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32 CAPÍTULO 2. ALGORITMOS DE ORDENACIÓN n c · n log 10 n n 10 9n 10 c · n log 10/9 n n 100 9n 100 9n 100 81n 100 c · n 1 81n 1000 729n 1000 c · n ≤ c · n 1 ≤ c · n Θ(nlog n) Figura 2.6: Árbol de recursión para Quick-Sort cuando la partición se produce en relación 9 : 1. en razón 9 : 1, o sea p = n 10 . Reemplazando en (2.4) obtenemos ( ( ) n 9n T(n) = T + T + c · n. 10) 10 El árbol de recursión para este caso se muestra en la figura 2.6. En él podemos notar que cada nivel del árbol tiene un costo de c · n (por la suma de la aplicación de Partition a cada porción del arreglo) hasta una condición de borde que se alcanza cuando las llamadas recursivas de más a la izquierda dejan de suceder, o sea, cuando estas se hagan sobre arreglos de tamaño 1. Esto pasa a profundidad log 10 n en la parte izquierda del árbol. Desde ese punto en adelante, cada nivel del árbol tendrá costo total menor o igual a c ·n. La recursión completa termina a profundidad log 10/9 n por lo que la suma total del trabajo será Θ(nlog 10/9 n) = Θ(nlog n). No es difícil ver que cualquier proporción que elijamos, por desbalanceada que esta parezca, nos llevará a concluir que la eficiencia asintótica de Quick-Sort resulta Θ(nlog n), la diferencia principal estará dada por la constante escondida que acompaña a nlog n. Otra forma, mucho más acertada, de obtener una intuición del caso promedio de Quick-Sort es suponiendo que todas las entradas son igualmente probables de obtener. Si este es el caso, es muy poco probable que todas las particiones ocurran de la misma forma, todas balanceadas, todas desbalanceadas, todas en la misma proporción, etc. En un caso promedio Partition generará una mezcla entre “buenas” y “malas” particiones. Será mucho más acertado suponer entonces que las buenas y malas particiones se van mezclando en el árbol de recursión. Por simplicidad podemos suponer que vez por medio se obtiene una buena y una mala partición, es decir, que en una llamada se obtiene una partición del tipo 1 vs n − 1 y en otra se obtiene una partición del tipo n 2 vs n 2 . Una porción de este árbol de recursión se muestra en la figura 2.7. En ella también se muestra como un árbol de recursión con malas y buenas particiones intercaladas, se puede ver como un árbol de recursión con sólo buenas particiones. Si se analiza con cuidado este caso se concluye que en él también el comportamiento asintótico de Quick-Sort resulta ser Θ(nlog n).
2.3. QUICKSORT 33 n Θ(n) Θ(n) 1 n − 1 n−1 2 n−1 2 ⇐⇒ n n−1 2 + 1 n−1 2 Figura 2.7: Porción del árbol de recursión para Quick-Sort cuando las particiones se producen intercalando buenas y malas (izquierda), y cómo esta puede representarse por una porción de un árbol con sólo particiones buenas (derecha). Quicksort Aleatorio Hemos entregado evidencia acerca de que, si todas las posibles entradas son igualmente probables, entonces Quick-Sort tiene un buen comportamiento esperado, Θ(nlog n). ¿Qué tan razonable es la suposición de que todas las entradas son igualmente probables? Depende demasiado de la aplicación. Por ejemplo, suponga una aplicación que ordena datos de personas por fecha de nacimiento, si ocurre el caso de que los datos se encontraban inicialmente ordenados por RUT, Quick-Sort tendrá un mal comportamiento ¿por qué? El caso peor ocurre si quien entrega la entrada es un adversario. Si él sabe que estamos utilizando Quick-Sort para ordenar el arreglo puede forzar un mal comportamiento. Una alternativa para solucionar estos problemas es, en vez de suponer que todas las entradas son igualmente probables, imponer que todas lo sean. Esto se puede lograr, por ejemplo, haciendo permutaciones aleatorias de los elementos antes de comenzar a ordenarlos. Entonces Quick-Sort podría obtener un mejor comportamiento esperado si antes de comenzar a ordenar los valores, se asegura de que estos estén suficientemente “desordenados”, desordenados en el sentidos de que no dependan de una aplicación en particular. Importante es notar que esta modificación no mejora el peor comportamiento de Quick-Sort, de hecho podría tenerse tan mala suerte que en el proceso de “desorden” el arreglo quede ya ordenado, en cuyo caso se obtendrá de todas maneras un mal comportamiento. Lo que si estamos seguros que se logra es independizarse de la fuente de datos de entrada, la probabilidad de obtener un mal desempeño ya no dependerá de la aplicación o de si un adversario es quién provee los datos de entrada. El siguiente algoritmo Rand-Quick-Sort implementa esta idea llamando al procedimiento Rand-Partition para realizar la partición. Rand-Quick-Sort(A,p,r) if p < r then q := Rand-Partition(A,p,r) Rand-Quick-Sort(A,p,q) Rand-Quick-Sort(A,q + 1,r)
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