Corrección Examen 1. Andalucía 2011

Corrección Examen 1. Andalucía 2011OPCIÓN A1.a) Relación entre campo y potencial gravitatorios.b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por unamasa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se traslada hasta otropunto B, más próximo a M. Razone si aumenta o disminuye su energíapotencial.a) Se define el campo gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la fuerza por unidad demasa con la que es capaz de atraer a cualquier otra masa ‘m’ situada en el espacio que larodea.rr Fgr GMg = ⇒ g = − rˆ2m rdonde G es la constante de gravitación universal, M es la masa que crea el campo y r esla distancia a al que se quiere calcular el campo.Es una magnitud vectorial cuya unidad m/s 2 muestra que representa una aceleraciónque, en el caso de que ‘M’ sea una masa puntual es radial y hacia dentro.g rg r g rg rSe definen las líneas de campo como las líneas tangentes al campo gravitatorio en todoslos puntos del espacio.Se define el potencial gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la energía potencialgravitatoria por unidad de masa que tendría una masa ‘m’ en las proximidades de ‘M’.UEp= −mgrav⇒ UGM= −rdonde G, M y r ya se han definido.Es una magnitud escalar cuya unidad es el J/Kg. La representación de U es

Urdonde se puede ver como U siempre tiene un valor negativo y que para r→∞, U tiende acero.Se definen las superficies equipotenciales como las regiones del espacio que están apotencial constanteLa relación entre el campo y el potencial gravitatorios de consiste en la expresión:dUg =drque indica que el valor del campo gravitatorio que crea una masa puntual es igual a laderivada del potencial respecto la distancia en ese punto.En general se cumple que1. Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficiesequipotenciales.2. Las líneas de campo siempre apuntan hacia potenciales decrecientes.b)MB ·g r· A

Como la masa ‘m’ se acerca a M pasando del punto A al punto B se tiene que lasenergías potenciales son:EpA= mUAEpB= mUBy al serGMU = −ral estar B más cerca de M que A se tiene que R B < R A con lo que U B

ˆACACAC=( 4,0) − ( 0,0) = ( 4,0)= 4m=( 1,0)rrrrrˆBCBCBC=( 4,0) − ( 0,3) = ( 4, −3)= 5m⎛ 4 3 ⎞= ⎜ , − ⎟⎝ 5 5 ⎠rErEKQ=r9⋅10⋅5⋅109 −5AArˆAC=⋅ /2 2AC4KQ=r9⋅10⋅5⋅104( 1,0) = ( 2.81 10 ,0) N C444( 1.44⋅10, −1.0810 ) N C9 −5BBrˆ⎛ ⎞BC=, =⋅ /2 2 ⎜ − ⎟BC5 ⎝ 5 5 ⎠3El campo total en el punto C será la suma de los campos individuales.rEr= Er+ E44( 4.25⋅10, −1.08⋅10) N CTotal A B=/En cuanto al potencial:9KQA9⋅10⋅5⋅10VAC= =r 4AC−5= 11.25⋅104VVBC=KQrBCA9⋅10=9⋅5⋅105−5= 9⋅104VPor lo queVTotal= VAC+ VBC= 20.25⋅104Vb)Si se abandona una carga q= +10 –7 C en el punto C, ésta recibirá una fuerza:r rF = q ⋅E Totalal ser la carga ‘q’ positiva dicha fuerza irá dirigida en la dirección y sentido del campototal, por lo que se alejará con una trayectoria rectilínea en la dirección y sentido quemarca E rTotal. Dicha fuerza valdrá:r−3−3F = ( 4.25⋅10,1.08⋅10)N4. El espectro de luz visible (luz blanca) incluye longitudes de onda comprendidasentre 3,8·10 -7 m (violeta) y 7,8·10 -7 m (rojo).a) Enuncie la hipótesis de Planck y calcule la energía de los fotones quecorresponden a las luces violeta y roja indicadas.b) ¿Cuántos fotones de luz roja son necesarios para acumular una energía de 3 J?c = 3·10 8 ms -1 ; h = 6,6·10 -34 J s

a) La hipótesis de Planck afirma que la radiación era emitida por la materia en forma depaquetes de energía denominados cuantos cuya energía valía:E=h νdonde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación. Esta ideacontradecía la teoría clásica que afirmaba que la radiación era una ondaelectromagnética y por lo tanto estaba deslocalizada en el espacio.Las longitudes de onda dadas corresponden a unas frecuencias dadas por la relaciónentre la longitud de onda y la frecuencia de la radiación:c= λνdonde c es la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda y ν es la frecuencia. Por lotanto la energía del fotón se puede calcular como:E = hcλEEvioletarojohc=λhc= =λ−3486.63⋅10⋅3⋅10−19== 5.23⋅10−7violeta3.8⋅10−3486.63⋅10⋅3⋅10−19= 2.55⋅10J−7rojo7.8⋅10JE violeta = 5.26·10 –19 JE rojo = 2.55 · 10 –19 Jb)Para acumular una energía de 3J hacen falta:3J= 1.18⋅−2.55⋅10J / fotón191019n = 1.18 · 10 19 fotonesfotones

OPCIÓN B1.a) Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz.b) Explique, con ayuda de un esquema, el tipo de movimiento que efectúan unelectrón y un neutrón al penetrar con una velocidad v r en una región del espacio enla que existe un campo magnético uniforme, B r , perpendicular a v r .La fuerza que una partícula cagada experimenta cuando se mueve en el interior de uncampo magnético se puede calcular mediante la expresión:r r rF m= q ⋅v× By su módulo vale:F m= q ⋅v⋅ B ⋅ sen( α)dondeq es la carga de la partícula,v r es la velocidad a la que viaja,B r es el campo magnético,α es el ángulo que forman los vectores v r y B r .por las propiedades del producto vectorial, el valor de la fuerza es perpendicular alplano que forman los vectores v r y B r y en el caso de ser estos paralelos, la fuerza esnula.En el caso que una partícula cargada se moviera en una región del espacio en la que almismo tiempo hubiera un campo eléctrico E r y otro campo magnético B r la fuerza totalque recibiría la carga se conoce como fuerza de Lorentz:r r rF = F + Femr rF = qr r r= qE + qv × Brr( E + v × B)b)La fuerza que reciben ambas partículas en las condiciones que se indican vale:= q ⋅v⋅ BF md onde se ha tenido en cuenta que el ángulo que forman v r y B res 90º y que por lo tantosen(90º) =1.Al depender la fuerza de la carga de la partícula se puede concluir que la fuerza querecibe el neutrón es nula al carecer de carga esta partícula, luego el movimiento delneutrón es un MRU al no experimentar fuerza.F neutrón = 0 → descr ibe un MRUEl electrón recibe una fuerza que en módulo valeF = q ⋅v⋅ Bme

y la dirección y sentido vienen dadas por la regla de la mano derecha aplicada al girordel vector v hacia B r . La figura muestra la dirección y el sentido de la fuerza teniendoen cuenta la carga negativa del electrón. El resultado es que la fuerza siempre esperpendicular a la velocidad y por lo tanto siempre varía la dirección de la misma, porlo que la trayectoria es circular y el módulo de la velocidad constante. Esto significa queel electrón va a describir un MCU.v rF rB rF rv rB r2.a) Ley de desintegración radiactiva; magnitudes.b) Defina actividad de un isótopo radiactivo. Razone si puede asegurarse quedos muestras radiactivas de igual masa tienen igual actividad.a)La ley de desintegración radiactiva nos indica el número de núcleos que van quedandode un material radiactivo a medida que pasa el tiempo.−λtN N e= 0En la anterior expresiónN es el número de átomos que quedan en una muestraN 0 es el número de átomos inicialλ es la constante radiactiva que indica la probabilidad de que un núcleo sufra unadesintegración. Su unidad es de tiempo –1t es el tiempo transcurrido.Se define el periodo de semidesintegración (T 1/2 ) como el tiempo necesario para que sedesintegran la mitad de los núcleos de una muestra. Su unidad es de tiempo y serelaciona con la constante radiactiva mediante la expresión:T1/ 2ln=λ( 2)

La vida media (τ) es una magnitud que representa el promedio de vida de los átomos deuna muestra. Su unidad es el tiempo y se relaciona con la constante radiactiva mediantela expresión:1τ =λb)Se define la actividad de una muestra como el valor absoluto de la velocidad a la que seproducen las desintegraciones. Su unidad son las desintegraciones por segundo tambiénllamadas Bequerels o el curio.dN−λtA = = λN0e = λNdtDe la expresión obtenida se observa cómo la actividad de una muestra depende de lacantidad de átomos que la componen y de la constante radioactiva, que es propia deltipo de elemento radioactivo en cuestión. Por lo tanto no se puede asegurar que dosmuestras radiactivas que tengan la misma masa tengan la misma actividad ya que lastanto las constantes radiactivas (λ) como el número de átomos serán diferentes enmuestras formadas por átomos diferentes.3. Un cuerpo de 50 kg se eleva hasta una altura de 500 km sobre la superficieterrestre.a) Calcule el peso del cuerpo en ese punto y compárelo con su peso en la superficieterrestre.b) Analice desde un punto de vista energético la caída del cuerpo desde dichaaltura hasta la superficie terrestre y calcule con qué velocidad llegaría al suelo.R T = 6370 km; g = 9,8 ms –2a)En general el valor de la gravedad terrestre vale:r GMg = − Trˆ2rdonde:G es la constante de gravitación universal,M T es la masa de la Tierra,r es la distancia entre el centro de la Tierra y el punto en el que se quiereaveriguar el valor de la gravedad,el signo negativo indica que la dirección y del vector g r es radial y su sentidohacia el centro de la Tierra.rR Thr=R T + h

A 500Km de altura el valor de la gravedad ha variado, por lo que es necesario calcularel nuevo valor de g para averiguar el peso del objeto en ese lugar.En este caso se va a tratar con el módulo de la gravedad, por lo que:GMTg =Al no disponer de G ni de M T su producto se obtiene a partir del valor de la gravedaden la superficie terrestre:2rg0GM=RT2TGMT= g0R2TCon lo que a 500Km se tiene:g =g0R2T( R + h)T2g =9.8⋅6.370.000( 6.370.000 + 500.000) 2g = 8.43m/s 2Por lo tanto se obtienen para el peso del objeto:En la superficie → P = mg 0 = 50 · 9.8 = 490NA 500Km → P = mg = 50 · 8.43 = 421.5 NSe puede comprobar cómo al elevarse a 500Km la gravedad terrestre ha disminuido ypor lo tanto el peso del objeto también ha disminuido.b)Se supone que el objeto se encuentra inicialmente en reposo a 500Km y que desde ahícae libremente hacia la Tierra. En todo el proceso sólo actúa la fuerza gravitatoria y nose considera el rozamiento con el aire. Como no hay fuerzas no conservativas seconserva la energía mecánica del sistema según el principio de conservación de laenergía mecánica:Si W FNC = 0 → E m = cteLa energía potencial gravitatoria de la masa vale:GMTmEp= −rA medida que la masa va descendiendo y va perdiendo energía potencial, va ganandoenergía cinética en la misma medida, puesto que la suma de energía potencial másenergía cinética, que es la energía mecánica, debe ser constante.2

Por lo tantoE m inicial = E m finalE p = E c + E pGMTm 1− =RT+ h 2Simplificando y despejando v:mv2GM−RTTmv =2GMT⎛ 1⎜⎝ RT−RT1 ⎞⎟+ h ⎠v =2⎛12g0RT⎜⎝ RT1 ⎞− ⎟RT+ h ⎠v =⎛2g0⎜RT⎝2RT⎞− ⎟RT+ h ⎠v =2⎛6370000 ⎞2⋅9.8⎜6370000 −⎟⎝ 6370000 + 500000 ⎠v = 3014 m/s4. Un cuerpo de 0,1kg, unido al extremo de un resorte de constante elástica10Nm -1 , se desliza sobre una superficie horizontal lisa y su energía mecánica es de1,2J.a) Determine la amplitud y el periodo de oscilación.b) Escriba la ecuación de movimiento, sabiendo que en el instante t=0 elcuerpo tiene aceleración máxima, y calcule la velocidad del cuerpo en elinstante t = 5s.a) En un sistema de masa y muelle la energía mecánica se conserva puesto que sóloactúa la fuerza del muelle que es conservativa.kmEn este caso la energía mecánica del oscilador vale:1 2 Em = KA2

Con lo que se obtiene:A =2EkmA =2⋅1.210A = 0.49mPara calcular el periodo de oscilación hay que obtener la frecuencia del movimiento. Eneste oscilador armónico simple la fuerza está ejercida por un muelle, por lo que:F = m·a– k·x = m(–ω 2 x)ω =km2π=TkmT= 2πmkT= 2π0.110T = 0.63 sb)La ecuación general de un MAS es:x ( t)= A sen ωt+ ϕ( )En este caso la aceleración es máxima en el instante inicial, por lo que inicialmente lapartícula se encuentra en uno de los extremos de la trayectoria. La ecuación general sepuede expresar en función del coseno de modo que en t=0 se obtiene x(0)=A.x( t) = 0.49 cos( 10t)x(5)= 0.49cos( 10⋅5) = 0.47m* Otra alternativa era haber calculado la fase inicial y usar la función seno⎛ π ⎞x () t = 0.49sen⎜10t+ ⎟⎝ 2 ⎠0