Tema 2 Movimiento Ondulatorio - Colegio Sagrado Corazón de ...
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<strong>Tema</strong> 2<br />
<strong>Movimiento</strong> <strong>Ondulatorio</strong><br />
2.1 <strong>Movimiento</strong> ondulatorio: ondas.<br />
2.2 Magnitu<strong>de</strong>s caranterísticas <strong>de</strong> las ondas.<br />
2.3 Ecuación <strong>de</strong> ondas armónicas.<br />
2.4 Fenómenos ondulatorios.<br />
2.1 <strong>Movimiento</strong> ondulatorio: ondas<br />
Es bien conocido el efecto <strong>de</strong> arrojar una piedra en un estanque; se produce una<br />
alteración circular en el agua que se va propagando por toda la superficie. Un fenómeno similar<br />
ocurre cuando se agita una cuerda por un extremo y se transmite el movimiento a lo largo <strong>de</strong> la<br />
misma. Ambos fenómenos tienen una característica común; se transmite energía y cantidad <strong>de</strong><br />
movimiento sin que haya una transmisión <strong>de</strong> masa. Una hoja en el agua se moverá arriba y<br />
abajo con las ondas pero no se <strong>de</strong>splazará lateralmente, por lo tanto el agua bajo la hoja<br />
tampoco lo hará. En el caso <strong>de</strong> la cuerda es más sencillo, los puntos <strong>de</strong> la misma se mueven<br />
arriba y abajo pero tampoco se <strong>de</strong>splazan lateralmente. Otros ejemplos <strong>de</strong> ondas son el sonido<br />
a través <strong>de</strong>l aire, las fichas <strong>de</strong> un dominó cayendo en ca<strong>de</strong>na, la luz, las señales que emiten las<br />
emisoras <strong>de</strong> radio, etc.<br />
Las ondas, al igual que las partículas, pue<strong>de</strong>n transmitir energía pero hay dos<br />
características fundamentales que diferencian a unas <strong>de</strong> otras:<br />
1. las ondas no transportan materia y las partículas sí;<br />
2. las partículas están perfectamente localizadas y las ondas no. Una onda está<br />
completamente <strong>de</strong>slocalizada, se encuentra a lo largo <strong>de</strong> todo el espacio pero no en un<br />
punto concreto.<br />
El origen <strong>de</strong> las ondas son movimientos oscilatorios que se producen en un punto<br />
concreto <strong>de</strong>l medio, <strong>de</strong>nominado foco, y que se transmiten al espacio que lo ro<strong>de</strong>a. Para ello<br />
es necesario que el medio sea capaz <strong>de</strong> propagar la perturbación ya que, en el vacío por<br />
ejemplo, no se pue<strong>de</strong> transmitir el sonido.
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
2.1.1 Fenómenos ondulatorios. Clasificación.<br />
Existen diferentes formas <strong>de</strong> clasificar los fenómenos ondulatorios; se pue<strong>de</strong>n clasificar<br />
en función a su naturaleza, forma <strong>de</strong> propagarse, lugares por los que se propaga, dirección <strong>de</strong><br />
vibración, etc.<br />
A) Clasificación por tipo <strong>de</strong> fenómeno ondulatorio.<br />
Se pue<strong>de</strong>n diferenciar dos tipos <strong>de</strong> fenómenos ondulatorios:<br />
• los pulsos son perturbaciones que pasan por cada punto una sola vez;<br />
• las ondas son perturbaciones que suce<strong>de</strong>n <strong>de</strong> forma permanente y están<br />
distribuidas por todo el espacio. I<strong>de</strong>almente una onda va <strong>de</strong>s<strong>de</strong> −∞ hasta +∞.<br />
Pulso<br />
Onda<br />
Figura 2.1. Comparación entre pulsos y ondas<br />
B) Clasificación por la naturaleza <strong>de</strong> la perturbación.<br />
Si se atien<strong>de</strong> a la naturaleza <strong>de</strong> la perturbación se distinguen:<br />
• ondas mecánicas, son las que necesitan <strong>de</strong> un medio material para<br />
propagarse como por ejemplo el sonido;<br />
• ondas electromagnéticas, son las que no necesitan <strong>de</strong> un medio para<br />
propagarse como la luz o las ondas <strong>de</strong> radio.<br />
Las ondas mecánicas se propagan porque las partículas que forman un medio están<br />
ligadas entre sí mediante interacciones <strong>de</strong> algún tipo <strong>de</strong> manera que una <strong>de</strong>formación o una<br />
compresión en un punto se transmite al siguiente y así sucesivamente. Las ondas<br />
electromagnéticas se propagan <strong>de</strong>bido a la relación existente entre el campo magnético y el<br />
campo eléctrico. En el siguiente tema se verá cómo un campo eléctrico variable genera un<br />
campo magnético también variable y viceversa, <strong>de</strong> modo que los campos eléctricos y<br />
magnéticos se van generando mutuamente propagandose por el medio.<br />
C) Clasificación por la dirección <strong>de</strong> vibración.<br />
Por la dirección <strong>de</strong> vibración se tienen:<br />
• ondas transversales; son aquellas en las que la dirección <strong>de</strong> vibración es<br />
perpendicular a la dirección <strong>de</strong> propagación, como en una cuerda, las olas o la<br />
luz;<br />
<strong>Tema</strong> 2-2
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
• ondas longitudinales; son las que ambas direcciones son paralelas, como en<br />
un muelle o el sonido.<br />
Onda<br />
Onda transversal<br />
Onda longitudinal<br />
Figura 2.2. Comparación entre ondas transversales y longitudinales<br />
D) Clasificación por el frente <strong>de</strong> onda.<br />
Se <strong>de</strong>fine el frente <strong>de</strong> onda como el lugar geométrico <strong>de</strong> los puntos adyacentes <strong>de</strong>l<br />
espacio que están en el mismo estado <strong>de</strong> vibración. Por ejemplo, en el caso <strong>de</strong> la piedra<br />
arrojada en el estanque cada una <strong>de</strong> las crestas <strong>de</strong> las circunferencias que se forman es un<br />
frente <strong>de</strong> onda. Se <strong>de</strong>fine el rayo como un vector con la dirección perpendicular al frente <strong>de</strong><br />
onda y el sentido <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la perturbación. El rayo, por lo tanto, indica la dirección y<br />
sentido <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la perturbación. Atendiendo al frente <strong>de</strong> onda las ondas también se<br />
pue<strong>de</strong>n clasificar en:<br />
− ondas esféricas; en las que el frente <strong>de</strong> onda es una esfera;<br />
− ondas planas; aquellas cuyo frente <strong>de</strong> onda es plano.<br />
Figura 2.3. Frentes <strong>de</strong> onda y rayos<br />
A largas distancias las ondas esféricas se aproximan a ondas planas, tal y como ocurre<br />
con el Sol, cuyos frentes <strong>de</strong> onda se pue<strong>de</strong>n consi<strong>de</strong>rar planos en su llegada a la Tierra.<br />
<strong>Tema</strong> 2-3
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
Cuando las ondas se propagan por un medio real van perdiendo energía <strong>de</strong> manera <strong>de</strong><br />
manera que el alcance <strong>de</strong> las ondas es es limitado. Las ondas se <strong>de</strong>bilitan <strong>de</strong>bido a dos efectos<br />
diferentes: la absorción y la atenuación. El medio absorbe parte <strong>de</strong> la energía <strong>de</strong> la onda<br />
<strong>de</strong>bido al rozamiento <strong>de</strong> las partículas en las ondas mecánicas y a la dispersión <strong>de</strong> los campos<br />
electromanéticos, <strong>de</strong> modo que la energía <strong>de</strong> la perturbación va disminuyendo; este fenómeno<br />
se conoce como absorción. Por otro lado, en frentes <strong>de</strong> onda esféricos la energía <strong>de</strong> la onda se<br />
<strong>de</strong>be repartir en superficies cada vez mayores por lo que a cada punto le correspon<strong>de</strong> cada vez<br />
una energía menor, este efecto se <strong>de</strong>nomina atenuación.<br />
2.1.2 Periodicidad espacial y temporal <strong>de</strong> las ondas<br />
Un fenómeno es periódico cuando ocurre <strong>de</strong> modo repetitivo, como por ejemplo las<br />
estaciones <strong>de</strong>l año o las farolas <strong>de</strong> una calle. Sin embargo entre los dos ejemplos anteriores<br />
existe una diferencia fundamental; las estaciones se repiten a lo largo <strong>de</strong>l tiempo y las farolas lo<br />
hacen a lo largo <strong>de</strong>l espacio. Se pue<strong>de</strong> diferenciar, por lo tanto, entre periodicidad temporal y<br />
periodicidad espacial.<br />
Las ondas presentan periodicidad espacial y temporal. En el ejemplo <strong>de</strong> la cuerda que<br />
es agitada por uno <strong>de</strong> sus extremos:<br />
- un punto cualquiera <strong>de</strong>scribe siempre el mismo movimiento arriba y abajo a lo largo<br />
<strong>de</strong>l tiempo (x es fijo y t varía), lo que supone una periodicidad temporal; el tiempo en<br />
<strong>de</strong>scribir ese movimiento ha sido <strong>de</strong>finido como periodo T;<br />
- si en un momento se le hace una fotografía a toda la cuerda (se fija t y varía x) se<br />
pue<strong>de</strong> apreciar cómo toda la cuerda tiene una forma que es la repetición <strong>de</strong>l mismo<br />
perfil (~). La longitud <strong>de</strong>l perfil que se repite se <strong>de</strong>fine como la longitud <strong>de</strong> onda λ.<br />
2.2 Magnitu<strong>de</strong>s características <strong>de</strong> las ondas<br />
A continuación se enumeran las principales magnitu<strong>de</strong>s que se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>finir en las<br />
ondas transversales.<br />
−<br />
Elongación (y(x,t)); es el valor <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la onda respecto <strong>de</strong> la<br />
posición <strong>de</strong> equilibrio. Se mi<strong>de</strong> en m.<br />
−<br />
Amplitud (A); es el valor máximo <strong>de</strong> la elongación, la máxima separación <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la<br />
posición <strong>de</strong> equilibrio. El valor <strong>de</strong> la elongación siempre estará comprendido entre −A<br />
y +A. Su unidad es el m.<br />
<strong>Tema</strong> 2-4
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
−<br />
Periodo (T); es el tiempo que tarda un punto <strong>de</strong> la onda en realizar una oscilación<br />
completa. Como es un tiempo su unidad es el segundo.<br />
−<br />
Frecuencia lineal (f o ν); representa el número <strong>de</strong> veces que un punto realiza una<br />
oscilación completa en la unidad <strong>de</strong> tiempo. La frecuencia lineal se mi<strong>de</strong> en hercios<br />
Hz.<br />
−<br />
Frecuencia angular o pulsación ω que representa los radianes que se barren en un<br />
segundo. Se mi<strong>de</strong> en rad/s. La relación con la frecuencia lineal es:<br />
ω = 2π f<br />
Periodo y frecuencia se relacionan según las expresiones siguientes<br />
2π<br />
ω = f =<br />
T<br />
1<br />
T<br />
−<br />
Longitud <strong>de</strong> onda (λ); es la distancia que hay entre dos puntos que están en el<br />
mismo estado <strong>de</strong> vibración. Esto significa que tanto las elongaciones como los<br />
sentidos <strong>de</strong> vibración han <strong>de</strong> ser los mismos. Se mi<strong>de</strong> en m.<br />
−<br />
Número <strong>de</strong> onda (k) representa el número <strong>de</strong> radianes contenidos en un metro y se<br />
mi<strong>de</strong>n en rad/m. El número <strong>de</strong> onda se relaciona con la longitud <strong>de</strong> onda mediante la<br />
expresión:<br />
2π<br />
k =<br />
λ<br />
−<br />
Fase inicial (ϕ 0 ) representa el estado inicial <strong>de</strong> oscilación <strong>de</strong>l origen. Se mi<strong>de</strong> en rad.<br />
y<br />
y<br />
A<br />
x<br />
λ<br />
Figura 2.4. Representación <strong>de</strong> algunas magnitu<strong>de</strong>s características <strong>de</strong> las ondas<br />
<strong>Tema</strong> 2-5
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
−<br />
Velocidad <strong>de</strong> propagación (v p ); es la velocidad a la que la perturbación viaja por el<br />
medio. Se pue<strong>de</strong> calcular como el cociente entre la distancia recorrida (λ) entre el<br />
tiempo en recorrerla (T). Se mi<strong>de</strong> en m/s.<br />
λ ω<br />
v p = =<br />
T k<br />
La velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> las características <strong>de</strong>l medio. La tabla<br />
siguiente muestra, a modo <strong>de</strong> ejemplo, la expresión <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> algunas<br />
ondas.<br />
Tipo <strong>de</strong> onda<br />
Onda propagándose por<br />
una cuerda<br />
Onda longitudinal en un<br />
sólido<br />
Onda electromagnética<br />
Velocidad <strong>de</strong><br />
propagación<br />
T<br />
v p =<br />
λ<br />
E<br />
v p =<br />
ρ<br />
v p =<br />
1<br />
με<br />
T es la tensión y λ es la <strong>de</strong>nsidad lineal <strong>de</strong><br />
la cuerda (kg/m).<br />
E es el módulo <strong>de</strong> elasticidad y ρ es la<br />
<strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l medio.<br />
ε es la permitividad y μ es la<br />
permeabilidad magnética <strong>de</strong>l medio.<br />
2.3 Ecuación <strong>de</strong> ondas armónicas<br />
Cuando una perturbación se propaga por un medio lo hace con una <strong>de</strong>terminada<br />
velocidad <strong>de</strong> propagación. Esto significa que lo que ocurrirá en un punto alejado una distancia<br />
‘x’ <strong>de</strong>l origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas es exactamente lo mismo que ocurre en el origen pero retrasado<br />
el tiempo ‘t R ’ necesario para que la perturbación se propague hasta dicho punto. Un ejemplo<br />
cotidiano es el eco; el sonido que se hace se oye igual transcurrido un <strong>de</strong>terminado tiempo, que<br />
es el necesario para que la perturbación llegue hasta el obstáculo y retorne. Cuando ocurre un<br />
relámpago simultáneamente se producen la luz y el sonido; sin embargo, se ve prácticamente<br />
<strong>de</strong> modo instantáneo (v luz =300.000.000 m/s), pero se oye transcurrido el tiempo apreciable<br />
(v sonido =340m/s), el necesario para que la onda sonora se propague <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el lugar don<strong>de</strong> se<br />
produjo el rayo.<br />
Teniendo en cuenta lo anterior, si la expresión que representa la elongación en el<br />
origen es:<br />
( 0,t) A sen( ω t)<br />
y =<br />
la elongación <strong>de</strong>l punto x se pue<strong>de</strong> expresar como:<br />
y<br />
( x,t) = A sen( ω ( t − ))<br />
t R<br />
es <strong>de</strong>cir exactamente la misma expresión retardada un tiempo t R .<br />
<strong>Tema</strong> 2-6
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Figura 2.5. Propagación <strong>de</strong> un pulso con t R =7s<br />
Como la onda se propaga con velocidad constante ‘v’:<br />
v =<br />
x<br />
t<br />
R<br />
⇒<br />
t<br />
R<br />
=<br />
x<br />
v<br />
Sustituyendo y operando se obtiene:<br />
y<br />
y<br />
( x,t)<br />
⎛ x ⎞<br />
= A sen ⎜ωt<br />
- ω ⎟<br />
⎝ v ⎠<br />
( x,t) = A sen ( ωt -kx)<br />
Si se incluye la fase inicial, la expresión resultante es la más general posible y recibe el<br />
nombre <strong>de</strong> ecuación <strong>de</strong> ondas armónicas.<br />
y(x, t)<br />
= Asen<br />
( ωt − kx + ϕ )<br />
0<br />
Consi<strong>de</strong>raciones:<br />
1. Esta ecuación permite calcular el valor <strong>de</strong> la elongación en cualquier punto <strong>de</strong>l<br />
medio (ya que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> x) y en cualquier instante (ya que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> t).<br />
2. El signo negativo indica el sentido <strong>de</strong> la propagación <strong>de</strong> la onda, <strong>de</strong> izquierda a<br />
<strong>de</strong>recha. Una onda propagándose en el sentido contrario tendría velocidad<br />
negativa y el signo que aparecería en la ecuación <strong>de</strong> ondas sería positivo.<br />
3. La periodicidad temporal está contenida en el término ω (que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> T) y la<br />
periodicidad espacial en k (que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> λ).<br />
<strong>Tema</strong> 2-7
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
4. Un punto cualquiera <strong>de</strong>l medio (x 0 ) oscila con una ecuación:<br />
y(x ,t) = Asen<br />
( ωt − + ϕ )<br />
0 kx 0<br />
0<br />
teniendo en cuenta que el término [β 0 =–kx 0 + ϕ 0 ] es constante, se pue<strong>de</strong> expresar:<br />
( ωt )<br />
y(t) = Asen +<br />
β 0<br />
que es la expresión típica <strong>de</strong> un MAS. Se pue<strong>de</strong> comprobar como la onda en<br />
realidad consiste en que un oscilador armónico propaga la perturbación a los<br />
puntos que lo ro<strong>de</strong>an, convirtiéndose éstos a su vez en otros osciladores<br />
armónicos.<br />
5. Un punto cualquiera <strong>de</strong>l medio oscila con una velocidad:<br />
v<br />
dy(x,t)<br />
dt<br />
( x,t) = = A ω cos( ωt − kx + ϕ )<br />
0<br />
que es la velocidad <strong>de</strong> vibración <strong>de</strong>l punto, que nada tiene que ver con la<br />
velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la onda.<br />
6. De la misma manera que el MAS se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir indistintamente con la función<br />
seno o coseno, sin más que cambiar la fase inicial, la ecuación <strong>de</strong> onda se pue<strong>de</strong><br />
expresar también mediante cualquiera <strong>de</strong> esas dos funciones trigonométricas.<br />
2.4 Fenómenos ondulatorios.<br />
Se han <strong>de</strong>finido las ondas como la propagación <strong>de</strong> una perturbación a través <strong>de</strong> un<br />
medio. En lo sucesivo se va a suponer que las ondas son transversales aunque la mayoría <strong>de</strong><br />
estos fenómenos pue<strong>de</strong>n ocurrir también a las ondas longitudinales. La reflexión, la<br />
refracción y la difracción ocurren cuando la onda interacciona con la materia; las<br />
interferencias y las ondas estacionarias ocurren cuando las ondas interaccionan entre sí, y<br />
la polarización es una característica exclusiva <strong>de</strong> las ondas transversales.<br />
2.4.1 Reflexión y refracción<br />
Ambos fenómenos ocurren cuando una onda llega a la superficie <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> dos<br />
medios. La refracción consiste en que la onda atraviesa dicha superficie y pasa al otro medio,<br />
mientras que en la reflexión la onda ‘rebota’ en la superficie y no la atraviesa, sino que vuelve<br />
propagándose por el mismo medio que llegó.<br />
<strong>Tema</strong> 2-8
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Se <strong>de</strong>fine la normal como la línea perpendicular a la superficie en el punto <strong>de</strong><br />
inci<strong>de</strong>ncia. El ángulo <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia (ϕ i ) es el que forma el rayo inci<strong>de</strong>nte con la normal, y el<br />
ángulo <strong>de</strong> reflexión (refracción) (ϕ r ) es el que forman el rayo reflejado (refractado) con la<br />
normal. Estos ángulos se expresan siempre en grados.<br />
Figura 2.6. Fenómenos <strong>de</strong> la reflexión a) y la refracción b)<br />
El estudio experimental <strong>de</strong> ambos fenómenos ondulatorios permite establecer las<br />
siguientes leyes:<br />
1. Leyes <strong>de</strong> la reflexión:<br />
a) el ángulo <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia es igual que el ángulo <strong>de</strong> reflexión<br />
ϕ i =ϕ r<br />
b) el rayo inci<strong>de</strong>nte, el reflejado y la normal están en el mismo plano.<br />
2. Leyes <strong>de</strong> la refracción:<br />
a) el ángulo <strong>de</strong> inci<strong>de</strong>ncia y el <strong>de</strong> refracción se relacionan con las<br />
velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
senϕ<br />
senϕ<br />
i<br />
r<br />
v<br />
=<br />
v<br />
i<br />
r<br />
b) el rayo inci<strong>de</strong>nte, el refractado y la normal están en el mismo plano.<br />
Según la primera ley <strong>de</strong> la refracción y teniendo en cuenta que la función seno es<br />
creciente entre 0º y 90º, para una onda que pase <strong>de</strong> un medio a otro don<strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong><br />
propagación sea menor (aire→agua, por ejemplo) el rayo refractado se acerca a la normal; en<br />
cambio si la velocidad <strong>de</strong> propagación es mayor (agua→aire) el rayo se aleja <strong>de</strong> la normal.<br />
<strong>Tema</strong> 2-9
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
En el fenómeno <strong>de</strong> la reflexión las ondas inci<strong>de</strong>nte y reflejada se propagan por el<br />
mismo medio y, como consecuencia, la frecuencia y la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> ambas es la misma.<br />
En la refracción la frecuencia permanece constante y, como la velocidad varía al cambiar <strong>de</strong><br />
medio, <strong>de</strong>be cambiar la longitud <strong>de</strong> onda. Observando la expresión <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong><br />
propagación <strong>de</strong> una onda se pue<strong>de</strong> ver con facilidad que, cuando una onda pasa <strong>de</strong> un medio<br />
a otro en don<strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> propagación sea mayor, la longitud <strong>de</strong> onda aumenta.<br />
λ<br />
v = = λ·f<br />
T<br />
En los casos reales cuando una onda llega a una frontera entre medios se produce una<br />
combinación <strong>de</strong> ambos efectos, parte <strong>de</strong> la onda se refleja (vuelve al medio) y parte se refracta<br />
(pasa al otro medio). Las amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las ondas varían <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong> cada caso, pero<br />
siempre se <strong>de</strong>be verificar la ley <strong>de</strong> la conservación <strong>de</strong> la energía.<br />
2.4.1.1 Ángulo límite y reflexión total<br />
Supongamos una onda que pasa <strong>de</strong> un medio a otro <strong>de</strong> modo que v i
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
2.4.2 Difracción<br />
La difracción consiste en el cambio <strong>de</strong> dirección en la propagación <strong>de</strong> una onda como<br />
consecuencia la interacción con aberturas u obstáculos. Este fenómeno es solamente<br />
apreciable cuando las aberturas son <strong>de</strong> un tamaño parecido o menor que la longitud <strong>de</strong> onda<br />
<strong>de</strong> la perturbación, tal y como se indica en la figura 2.8. Cuanto más pequeña sea una abertura<br />
mayor será el efecto <strong>de</strong> la difracción. Dado que la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong>l sonido es gran<strong>de</strong>, éste<br />
se pue<strong>de</strong> difractar a través <strong>de</strong> ventanas o esquinas, y por eso es posible oír a través <strong>de</strong> estos<br />
obstáculos. En cambio, la longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> la luz es muy pequeña, por lo que no es fácil<br />
observar la difracción luminosa.<br />
Figura 2.8. Fenómeno <strong>de</strong> la difracción: a) se aprecia, b) no se aprecia<br />
2.4.3 Polarización<br />
Las ondas transversales se caracterizan porque la dirección <strong>de</strong> vibración es<br />
perpendicular a la <strong>de</strong> propagación. En general la oscilación podría ser en muchas direcciones<br />
(todas ellas perpendiculares a la <strong>de</strong> propagación) y es común que esta dirección vaya<br />
cambiando con el tiempo. Una onda está linealmente polarizada cuando esta dirección<br />
permanece constante, es <strong>de</strong>cir la vibración se da en un plano. Existen otros tipos <strong>de</strong><br />
polarización, como la circular o la elíptica don<strong>de</strong> la vibración <strong>de</strong>scribe una circunferencia o una<br />
elipse.<br />
Figura 2.9. Polarización <strong>de</strong> una onda<br />
<strong>Tema</strong> 2-11
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
Un artilugio que permite polarizar una onda se llama polarizador. Una placa <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra<br />
con una ranura a través <strong>de</strong> la cual pasa una cuerda actúa como polarizador, ya que cualquier<br />
movimiento <strong>de</strong> la cuerda en cualquier dirección <strong>de</strong> la cuerda lo convierte en un movimiento en<br />
la dirección <strong>de</strong> las ranuras.<br />
2.4.4 Interferencias<br />
Hasta ahora se ha trabajado con una única onda que se propaga por el espacio e<br />
interactúa con obstáculos o cambia <strong>de</strong> medio. Las interferencias consisten en que dos o más<br />
ondas se propagan por el mismo medio e interactúan entre si. Por simplicidad, se van a tratar<br />
las interferencias <strong>de</strong>bidas a solamente dos ondas. Cuando los puntos <strong>de</strong>l medio se ve<br />
afectados por dos ondas al mismo tiempo, el efecto total es la suma <strong>de</strong> los efectos <strong>de</strong> cada una<br />
<strong>de</strong> las ondas por separado, tal como se indica en la figura 2.10.<br />
10<br />
8<br />
6<br />
a<br />
Y1<br />
Y2<br />
Y1+Y2<br />
4<br />
2<br />
0<br />
d<br />
-1 -0,5 -2 0 0,5 1<br />
c<br />
1,5 2 2,5 3<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
-10<br />
b<br />
Figura 2.10. Superposición <strong>de</strong> dos ondas<br />
Cuando las elongaciones <strong>de</strong> dos ondas se suman en un punto se dice que la<br />
interferencia es constructiva (puntos a y b <strong>de</strong> la gráfica). Si se restan (pudiendo incluso<br />
anularse) se dice que la interferencia es <strong>de</strong>structiva (puntos c y d).<br />
Supóngase que un punto (P) <strong>de</strong>l<br />
espacio es alcanzado por dos ondas que<br />
recorren distancias x 1 y x 2 tal como se indica<br />
en la figura 2.11. Por simplicidad se va a<br />
suponer que las dos ondas son idénticas. es<br />
<strong>de</strong>cir, tienen igual amplitud, frecuencia y<br />
número <strong>de</strong> onda.<br />
Figura 2.11. Interferencia entre dos ondas.<br />
<strong>Tema</strong> 2-12
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
y<br />
y<br />
1<br />
( x ,t) = A sen( ωt − kx )<br />
2<br />
1<br />
( x 2,t) A sen( ωt − kx 2<br />
1<br />
= )<br />
trigonométrica<br />
se obtiene:<br />
La perturbación en P será la suma <strong>de</strong> perturbaciones. Aplicando la relación<br />
y<br />
Total<br />
sen α<br />
= y<br />
1<br />
+ y<br />
⎛ α + β ⎞ ⎛ α − β ⎞<br />
+ sen β = 2sen⎜<br />
⎟cos⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
= A sen ωt<br />
( − kx ) + A sen( ωt − kx )<br />
1<br />
2<br />
⎛ ωt − kx<br />
= 2A sen⎜<br />
⎝<br />
1<br />
+ ωt − kx<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎛ ωt − kx1<br />
− ωt + kx<br />
⎟cos⎜<br />
⎠ ⎝ 2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= 2A sen ωt<br />
k<br />
⎢<br />
⎣2<br />
⎡ ⎤<br />
[ − k( x + x )] cos ( x − x ) ⎥⎦<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Esto se pue<strong>de</strong> expresar <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
total<br />
[ − k( x x )]<br />
y = A' sen ωt +<br />
1<br />
2<br />
Don<strong>de</strong> se ha realizado el cambio:<br />
A'<br />
⎡k<br />
2Acos⎢<br />
⎣2<br />
⎤<br />
( x 2 − x ) ⎥⎦<br />
= 1<br />
El término A’ es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>l tiempo y actúa como una amplitud que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
la diferencia <strong>de</strong> distancias entre los focos y el punto P. Este parámetro se conoce como<br />
diferencia <strong>de</strong> camino Δ = |x 1 – x 2 |.<br />
Se pue<strong>de</strong>n dar tres situaciones <strong>de</strong>pendiendo <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> la diferencia <strong>de</strong> camino:<br />
1. Δ = nλ (con n=0, 1, 2, ...). En este caso<br />
⎛ k ⎞<br />
A' = 2Acos⎜<br />
nλ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ 2π ⎞<br />
= 2Acos⎜<br />
nλ⎟<br />
⎝ 2λ ⎠<br />
= 2Acos<br />
= 2A<br />
( nπ)<br />
Se obtiene una amplitud doble que las ondas originales. Es un punto don<strong>de</strong> la<br />
interferencia ha sido constructiva<br />
<strong>Tema</strong> 2-13
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
2. Δ = (2n+1)λ/2 (con n=0, 1, 2, ...)<br />
⎛ k<br />
A' = 2Acos⎜<br />
⎝ 2<br />
⎛ 2π<br />
= 2Acos⎜<br />
⎝ 2λ<br />
⎛<br />
= 2Acos⎜<br />
⎝<br />
= 0<br />
( 2n + 1)<br />
( 2n + 1)<br />
( 2n + 1)<br />
λ ⎞<br />
⎟ =<br />
2 ⎠<br />
λ ⎞<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
π ⎞<br />
⎟<br />
2 ⎠<br />
En este caso se ha producido una interferencia <strong>de</strong>structiva extrema y se anulan por<br />
completo ambos fenómenos ondulatorios.<br />
3. En los <strong>de</strong>más casos la amplitud toma valores intermedios entre cero y el doble <strong>de</strong><br />
la amplitud individual <strong>de</strong> cada onda.<br />
2.4.5 Ondas estacionarias<br />
Como ya se ha visto una onda es una perturbación que se propaga por un medio. A<br />
este tipo <strong>de</strong> ondas se las <strong>de</strong>nomina ondas viajeras. Las ondas estacionarias surgen cuando<br />
una onda se refleja e interfiere consigo misma estando confinada en un medio. En estas<br />
condiciones las dos ondas que interfieren tienen la misma amplitud, frecuencia y longitud <strong>de</strong><br />
onda pero diferente sentido <strong>de</strong> propagación. Ejemplos <strong>de</strong> ondas estacionarias son las que se<br />
forman en las cuerdas <strong>de</strong> una guitarra, en un muelle, o en una cuerda que oscila y cuyo<br />
extremo está fijo a la pared, las ondas <strong>de</strong> sonido <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un tubo, etc. Las ondas<br />
estacionarias se pue<strong>de</strong>n formar en un medio con un solo límite (por reflexión) o en medios<br />
limitados por los dos extremos (cuerda <strong>de</strong> guitarra). A<strong>de</strong>más se pue<strong>de</strong>n tener los extremos fijos<br />
si no se pue<strong>de</strong>n mover o libres si tienen movilidad.<br />
La onda estacionaria se produce por la superposición <strong>de</strong> la onda inci<strong>de</strong>nte y la<br />
reflejada, por lo que la perturbación total será la suma <strong>de</strong> las perturbaciones individuales:<br />
( x,t) y ( x,t) + y ( x,t) = A sen( ωt − kx) + A sen( ωt kx)<br />
y +<br />
= →<br />
←<br />
Aplicando la misma regla trigonométrica que en el apartado anterior se obtiene<br />
directamente la ecuación <strong>de</strong> ondas estacionarias:<br />
( x,t) 2Acos kx sen ωt<br />
y =<br />
El término (2A cos kx) es in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong>l tiempo y representa la máxima elongación<br />
en cada punto <strong>de</strong>l espacio, por lo que se pue<strong>de</strong> interpretar como una amplitud (A’).<br />
<strong>Tema</strong> 2-14
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
En término A’ se anulará siempre que se anule el coseno, con lo que algunos puntos no<br />
oscilarán. Estos puntos se llaman nodos. Cuando el coseno valga +1 o −1 la amplitud será<br />
máxima y estos puntos se llaman vientres o antinodos.<br />
nodo<br />
vientre<br />
Figura 2.12. Representación <strong>de</strong> una onda estacionaria<br />
La distancia entre dos nodos consecutivos se pue<strong>de</strong> calcular a partir <strong>de</strong> las<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l coseno. Supóngase que en una posición x 1 existe un nodo; en ese caso:<br />
cos( kx1 ) = 0<br />
el siguiente nodo se encuentra en la posición x 2 que también tiene que verificar:<br />
cos( kx 2 ) = 0<br />
como son consecutivos se tiene que cumplir que:<br />
2π<br />
λ<br />
kx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
= kx<br />
1<br />
+ π<br />
2π<br />
= x1<br />
+ π<br />
λ<br />
λ<br />
= x1<br />
+<br />
2<br />
λ<br />
− x1<br />
=<br />
2<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se <strong>de</strong>muestra que la distancia entre dos nodos consecutivos vale la mitad <strong>de</strong> la<br />
longitud <strong>de</strong> onda. Para vientres consecutivos se pue<strong>de</strong> realizar la misma <strong>de</strong>mostración.<br />
Un ejemplo frecuente <strong>de</strong> onda estacionaria es la producida en una cuerda fijada por<br />
ambos extremos como la cuerda <strong>de</strong> una guitarra. En este caso los extremos son<br />
automáticamente nodos porque no pue<strong>de</strong>n oscilar, lo cual establece las longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda <strong>de</strong><br />
la onda estacionaria que se forma en dicha cuerda <strong>de</strong> guitarra. La frecuencia fundamental <strong>de</strong><br />
la cuerda es la menor frecuencia obtenible, es <strong>de</strong>cir, la <strong>de</strong> mayor longitud <strong>de</strong> onda. El primer<br />
estado <strong>de</strong> vibración recibe el nombre <strong>de</strong> primer armónico, el segundo es el segundo armónico<br />
y así sucesivamente tal y como está representado en la figura 2.13.<br />
<strong>Tema</strong> 2-15
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
Figura 2.13. Primeros cuatro armónicos en una cuerda<br />
En una guitarra se obtienen frecuencias cada vez más altas a medida que se pulsa la<br />
cuerda mas abajo, ya que se acorta la longitud (L) <strong>de</strong> la misma con lo que ‘λ‘ disminuye y por lo<br />
tanto ‘f’ aumenta.<br />
La diferencia fundamental entre ondas estacionarias y viajeras está en que las ondas<br />
viajeras representan la propagación <strong>de</strong> una perturbación y un transporte <strong>de</strong> energía, mientras<br />
que en las ondas estacionarias no se propaga la perturbación y no hay transporte neto <strong>de</strong><br />
energía. En cada punto hay una transformación continua entre energía potencial elástica y<br />
energía cinética. Las siguientes páginas contienen una representación más <strong>de</strong>tallada <strong>de</strong> la<br />
evolución <strong>de</strong> las ondas estacionarias y las viajeras.<br />
<strong>Tema</strong> 2-16
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Onda estacionaria: cada punto oscila con una amplitud diferente: los <strong>de</strong> amplitud máxima son<br />
los vientres (o antinodos) y los <strong>de</strong> amplitud mínima (nula) son los nodos.<br />
4<br />
t=5<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
t=5<br />
t=6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
t=6<br />
t=4<br />
-1 01234<br />
-2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
-3<br />
-4<br />
t=4<br />
t=3<br />
-1 01234<br />
-2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
-3<br />
-4<br />
t=3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
t=4<br />
t=4<br />
t=5<br />
-1 01234<br />
-2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
-3<br />
-4<br />
t=5<br />
t=6<br />
-1 01234<br />
-2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5<br />
-3<br />
-4<br />
t=6<br />
<strong>Tema</strong> 2-17
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1 ,5<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
Onda viajera: la perturbación se va propagando <strong>de</strong> izquierda a <strong>de</strong>recha en este caso. Todas<br />
las gráficas son idénticas salvo que están <strong>de</strong>splazadas<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
0 1 2 3 4 5<br />
<strong>Tema</strong> 2-18
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Relación <strong>de</strong> ejercicios<br />
MOVIMIENTOS ONDULATORIOS<br />
1. De los siguientes fenómenos indica cuales se pue<strong>de</strong>n consi<strong>de</strong>rar ondulatorios y cuales no.<br />
a) Echar agua con una manguera.<br />
b) Soplar aire.<br />
c) Llamar a una puerta con los nudillos.<br />
d) Abrir una frasco <strong>de</strong> perfume y olerlo a distancia.<br />
2. Supongamos que emitimos una onda esférica en un medio que no es absorbente. ¿Por<br />
qué en este caso se nota que la onda se va <strong>de</strong>bilitando a medida que se aleja <strong>de</strong>l foco, si el<br />
medio realmente no absorve la onda?<br />
3. Di dos ejemplos en los que se pueda apreciar la periodicidad espacial y otros dos <strong>de</strong><br />
periodicidad temporal.<br />
4. ¿Qué es una onda armónica o sinusoidal?<br />
5. ¿Qué diferencias existen entre el movimiento <strong>de</strong> una onda a través <strong>de</strong> un medio y el<br />
movimiento <strong>de</strong> las partículas <strong>de</strong>l propio medio?<br />
6. Explique las diferencias entre ondas transversales y ondas longitudinales y ponga algún<br />
ejemplo <strong>de</strong> cada tipo.<br />
MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS<br />
7. Represente las gráficas elongación-tiempo y elongación-posición <strong>de</strong> una onda con las<br />
siguientes características: A=5m, k=5π rad/m, v p =20m/s. Indique en las gráficas los valores<br />
que tome.<br />
8. Conteste verda<strong>de</strong>ro o falso.<br />
a) La longitud <strong>de</strong> onda es la distncia entre dos puntos que se encuentran en máximo <strong>de</strong><br />
elongación.<br />
b) La longitud <strong>de</strong> onda es la distancia entre dos puntos con la misma elongación.<br />
c) La longitud <strong>de</strong> onda es la distancia entre dos puntos que se encuentran en el origen.<br />
9.<br />
a) Defina: onda, velocidad <strong>de</strong> propagación, longitud <strong>de</strong> onda, frecuencia, amplitud,<br />
elongación y fase.<br />
b) Dos ondas viajeras se propagan por un mismo medio y la frecuencia <strong>de</strong> una es doble<br />
que la <strong>de</strong> la otra. Explique la relación entre las diferentes magnitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ambas ondas.<br />
10. Consi<strong>de</strong>re la ecuación <strong>de</strong> onda:<br />
y (x, t) = A sen (b t – c x)<br />
a) ¿Qué representan los coeficientes A, b y c? ¿Cuáles son sus unida<strong>de</strong>s?<br />
b) ¿Qué cambios supondría que la función fuera “cos” en lugar <strong>de</strong> “sen”? ¿Y que el signo<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l paréntesis fuera “+” y no “–“?<br />
11. Dos fenómenos físicos vienen <strong>de</strong>scritos por las expresiones siguientes:<br />
y = A sen (b t)<br />
y = A sen (b t – c x)<br />
en las que “x” e “y” son coor<strong>de</strong>nadas espaciales y “t” el tiempo.<br />
a) Explique <strong>de</strong> qué tipo <strong>de</strong> fenómeno físico se trata en cada caso e i<strong>de</strong>ntifique los<br />
parámetros que aparecen en dichas expresiones, indicando sus respectivas unida<strong>de</strong>s.<br />
b) ¿Qué diferencia señalaría respecto <strong>de</strong> la periodicidad <strong>de</strong> ambos fenómenos?<br />
<strong>Tema</strong> 2-19
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
ECUACIÓN DE ONDAS ARMÓNICAS<br />
12. La ecuación <strong>de</strong> una onda que se propaga en una cuerda es<br />
y(x, t) = 0.5 sen π(8t – 4x) (S.I.)<br />
a) Calcular la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la onda y la velocidad <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la<br />
cuerda y explicar el significado <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas.<br />
b) Representar gráficamente la posición <strong>de</strong> los puntos <strong>de</strong> la cuerda en el instante t=0s y la<br />
elongación en x=0m en función <strong>de</strong>l tiempo.<br />
Sol. a) v p = 2m/s, v(x,t) = 4π cos (8πt – 4πx).<br />
13. Un altavoz produce una onda sonora <strong>de</strong> 10m <strong>de</strong> amplitud y una frecuencia <strong>de</strong> 200Hz, que<br />
se propaga con una velocidad <strong>de</strong> 340ms –1 .<br />
a) Escriba la ecuación <strong>de</strong> la onda, suponiendo que ésta se propaga en una sola dirección.<br />
b) Represente la variación espacial <strong>de</strong> la onda, en los instantes t = 0 y t = T / 4.<br />
Sol. a) y(x,t) = 10 sen (400πt – 1.17πx)<br />
14. Una onda armónica <strong>de</strong> amplitud 0,3m se propaga por una cuerda con una velocidad <strong>de</strong><br />
2ms –1 y longitud <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> 0,25m.<br />
a) Escriba la ecuación <strong>de</strong> la onda en función <strong>de</strong> x y t.<br />
b) Determine la velocidad <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la cuerda situado en x = 13/16 m, en el instante<br />
t = 0,5s.<br />
Sol. a) y(x,t) = 0.3 sen (16πt – 8πx), b) v(13/16,0.5) = 0m/s.<br />
15. Se hace vibrar transversalmente un extremo <strong>de</strong> una cuerda <strong>de</strong> gran longitud con un<br />
período <strong>de</strong> 0,5πs y una amplitud <strong>de</strong> 0,2cm, propagándose a través <strong>de</strong> ella una onda con<br />
una velocidad <strong>de</strong> 0,1ms –1 .<br />
a) Escriba la ecuación <strong>de</strong> la onda, indicando el razonamiento seguido.<br />
b) Explique qué características <strong>de</strong> la onda cambian si: i) se aumenta el período <strong>de</strong> la<br />
vibración en el extremo <strong>de</strong> la cuerda; ii) se varía la tensión <strong>de</strong> la cuerda.<br />
Sol. a) y(x,t) = 0.2 sen (4t – 40x)<br />
16. La ecuación <strong>de</strong> una onda armónica en una cuerda tensa es:<br />
y(x,t) = A sen (ω t – kx)<br />
a) Indique el significado <strong>de</strong> las magnitu<strong>de</strong>s que aparecen en dicha expresión.<br />
b) Escriba la ecuación <strong>de</strong> otra onda que se propague en la misma cuerda en sentido<br />
opuesto, <strong>de</strong> amplitud mitad y frecuencia doble que la anterior.<br />
Sol. a) y(x,t) = A/2 sen (2ωt + kx)<br />
17. Por una cuerda tensa, colocada a lo largo <strong>de</strong>l eje X, se propaga un movimiento ondulatorio<br />
transversal cuya función <strong>de</strong> onda es:<br />
y = 0.15 sen ( 4π x + 400π t) (S.I.)<br />
a) Represente gráficamente la forma <strong>de</strong> la onda en el instante inicial y un cuarto <strong>de</strong><br />
periodo <strong>de</strong>spués.<br />
b) Determine la elongación y la velocidad <strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> la cuerda situado en la posición<br />
x = 0,5 m, en el instante t = 0,01 s.<br />
Sol. b) y(x,t) = 0m, v(x,t) = 60π m/s= 188.5m/s<br />
18. Por una cuerda tensa (a lo largo <strong>de</strong>l eje x) se propaga una onda armónica transversal <strong>de</strong><br />
amplitud A = 5cm y <strong>de</strong> frecuencia f = 2Hz con una velocidad <strong>de</strong> propagación v = 1,2ms –1 .<br />
a) Escriba la ecuación <strong>de</strong> la onda.<br />
b) Explique qué tipo <strong>de</strong> movimiento realiza el punto <strong>de</strong> la cuerda situado en x = 1m y<br />
calcule su velocidad máxima.<br />
Sol. a) y(x,t) = 0.05 sen (4πt – 3.33πx); b) v máx = 0.2π m/s<br />
19. Por una cuerda se propaga la onda;<br />
y = cos (50 t – 2 x)<br />
(S.I.)<br />
a) Indique <strong>de</strong> qué tipo <strong>de</strong> onda se trata y <strong>de</strong>termine su velocidad <strong>de</strong> propagación y su<br />
amplitud.<br />
b) Explique qué tipo <strong>de</strong> movimiento efectúan los puntos <strong>de</strong> la cuerda y calcule el<br />
<strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong>l punto situado en x = 10cm en el instante t = 0,25s.<br />
<strong>Tema</strong> 2-20
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
Sol. a) A = 1m, v p = 25m/s; b) y(0.1, 0.25) = – 0.21m<br />
20. Por una cuerda se propaga un movimiento ondulatorio caracterizado por la función <strong>de</strong><br />
onda:<br />
⎛ t x ⎞<br />
y = A sen 2π<br />
⎜ − ⎟<br />
⎝ T λ ⎠<br />
Razone a qué distancia se encuentran dos puntos <strong>de</strong> esa cuerda si:<br />
a) La diferencia <strong>de</strong> fase entre ellos es <strong>de</strong> π radianes.<br />
b) Alcanzan la máxima elongación con un retardo <strong>de</strong> un cuarto <strong>de</strong> periodo.<br />
Sol. a) Δx = λ/2; b) Δx = λ/4.<br />
21. La ecuación <strong>de</strong> una onda que se propaga por una cuerda tensa es:<br />
y(x,t) = 0,05 sen π (25 t – 2 x) (S.I.)<br />
a) Explique <strong>de</strong> qué tipo <strong>de</strong> onda se trata y en qué sentido se propaga e indique cuáles son<br />
su amplitud, frecuencia y longitud <strong>de</strong> onda.<br />
b) Calcule la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la onda y la velocidad <strong>de</strong>l punto x = 0m <strong>de</strong> la<br />
cuerda en el instante t = 1s y explique el significado <strong>de</strong> cada una <strong>de</strong> ellas.<br />
Sol. a) A = 0.05m, f = 12.5Hz, λ = 1m; b) v p = 12.5m/s, v(0,1) = –1.25πm/s.<br />
22. Un tabique móvil ha provocado, en la superficie <strong>de</strong>l agua <strong>de</strong> un estanque un movimiento<br />
ondulatorio caracterizado por la función:<br />
⎛<br />
π ⎞<br />
y = 0.04 sen ⎜10π x - 4π t + ⎟ (SI)<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
Suponiendo que los frentes <strong>de</strong> onda producidos se propagan sin pérdida <strong>de</strong> energía,<br />
<strong>de</strong>termine:<br />
a) El tiempo que tarda en ser alcanzado por el movimiento un punto situado a una<br />
distancia <strong>de</strong> 3m <strong>de</strong>l tabique.<br />
b) La elongación y la velocidad, en dicho punto, 0,5s <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> haberse iniciado el<br />
movimiento.<br />
Sol. a) t = 1.2s; b) y(x,t) = 0m, v(x,t)=0m/s.<br />
FENÓMENOS ONDULATORIOS<br />
23. Comentar cómo varían las siguientes magnitu<strong>de</strong>s cuando una onda pasa <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el medio 1<br />
al medio 2 siendo v 1 >v 2 . Amplitud, frecuencia, longitud <strong>de</strong> onda, fase inicial, periodo,<br />
número <strong>de</strong> onda.<br />
24. Calcula el ángulo límite <strong>de</strong> una onda que pasa <strong>de</strong> un medio con v p1 =1.200m/s a otro con<br />
v p2 =2.300m/s<br />
Sol. ϕ L = 31.45º<br />
25. Indique si son verda<strong>de</strong>ras o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas:<br />
a) La velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> una onda armónica es proporcional a su longitud <strong>de</strong><br />
onda.<br />
b) Cuando una onda inci<strong>de</strong> en la superficie <strong>de</strong> separación <strong>de</strong> dos medios, las ondas<br />
reflejada y refractada tienen igual frecuencia e igual longitud <strong>de</strong> onda que la onda<br />
inci<strong>de</strong>nte.<br />
26. Explicar por qué durante el día se pue<strong>de</strong> ver el exterior a través <strong>de</strong>l cristal <strong>de</strong> una ventana<br />
pero no el interior y por la noche se invierte la situación. Suponer una casa sin luz en el<br />
exterior.<br />
27.<br />
28.<br />
a) Explique qué son una onda transversal y una onda longitudinal. ¿Qué quiere <strong>de</strong>cir que<br />
una onda está polarizada linealmente?<br />
b) ¿Por qué se dice que en un fenómeno ondulatorio se da una doble periodicidad? ¿Qué<br />
magnitu<strong>de</strong>s físicas la caracterizan?<br />
<strong>Tema</strong> 2-21
<strong>Tema</strong> 2: <strong>Movimiento</strong> ondulatorio<br />
Física 2º Bachillerato<br />
a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente<br />
dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía.<br />
b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda <strong>de</strong> una guitarra se<br />
producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo <strong>de</strong> onda se ha producido en cada<br />
caso y comente las diferencias entre ambas.<br />
29. Una onda <strong>de</strong> v p =200.000m/s y T=10 –8 s llega a una ranura. ¿De qué anchura <strong>de</strong>be ser la<br />
ranura para que se aprecie el fenómeno <strong>de</strong> la difracción?<br />
Sol. d = 0.002m.<br />
30.<br />
a) Explique los fenómenos <strong>de</strong> reflexión y refracción <strong>de</strong> una onda.<br />
b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud <strong>de</strong> onda y velocidad <strong>de</strong> propagación la onda<br />
inci<strong>de</strong>nte, la reflejada y la refractada?<br />
31. ¿Se pue<strong>de</strong> polarizar el sonido?<br />
32. La cuerda <strong>de</strong> una guitarra vibra <strong>de</strong> acuerdo con la ecuación<br />
y(x,t)=0.01sen(10πx)cos(200πt) (en unida<strong>de</strong>s S.I.)<br />
a) Indicar <strong>de</strong> qué tipo <strong>de</strong> onda <strong>de</strong> trata y calcular la amplitud y la velocidad <strong>de</strong> propagación<br />
<strong>de</strong> las ondas cuya superposición pue<strong>de</strong> dar lugar a dicha onda.<br />
b) ¿Cuál es la energía <strong>de</strong> una partícula <strong>de</strong> la cuerda situada en el punto x=10cm?<br />
Razonar la respuesta.<br />
Sol. a) A = 0.005m, v p = 20m/s; b) E = 0J.<br />
33. La ecuación <strong>de</strong> una onda en una cuerda tensa es:<br />
y (x, t) = 4·10 –3 sen (8πx) cos (30πt)<br />
(S.I.)<br />
a) Indique qué tipo <strong>de</strong> onda es y calcule su período y su longitud <strong>de</strong> onda.<br />
b) Explique cuál es la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la onda y cuál es la velocidad <strong>de</strong> los<br />
puntos <strong>de</strong> la cuerda. Calcule la velocidad máxima <strong>de</strong>l punto x = 0,5 m.<br />
Sol. a) T=0.067s, λ=0.25m; b) v p =0m/s, v(x,t)= –0.12π sen (8πx) sen (30πt), v(0.5,t)=0m/s<br />
34. La ecuación <strong>de</strong> una onda que se propaga por una cuerda tensa es:<br />
y(x, t) = 4 sen π(50t–4x) (S.I.).<br />
a) Calcular la amplitud, la longitud <strong>de</strong> onda y el periodo <strong>de</strong> dicha onda. ¿Qué significado<br />
físico tiene el menos que aparece <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l paréntesis?<br />
b) Determinar la velocidad <strong>de</strong> propagación <strong>de</strong> la onda. ¿Se mueven los puntos <strong>de</strong>l medio<br />
con esa velocidad?<br />
Sol. a) A = 4m, λ = 0.5m, T = 0.04s; b) v p = 12.5m/s<br />
35. Se hace vibrar una cuerda <strong>de</strong> guitarra <strong>de</strong> 0,4m <strong>de</strong> longitud, sujeta por los dos extremos.<br />
a) Calcule la frecuencia fundamental <strong>de</strong> vibración, suponiendo que la velocidad <strong>de</strong><br />
propagación <strong>de</strong> la onda en la cuerda es <strong>de</strong> 352ms –1 .<br />
b) Explique por qué, si se acorta la longitud <strong>de</strong> una cuerda en una guitarra, el sonido<br />
resulta más agudo.<br />
Sol. a) f fund = 440Hz.<br />
36. La ecuación <strong>de</strong> una onda en una cuerda es:<br />
y( x, t ) = 0,2 sen (6πx) cos( 20πt ) ( S.I.)<br />
a) Explique las características <strong>de</strong> la onda y calcule su periodo, longitud <strong>de</strong> onda y<br />
velocidad <strong>de</strong> propagación.<br />
b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero e indique el<br />
nombre y las características <strong>de</strong> dichos puntos.<br />
Sol. a) T =0.1s, λ = 0.33m, v p = 0m/s; b) d = 0.17m<br />
37. La ecuación <strong>de</strong> una onda transversal que se propaga por una cuerda es:<br />
y(x, t) = 0.06 cos2π(4t-2x) (S.I.)<br />
<strong>Tema</strong> 2-22
<strong>Colegio</strong> <strong>Sagrado</strong> Corazón<br />
a) Calcular la diferencia <strong>de</strong> fase entre los estados <strong>de</strong> vibración <strong>de</strong> una partícula <strong>de</strong> la<br />
cuerda en los instantes t=0s y t=0.5s.<br />
b) Calcula la diferencia <strong>de</strong> fase entre dos puntos separados 3m.<br />
Sol. a) Δθ = 4πrad., b) Δθ = 12πrad<br />
38. La ecuación <strong>de</strong> una onda en una cuerda es:<br />
y( x,t) = 0.4 sen (12πx) cos(40πt)<br />
(S.I.)<br />
a) Explique las características <strong>de</strong> la onda y calcule su periodo, longitud <strong>de</strong> onda y<br />
velocidad <strong>de</strong> propagación.<br />
b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero.<br />
Sol. a) T = 0.05s, λ = 0.17m, v p = 0m/s; b) d = 0.083m<br />
39.<br />
a) ¿Cuáles son las longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> onda posibles <strong>de</strong> las ondas estacionarias producidas en<br />
una cuerda tensa, <strong>de</strong> longitud L, sujeta por ambos extremos? Razone la respuesta.<br />
b) ¿En qué lugares <strong>de</strong> la cuerda se encuentran los puntos <strong>de</strong> amplitud máxima? ¿Y los <strong>de</strong><br />
amplitud nula? Razone la respuesta.<br />
<strong>Tema</strong> 2-23