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2.3. QUICKSORT 31
Figura 2.5: Árbol de recursión para Quick-Sort en el caso de una partición desbalanceada.
en (2.4) obtenemos
T(n) = T(1) + T(n − 1) + c · n
de donde resolviendo obtenemos
T(n) = c + T(n − 1) + c · n
= 2c + T(n − 2) + c · (n − 1) + c · n
= 3c + T(n − 3) + c · (n − 2) + c · (n − 1) + c · n
.
= c · (n − 1) + T(1) + c · 2 + · · · + c · (n − 1) + c · n
= c · (n − 1) + c · ∑n
i=1 i
por lo que T(n) es Θ(n 2 ), o sea, en el caso de que la partición produzca siempre una región de
largo 1 y otra de largo n − 1, Quick-Sort se comporta asintóticamente como el pero caso de
Insert-Sort y Select-Sort. El árbol de recursión para este caso se muestra en la figura 2.5. Se
puede demostrar, no lo haremos aquí, que este es el peor comportamiento posible para Quick-Sort.
Un punto interesante de observar es que este patrón de particiones se obtienen cuando el arreglo de
entrada se encuentra ya ordenado.
Supongamos ahora que la partición se produce de manera tal que siempre deja regiones del mismo
largo, o sea, dos regiones de largo n 2
. Reemplazando en (2.4) obtenemos
( n
) ( n
) ( n
)
T(n) = T + T + c · n = 2T + c · n
2 2 2
que es igual a la ecuación (2.1), por lo que T(n) es Θ(nlog n) en este caso. El árbol de recursión es
el mismo que aparece en la figura 2.3.
Hemos visto un caso malo y uno bueno (comparativamente con los anteriores algoritmos estudiados).
¿Cómo podemos analizar un caso promedio de Quick-Sort? Una posibilidad es pensar que
las particiones se generan siempre con cierta proporción no balanceada que esté entre el caso 1 vs
n − 1 y el caso n 2 vs n 2
. Por ejemplo, supongamos que la partición siempre genera regiones de largo