Tema 54 Proposiciones derivadas de una condicional

Tema 54Proposiciones derivadas de una condicionalMatemáticas9Con las dos proposiciones p y q que conforman la condicionalp → q, se pueden formar tres condicionales que reciben nombresespeciales y cuyo valor de verdad estudiaremos seguidamente.Consideremos la proposición condicional p → q: Si estudias juiciosamenteaprobarás el examen.q → p −p → −q −q → −pSi apruebasel examen,entonces estudiasjuiciosamente.Se intercambian lasproposiciones simplesque conforman lacondicional.Si no estudiasjuiciosamente,entonces no aprobarásel examen.Se niegan lasproposiciones simplesque conforman lacondicional.Si no apruebas elexamen, entoncesno estudiasjuiciosamente.Se niegan eintercambian lasproposiciones simplesque forman lacondicional.Comparemos los valores de verdad de una condicional con los dela conversa, la inversa y la contrarecíproca obtenidas a partir deella.Proposición: (p → q) Si dos ángulos son opuestos por el vérticeentonces son congruentes.121. Conversa: (q → p) Si dos ángulos soncongruentes entonces son opuestospor el vértice. La figura muestrados ángulos congruentes que no sonopuestos por el vértice. Luego, si laproposición condicional es verdadera,no puede asegurarse que su conversasea verdadera.2. Inversa: (∼p → ∼q) Si dos ángulos noson opuestos por el vértice, entoncesno son congruentes. La figura ilustrados ángulos que no son opuestos porel vértice y sin embargo son congruentes.Luego, si la proposición condicionales verdadera, no puede asegurarseque su inversa sea verdadera.Contrarrecíproca:3. (∼q → ∼p) Si dosángulos no son congruentes, entoncesno son opuestos por el vértice. Lafigura ilustra dos ángulos con vérticecomún que no son congruentes y entoncesno son opuestos por el vérticeporque los rayos que son sus lados noforman rectas. Luego, si la proposicióncondicional es verdadera, podemosasegurar que la contrarrecíproca ocontrapositiva es verdadera; por ellose tiene otra forma de argumentarlógicamente.1 2

Matemáticas9Ley contrapositiva o contrarrecíprocaPremisa1: p → qConclusión: ∼q → ∼pAsí, cada vez que tenemos una proposición condicional, podremosremplazarla por su contrapositiva en cualquier razonamiento.Cuando p → q y q → p son ambas verdaderas, pueden combinarsepara formar una sola proposición llamada bicondicional(p ↔ q): dos rectas cortadas por una transversal son paralelas siy sólo si los ángulos alternos internos son congruentes. Todas lasdefiniciones geométricas se pueden expresar como bicondicionales,así: Un cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si tienedos pares de lados opuestos paralelos.123Para cada proposición condicional construye las condicionalesderivadas.a. Si un número es par su consecutivo es impar.__________________________b.Si un trapecio es isósceles sus ángulos de la base soncongruentes. _______________________________Si supones que las condicionales del ejercicio anterior sonverdaderas, ¿cuál es el valor de verdad de sus conversas orecíprocas? ¿Y de sus inversas o contrarias? ¿Y de las contrarrecíprocaso contrapositivas? _______________________La proposición contrapositiva de una condicional dice: Siun número no es múltiplo de 4 entonces sus dos últimos456dígitos no forman un múltiplo de 4. ¿Cuál es la condicional?¿Es una conclusión válida? _______________________________________________________Cuáles son los valores de verdad de las condicionales derivadasde la siguiente proposición: si un perro ladra entoncesno muerde. ____________________________________Un aviso dice: Si viene los domingos no encontrará servicio.¿Cuál de las proposiciones derivadas tiene el mismo valorde verdad? Enúnciala. _____________________________Representa un diagrama en el cual sea evidente la siguienteexpresión: si x es un número racional entonces es unnúmero real.Representa gráficamente las condicionales derivadas de ésta.Interpreta el valor de verdad de los diagramas.78Usa la ley contrapositiva o contrarrecíproca para obtenerconclusiones válidas.a. Si mi apellido es Salgado, entonces mi padre es apelli-do Salgado. ___________________________________b. Si dos ángulos agudos de un triángulomiden cada uno 45º, el triángulo es rectángulo.____________________________Enuncia la siguiente definición como una bicondicional:“Un número primo solo tiene dos divisores”. Explica.

Matemáticas99 “Si un número entero es divisible por a entonces es múltiplode a y Si un número es múltiplo de a entonces tienela forma ma”. Se concluye: “Si un número no tiene laforma ma entonces no es divisible por a”. ¿Es correctoeste razonamiento? Diagrámalo y explica la conclusión._____________________________1011Para cada proposición, determina su conversa y el valor deverdad de ambas. Si es posible, construye la bicondicional.a. Si un paralelogramo es equilátero es un cuadrado.________________________b. Si un trapecio es isósceles es equilátero. _________________________________Para el siguiente conjunto de premisas encuentra una conclusión:Premisa 1:qPremisa 2 : qPremisa 3 : p→ r→ q12Si para una función f(x) = f(–x) se dice que la función espar. Una función no es inyectiva, si para dos valores diferentesde su dominio f tiene la misma imagen. ¿Se puedeconcluir que, si una función no es inyectiva entonces espar? _______________________