · 2 k . = 2 k T(1) + k · c · 2 k = c · 2 k + c · k2 k = c · (2 k + k2 k ). Ahora, dado que habíamos hecho el cambio n = 2 k (y por lo tanto k = log 2 n) obtenemos T(n) = c · (n + nlog 2 n) De donde concluimos finalmente que T(n) es Θ(nlog n). Una forma alternativa de obtener este resultado de complejidad para Merge-Sort es usando la técnica de árboles de recursión que se muestra en la figura 2.3.
2.1. ALGORITMOS SIMPLES DE ORDENACIÓN 25 Figura 2.3: Árbol de recursión para la complejidad de Merge-Sort. Muchas veces nos encontraremos con la necesidad de calcular complejidades de algoritmos recursivos, el siguiente teorema nos ayuda con una fórmula general que servirá en casi todos los casos que veremos durante el curso. Teorema 2.1.1. Sea T(n) una función tal que cumple con la siguiente relación de recurrencia: ( n ) T(n) = aT + f(n) b donde f(n) es una función en Θ(n log b a ) y tal que T(1) es Θ(1), entonces se cumple que T(n) es Θ(n log b a log n). Es importante notar que Merge-Sort es el primer algoritmo que estudiamos que tarda menos de Θ(n 2 ) en el peor caso, Merge-Sort tarda Θ(nlog n) en el peor caso, lo que es un gran avance. El mayor (e insalvable) problema de Merge-Sort es que necesita de mucha memoria adicional para poder ordenar los números (específicamente en la tarea de mezcla), necesita tanto espacio adicional como números tenga que ordenar. Ejercicios 1. Implemente el procedimiento Rec-Insert-Sort(A,i) que ordene el arreglo A usando la misma estrategia que Insert-Sort pero cambiando una iteración por una llamada recursiva. El parámetro i indica que lo que se quiere ordenar es la porción A[0..i] del arreglo, así la llamada inicial debiera ser Rec-Insert-Sort(A,n − 1). 2. Implemente el procedimiento Rec-Select-Sort(A,i) que ordene el arreglo A usando la misma estrategia que Select-Sort pero cambiando una iteración por una llamada recursiva. El parámetro i indica que lo que falta por ordenar es la porción A[i..n − 1] del arreglo, así la llamada inicial debiera ser Rec-Select-Sort(A,0). ✷
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