Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE CIENCIASPOSTGRADO DE MATEMATICASEcuaciones Integrales Linealesde Volterra-Dushnik en Espacios de Banachy Algunas AplicacionesTesis Doctoral como requisito para optar alGrado de Doctor en MatemáticasAutor: MSc. Javier Arturo Quintero CadenasTutor: Dr. Nelson G. Viloria Abreu.Mérida-Venezuela2012Este trabajo fue financiado por el Consejo de Investigaciones y Postgradode la Universidad Nacional Abierta.

ResumenEn este trabajo estudiamos condiciones para la existencia yla unicidad de la solución de la ecuación integral de Volterra(K)x(t)+∫d s K(t,s)x(s) = u(t)t ∈ [a,b],[a,t]en el sentido de la integral de Dushnik en espacios de Banachy damos algunas aplicaciones.

Índice generalIntroducciónIII1. Notaciones y resultados fundamentales 11.1. Funciones regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Funciones regladas por la izquierda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Funciones simplemente regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. Funciones de semivariación acotada y variación acotada . . . . . . . . . . . 231.5. Espacio G σ · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o262. Integral de Dushnik 352.1. Integral de Dushnik e integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 352.1.1. Propiedades de la integral de Dushnik . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2. Integral de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Integral de funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2. Propiedades de la integral de funciones escalonadas . . . . . . . . . 422.2.3. Integral de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.4. Propiedades de la integral de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . 442.3. Teorema fundamental del cálculo para la integral de funciones regladas . . 473. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 553.1. Teorema de representación integral para F α. . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.1. El dual de G − ([a, b]; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Teorema de representación integral para F K. . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3. Existencia y unicidad de (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4. La resolvente de la ecuación (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 824.1. Operador adjunto de F K∈ L[G − ([a, b]; X)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.1. La resolvente de la ecuación (K ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2. Teoría de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95ii

iiiIndice General4.2.1. Semigrupos fuertemente continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.2. Integral de Cauchy-Riemann de un semigrupo uniformemente continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.3. El generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo . . 100Apéndice A 129A.1. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.2. Principales espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.3. Principales normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.4. Teorema de Hahn-Banach y Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . 130Bibliografía 132

IntroducciónivIntroducciónConsideremos la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik:∫(K) x(t) + d s K(t, s)x(s) = u(t)t ∈ [a, b],[a,t]donde [a, b] ⊂ R es un intervalo compacto, E([a, b]; X) un espacio de Banach,u ∈ E([a, b]; X) una función conocida, x ∈ E([a, b]; X) una función incógnita yK : [a, b] × [a, b] −→ L(X).El objetivo de este trabajo es demostrar la existencia y la unicidad de la solución dela ecuación (K), hallar la resolvente R : [a, b]×[a, b] −→ L(X) para dar la forma explícitade ésta y mostrar algunas de sus aplicaciones.Para esto, definimos el operador de Volterra-Dushnik F K∈ L[E([a, b]; X)] dado por∫F K[x](t) = d s K(t, s)x(s) ∀ x ∈ E([a, b]; X) ∀ t ∈ [a, b],[a,t]con K : [a, b] × [a, b] −→ L(X) que verifica ciertas condiciones que nos permiten asociarleel operador F K.Así, transformamos la ecuación (K), en la ecuación linealx(t) + F K[x](t) = u(t)t ∈ [a, b],y consideramos el operador H : E([a, b]; X) −→ E([a, b]; X)Hx = u − F K[x] ∀ x ∈ E([a, b]; X), (1)que transforma el problema de demostrar la existencia de la solución de (K) en hallarx ∈ E([a, b]; X), solución de la ecuación x = Hx, empleando el teorema de punto fijo deBanach.Utilizamos el método de aproximaciones sucesivas para buscar la solución de (K) :tomamos x 0 ∈ E([a, b]; X) y lo introducimos en el segundo miembro de (1); así obtenemosx 1 (t) = u(t) − F K[x 0 ](t)t ∈ [a, b],donde x 1 ∈ E([a, b]; X). Por lo tanto, lo podemos introducir en el segundo miembro de(1), resultando

Introducciónvx 2 (t) = u(t) + F K[x 1 ](t)t ∈ [a, b],con x 2 ∈ E([a, b]; X). Continuando este proceso obtenemos una sucesión(x n (t)) n≥0 ⊂ E([a, b]; X), cuyo término general esx n (t) = u(t) − F K[x n−1 ](t)t ∈ [a, b],y, además, (x n (t)) n≥0 converge uniformemente a x(t) solución de (K).Por otro lado, reescribimos la ecuación (K) como(I + F K)[x] = u, (2)donde (I + F K) ∈ L [ E([a, b]; X) ] es un operador biyectivo; por lo tanto, existe unacorrespondencia continua biyectiva entre la solución x ude (K) y la función u; ésta es, eloperadorE([a, b]; X) ∋ u ↦→ x u= (I + F K) −1 [u] ∈ E([a, b]; X).Así, podemos expresar la solución de (1) comox u:= R[u],donde R := (I + F K) −1 es llamado operador resolvente de la ecuación (K).Lo desarrollado en el estudio de la ecuación (K) nos motivó a buscar las aplicacionesde esta teoría que se precisan en:Calcular la ecuación adjunta a la ecuación (K)∫(K ∗ ) y(s) + K(t, s) ∗ dy(t) = v(s)s ∈ [a, b],[a,s]donde y ∈ E ′ ([a, b]; X) es una función incógnita, ( E ′ ([a, b]; X) es el espacio dual deE([a, b]; X) ) , v ∈ E ′ ([a, b]; X) es una función conocida y K ∗ : [a, b] × [a, b] −→ L(X ′ )es la transpuesta de K : [a, b] × [a, b] −→ L(X).Dar la forma explícita de la solución de la ecuación (K ∗ ) a través de la resolventeR ∗ : [a, b] × [a, b] −→ L(X ′ ), ésta es∫y v (s) = v(s) − R(t, s) ∗ dv(t) a ≤ s ≤ b.[a,s]

IntroducciónviEstudiar la ecuación diferencial:⎧⎪⎨⎪⎩d ±dt v(t) = Av(t) + u(t± ) 0 ≤ t ≤ r,v(0) = 0.donde r ∈ (0, +∞) y u ∈ E([0, r]; X) es una función conocida y A el generador infinitesimalde un semigrupo fuertemente continuo T(t), t ≥ 0, de operadores lineales acotadosde X en X. Con el objetivo de demostrar que una función v : [0, r] −→ X continua,definida a través de la integral de Cauchy-Riemann como∫v(t) := T(t − s)u(s)ds ∀ t ∈ [0, r],[0,t]es solución de la ecuación bajo condiciones necesarias y suficientes para T, damos un ejemplode un semigrupo fuertemente continuo cuyo generador infinitesimal no es continuo.Nuestro interés en hacer el estudio de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushniksurge de las investigaciones hechas por:Sâmi Elias Arbex [1], en 1976, quién estudia las ecuaciones integrales lineales deVolterra-Stieltjes con núcleos discontinuos.(K) y(t) − y(t o ) +∫ tt od s K(t, s)y(s) = f(t) − f(t o ) a ≤ t ≤ b,donde t 0 ∈ [a, b], f, y : [a, b] −→ X son funciones regladas, con núcleoK : [a, b] × [a, b] −→ L(X) que satisface las condiciones: simplemente reglada en la 1 eravariable, uniformemente de semivariación acotada como función en la 2 da variable, y conrespecto a la diagonal es una función reglada; prueba la existencia y la unicidad de lasolución y existencia de la resolvente para dar la forma explícita de la solución.Chaim Samuel Hönig [9], en 1979, quién estudia ecuaciones integrales lineales de Fredholmcon la integral de Dushnik(F) x(t) − µ∫ bad s K(t, s)x(s) = f(t) a ≤ t ≤ b,donde µ es un parámetro, f, x : [a, b] −→ X son funciones regladas y el núcleoK : [a, b] × [a, b] −→ L(X) satisface las condiciones de simplemente reglada como funciónen la 1 era variable, uniformemente de semivariación acotada como función en la 2 da variabley K(t, a) = 0 a ≤ t ≤ b. Obteniendo existencia de la resolvente, la cual es determinada

Introducciónviimediante una serie de Neumann, formada por los núcleos iterados. Además, calcula laecuación adjunta de la ecuación (F). En 1982, Hönig [10] trabaja ecuaciones integraleslineales de Volterra con la integral de Stieltjes (o Dushnik)(K) y(t) − x +∫ tad s K(t, s)y(s) = f(t) − f(a) a ≤ t ≤ b,donde f, x : [a, b] −→ X son funciones regladas y el núcleo K : [a, b]×[a, b] −→ L(X) satisfaceciertas condiciones para que la integral en (K) sea una función reglada; y además,poder asociarle un operador integral lineal acotado del espacio de las funciones regladas.Por otra parte, Nelson Viloria [17], en 1997, da la forma explícita en serie de Volterracon términos integrales de Dushnik, la solución de la ecuación integral no lineal de Volterraen el sentido de la integral de Dushnik(K) x(t) +∫ tad s K(t, s)f(s, x(s)) = u(t) a ≤ t ≤ b,donde la no linealidad está dada por la función f, cuya existencia y unicidad fue obtenidaen 1985 por Hönig [11].Los métodos utilizados en está investigación son inéditos en el estudio de nuestraecuación (K).Lo anteriormente expuesto lo organizamos en este trabajo en cuatro capítulos. Enel capítulo 1, exponemos los conceptos de espacio de las funciones regladas, funcionesregladas por la izquierda, funciones simplemente regladas, funciones de semivariaciónacotada y variación acotada, y el espacio de las funciones simplemente regladas en la1 era variable, uniformemente de semivariación acotada en la 2 da variable y que se anulanen la diagonal y por encima de ella, espacios importantes para formular un teorema derepresentación integral.En el capítulo 2, damos los conceptos de la integral de Dushnik, integral de Riemann-Stieltjes, integral de Cauchy-Riemann y un teorema fundamental del cálculo para integralesde funciones regladas.En el capítulo 3, presentamos un teorema de representación integral para las aplicacioneslineales acotadas, definidas en el espacio de las funciones regladas con valores enun espacio de Banach y, en particular, describimos el dual del espacio de las funcionesregladas por la izquierda. También damos un teorema de representación integral paraoperadores integrales de Volterra-Dushnik, F K, lineales acotados, definidos en el espaciode las funciones regladas. Demostramos algunos resultados que permiten que la ecuaciónintegral (K) admita solución x uy resolvente R, tal que

Introducciónviiix u(t) = u(t) −∫d s R(t, s)u(s) a ≤ t ≤ b,[a,t]donde la resolvente R podemos escribirlaR(t, s) =∞∑(−1) (n) K (n+1) (t, s).n=0Además, la solución x ula formulamos comox u= (I − F R)[u],herramienta importante para el cálculo de la ecuación adjunta de (K).En el capítulo 4, utilizamos el dual de las funciones regladas por la izquierda, el cualpermite de forma natural asociar al operador F Kel operador adjunto F ∗; calculamosKla ecuación adjunta de la ecuación (K) y damos la forma explícita de la solución de laecuación adjunta (K ∗ ),∫y v (s) = v(s) − R(t, s) ∗ dv(t) s ∈ [a, b].[a,s]Finalmente, presentamos los conceptos de semigrupo fuertemente continuo y generadorinfinitesimal para dar solución a una ecuación diferencial lineal.

Capítulo 1Notaciones y resultadosfundamentalesEn este capítulo, y en el desarrollo del trabajo, salvo que indiquemos lo contrario,[a, b] ⊂ R es un intervalo compacto y X, Y, W denotarán espacios de Banach. L(X, Y )denotará el espacio de Banach de todas las aplicaciones lineales y acotadas definidas deX en Y, con la norma‖F ‖ = sup ‖F(x)‖.x∈X‖x‖≤1Cuando Y = X usaremos la notación L(X) = L(X, X) y X ′= L(X, R) denotará eldual topológico de X cuando Y = R.Denotaremos B([a, b]; X) el espacio de todas las aplicaciones acotadas de [a, b] en X, elcual es un espacio vectorial. Y, además, B([a, b]; X) es un espacio normado con la norma‖x‖ = sup ‖x(t)‖.t∈[a,b]También, presentaremos algunos resultados preliminares sobre el espacio de las funcionesregladas, funciones regladas por la izquierda, funciones simplemente regladas, funcionesde semivariación acotada y variación acotada. Finalmente, definimos el espacioG σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y ))y demostremos algunas de sus propiedades fundamentales.1

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 21.1. Funciones regladasDefinición 1.1.1 Una partición de [a, b] es un conjunto finito P = {t 0 , . . ., t n } cona = t 0 < . . . < t n = b, n(P) = n denota el orden de la partición, |P| = máx{t r − t r−1 :1 ≤ r ≤ n(P)} y P[a, b] el conjunto de todas las particiones de [a, b], donde definimos larelación de orden P 1 ≤ P 2 si, y sólo si, P 1 ⊂ P 2 .Definición 1.1.2 Una función s : [a, b] −→ X es escalonada, si existe una particiónP := {t 0 , . . .,t n } de [a, b] tal que s es constante en cada (t i−1 , t i ) para todo i ∈ {1, . . .,n}.Denotaremos por{}E([a, b]; X) =s : [a, b] −→ X : ses una función escalonada,el cual es un espacio vectorial con las operaciones usuales: sean s 1 , s 2 ∈ E([a, b]; X)i) s 1 + s 2 ∈ E([a, b]; X),ii) λs 1 ∈ E([a, b]; X), λ ∈ F [F = R o C].El funcional ‖ ‖ : E([a, b]; X) −→ R dado por‖s‖ := sup ‖s(t)‖,t∈[a,b]está bien definido porque 0 ≤ ‖s‖ < ∞, para cada s ∈ E([a, b]; X). Así, ‖ ‖ es una normaen E([a, b]; X), y el espacio (E([a, b]; X), ‖ ‖) es un espacio normado.Una generalización del teorema de representación de Riesz la logramos trabajando enel espacio de las funciones regladas.Definición 1.1.3 Una función x : [a, b] −→ X es reglada, si posee límite lateral encualquier punto de [a, b], es decir, sii) para todo t ∈ [a, b) existe x(t + ) = límτ↓tx(τ) yii) para todo t ∈ (a, b] existe x(t − ) = límτ↑tx(τ).Denotaremos porG([a, b]; X) ={el cual es un espacio vectorial.x : [a, b] −→ X : x es una función reglada},

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 3Proposición 1.1.1 Sea x : [a, b] −→ X una función reglada. Entonces, x es acotada.Demostración. Queremos ver que existe M > 0 tal que‖x(t)‖ ≤ M ∀ t ∈ [a, b].Como x es reglada, entoncesi) para todo t ∈ [a, b), existe δ t > 0 y K t > 0 tal que‖x(τ)‖ ≤ K t ∀ τ ∈ (t, t + δ t ) ∩ [a, b],ii) para todo t ∈ (a, b], existe δ ′ t > 0 y K ′ t > 0 tal que‖x(τ)‖ ≤ K ′ t∀ τ ∈ (t − δ ′ t, t) ∩ [a, b].Tomando M t = máx{K t , K ′ t } > 0 y δ∗ t = mín{δ t, δ ′ t } > 0 tenemos que‖x(τ)‖ ≤ M t ∀ τ ∈ I t ,{ }donde I t = (t − δt ∗, t + δ∗ t ) ∩ [a, b]. Así, la I t es un cubrimiento abierto de [a, b], elt∈[a,b]cual es compacto; por lo tanto, existe {t 1 , ..., t m } ⊂ [a, b] tal que[a, b] =m⋃I ti .i=1Luego, basta tomar M = máx1≤i≤m {M t i} > 0 tal queObservación 1.1‖x(t)‖ ≤ M∀ t ∈ [a, b].1) Toda función reglada es acotada y toda función escalonada es reglada, esto es,□E([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X) ⊂ B([a, b]; X).2) Toda función continua es reglada, es decir,C([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X).El funcional ‖ ‖ : G([a, b]; X) −→ R dado por‖x‖ := sup ‖x(t)‖t∈[a,b]∀ x ∈ G([a, b]; X),está bien definido, por la Proposición 1.1.1, y es una norma en G([a, b]; X).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 4Teorema 1.1.1 El espacio( )G([a, b]; X); ‖ ‖ es un espacio de Banach.Demostración. Sea (x n ) n≥1 ⊂ G([a, b]; X) una sucesión de Cauchy, es decir, para todoǫ > 0, existe n 0 > 0 tal queEn consecuencia,‖x n − x m ‖ = sup ‖x n (t) − x m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 .t∈[a,b]‖x n (t) − x m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 ∀ t ∈ [a, b], (1.1)esto es, para cada t ∈ [a, b], (x n (t)) n≥1 es Cauchy en X, el cual es un espacio completo.Por lo tanto, existe ω ∈ X tal queω = límn→∞x n (t)∀ t ∈ [a, b].Así, definimos ω = x(t), es decir, x(t) es el punto de convergencia de la sucesión(x n (t)) n≥1 ,x(t) = límn→∞x n (t)∀ t ∈ [a, b].Afirmación 1lím x n = x en G([a, b]; X).n→∞En efecto: Para el ǫ > 0 fijado, tomando n > n 0 y pasando el límite, cuando m → ∞,en (1.1) tenemos queLuego,‖x n (t) − x(t)‖ < ǫ∀ n > n 0 , ∀ t ∈ [a, b].‖x n − x‖ = sup ‖x n (t) − x(t)‖ < ǫ ∀ n > n 0 .t∈[a,b]En consecuencia, límn→∞x n = x.Afirmación 2En efecto: Queremos demostrar quex ∈ G([a, b]; X).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 5i) para todo t ∈ [a, b), existeii) para todo t ∈ (a, b], existex(t + ) = límτ↓tx(τ),x(t − ) = límτ↑tx(τ).i) Sea t ∈ [a, b), primero demostremos que existelímτ↓tx(τ).Para esto, tomando el límite, cuando τ ↓ t en (1.1),‖x n (t + ) − x m (t + )‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 .Por otro lado, (x n (t + )) n≥1 es Cauchy en X, el cual es un espacio completo, así existeω 1 ∈ X tal queω 1 = límn→∞x n (t + ).Ahora, definimos ω 1 = x(t + ), para el cualVeamos quex(t + ) = límn→∞x n (t + ). (1.2)x(t + ) = límτ↓tx(τ).En efecto: Dado ǫ > 0, queremos demostrar que existe δ > 0 tal que para todo τ ∈ [a, b)τ ∈ (t, t + δ) =⇒ ‖x(τ) − x(t + )‖ < ǫ.Por (1.2), para el ǫ > 0 fijado, existe n 1 > 0 tal que‖x(t + ) − x n (t + )‖ < ǫ 3∀ n > n 1 .Como x n ∈ G([a, b]; X) para cada n ≥ 1,x n (t + ) = límτ↓tx n (τ),es decir, para el ǫ > 0 fijado, existe δ > 0 tal que para todo τ ∈ [a, b)τ ∈ (t, t + δ) =⇒ ‖x n (τ) − x n (t + )‖ < ǫ 3 .Por la Afirmación 1, x(τ) = límn→∞x n (τ) (τ ∈ [a, b]), para el ǫ > 0, existe n 2 > 0 tal que‖x(τ) − x n (τ)‖ < ǫ 3∀ n > n 2 .

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 6Así, para el δ > 0 hallado y n 0 = máx{n 1 , n 2 } > 0 resulta que, para todo n > n 0 ypara todo τ ∈ [a, b),‖x(τ) − x(t + )‖ = ‖x(τ) − x n (τ) + x n (τ) + x n (t + ) − x n (t + ) − x(t + )‖≤ ‖x n (τ) − x(τ)‖ + ‖x n (τ) − x n (t + )‖ + ‖x n (t + ) − x(t + )‖< ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ,siempre que τ ∈ (t, t + δ).De donde,x(t + ) = límτ↓tx(τ)∀ t ∈ [a, b).ii) Análogamente, demostremos que para todo t ∈ (a, b], existex(t − ) = límτ↑tx(τ).En consecuencia, x ∈ G([a, b]; X).□Lema 1.1.1 Sea x : [a, b] −→ X una función. Entonces,a) Dado t ∈ [a, b), existe x(t + ) si, y sólo si, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que‖x(s) − x(u)‖ < ǫ∀ s, u ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b).b) Dado t ∈ (a, b], existe x(t − ) si, y sólo si, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que‖x(s) − x(u)‖ < ǫ∀ s, u ∈ (t − δ, t) ∩ (a, b].Demostración. a) (=⇒) Sean t ∈ [a, b) y ǫ > 0, queremos demostrar que existe δ ∗ > 0tal que‖x(s) − x(u)‖ < ǫ∀ s, u ∈ (t, t + δ ∗ ) ∩ [a, b).Como x(t + ) existe, para el ε > 0 fijado, existe δ > 0 tal que‖x(τ) − x(t + )‖ < ǫ 2∀ τ ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b).Si s, u ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b), tenemos

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 7‖x(s) − x(u)‖ = ‖x(s) − x(t + ) + x(t + ) − x(u)‖≤ ‖x(s) − x(t + )‖ + ‖x(u) − x(t + )‖< ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ.Así, basta tomar δ ∗ = δ > 0 para que‖x(s) − x(u)‖ < ǫ∀ s, u ∈ (t, t + δ ∗ ) ∩ [a, b).(⇐=) Queremos demostrar que para todo t ∈ [a, b)Lo cual es equivalente a demostrar quex(t + ) = límτ↓tx(τ).x(t + ) = límn→∞x(t n ),para todo (t n ) ⊂ [a, b) con t n > t (n ≥ 1) tal que (t n ) n≥1 converge a t.Para esto, sea (t n ) ⊂ [a, b) con t n > t (n ≥ 1) tal queAfirmación 1lím t n = t.n→∞(x(t n )) n≥1 Cauchy en X.En efecto: Dado ǫ > 0, demostremos que existe n ∗ > 0 tal que‖x(t n ) − x(t m )‖ < ǫ ∀ n, m > n ∗ .Para el ǫ > 0 fijado, existe δ > 0 que satisface la condición de la hipótesis. Ahora, porla convergencia de (t n ) n≥1 , para δ > 0, existe n 0 > 0 tal quees decir,0 < t n − t < δ y 0 < t m − t < δ ∀ n, m > n 0 ,t n , t m ∈ (t, t + δ) ∀ n, m > n 0 ,entonces‖x(t n ) − x(t m )‖ < ǫ.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 8Así, basta tomar n ∗ = n 0 > 0 tal que‖x(t n ) − x(t m )‖ < ǫ ∀ n, m > n ∗ .Esto demuestra que (x(t n )) n>0 es Cauchy en X y, por la completitud de X, existex(t + ) ∈ X tal quex(t + ) = límn→∞x(t n ).b) De manera análoga verificamos la existencia de x(t − ).□El siguiente resultado caracteriza a las funciones regladas.Teorema 1.1.2 Sea x : [a, b] −→ X una función. Las siguientes propiedades son equivalentesi) x ∈ G([a, b]; X).ii) Existe (x n ) n≥1 ⊂ E([a, b], X) tal quelím x n(t) = x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b],esto es, la convergencia es uniforme sobre [a, b].iii) Para todo ε > 0, existe P ∈ P[a, b] tal que ω · (x) < ε, dondePω · (x) := supP1≤i≤n(P)sups,t∈(t i−1 ,t i )s 0, demostremos que existe P ∈ P[a, b] tal que ω · (x) < ǫ.PPor hipótesis, para todo t ∈ (a, b), existen x(t − ) y x(t + ), entonces por Lema 1.1.1 existeδ t > 0 tal que ω (x) < ǫ y ω (t−δt ,t) (t,t+δ t(x) < ǫ;)donde ω (t−δt ,t) (x) =sups,u∈(t−δ t,t)s 0 tal que ω (b−δb(x) < ǫ.,b)

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 9Por otra parte, los conjuntosforman un cubrimiento de [a, b]. Si[a, a + δ a ), (t − δ t , t + δ t ), (b − δ b , b](t ∈ (a, b));[a, a + δ a ), (s 1 − δ s1 , s 1 + δ s1 ), (s 2 − δ s2 , s 2 + δ s2 ), ..., (s m − δ sm , s m + δ sm ), (b − δ b , b],es un subcubrimiento finito de [a, b], tomamos una particióna = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < t n = b,tal quet 0 = a, s 1 − δ s1 < t 1 < a + δ a , t 2 = s 1 , ..., s i − δ si < t 2i−1 < s i−1 + δ si−1 , t 2i = s i , ..., t n = b.Así, hemos construido una partición P de [a, b] que cumple ω · (x) < ǫ.Piii) =⇒ ii)Dado ǫ > 0, por hipótesis existe P ∈ P[a, b] tal quepara todo s, t ∈ (t i−1 , t i ) con s < t y para todo i ∈ {1, ..., n}.‖x(t) − x(s)‖ < ǫ (1.3)Consideremos ξ ∗ = (ξ1 ∗, ξ∗ 2 , ..., ξ∗ n ) con ξ∗ i ∈ (t i−1 , t i ) i ∈ {1, ..., n}. Por lo tanto,podemos definir s P,ξ ∗ : [a, b] −→ X dada porla cual verificas P,ξ ∗(t) :=n∑n∑x(ξ ∗ )χ (ti−1 ,t i )(t) + x(t j )χ {tj }(t),i=1j=0•) s P,ξ ∗∈ E([a, b]; X).••) ‖x(t) − s P,ξ ∗(t)‖ < ǫ∀ t ∈ [a, b].En efecto: •) Es inmediato de la definición de s P,ξ ∗.••) Queremos demostrar que ‖x(t) − s P,ξ ∗(t)‖ < ǫ∀ t ∈ [a, b].

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 10Sea t ∈ [a, b], entonces∞⋃t ∈ [t i−1 , t i ],es decir, existe i 0 ∈ {1, ..., n} tal que t ∈ [t i0 −1, t i0 ]. Así:Si t = t i0 −1, resulta que‖x(t i0 −1) − s P,ξ ∗(t i0 −1)‖ = ‖x(t i0 −1) − x(t i0 −1)‖ = 0 < ǫ.Si t = t i0 , tenemos que‖x(t i0 ) − s P,ξ ∗(t i0 )‖ = 0 < ǫ.Si t ∈ (t i0 −1, t i0 ), entonces‖x(t) − s P,ξ ∗(t)‖ = ‖x(t) − x(ξi ∗ 0)‖ < ǫ. (por (1.3))En consecuencia,‖x(t) − s P,ξ ∗(t)‖ < ǫ ∀ t ∈ [a, b].Luego, para cada n ≥ 1, definimos s n : [a, b] −→ X pori=1tal ques n (t) := s P,ξ ∗(t)∀ t ∈ [a, b],a) s n ∈ E([a, b], X) ∀ n ≥ 1.b) ‖x(t) − s n (t)‖ < 1 n∀t ∈ [a, b], ∀ n ≥ 1.c)ii) =⇒ i)lím s n(t) = x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Por hipótesis, existe (s n ) n≥1 ⊂ E([a, b], X) tal quelím s n(t) = x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Queremos demostrar que x ∈ G([a, b]; X). Lo cual equivale a demostrar que1) para todo t ∈ [a, b), existe x(t + ) y2) para todo t ∈ (a, b], existe x(t − ).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 11En efecto: 1) Sea t ∈ [a, b). Dado ǫ > 0, por hipótesis, existe n 0 > 0 tal que‖s n (t) − x(t)‖ < ǫ ∀ n ≥ n 0 . (1.4)Por otro lado, como s n ∈ E([a, b], X), entonces s n ∈ G([a, b]; X); es decir, para elt ∈ [a, b) fijado, existe s n (t + ) y por el Lema 1.1.1, parte a), para el ǫ > 0 fijo, existe δ > 0tal quepara todo v, u ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b).‖s n (v) − s n (t)‖ < ǫ 3 , (1.5)Luego, para todo v, u ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b), por (1.4) y por (1.5), tenemos que‖x(v) − x(u)‖ = ‖x(v) − s n (v) + s n (v) − s n (u) + s n (u) − x(u)‖≤ ‖x(v) − s n (v)‖ + ‖s n (v) − s n (u)‖ + ‖s n (u) − x(u)‖< ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 = ǫ.Así, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que‖x(v) − x(u)‖ < ǫ∀ v, u ∈ (t, t + δ) ∩ [a, b).Entonces, por el Lema 1.1.1, existe x(t + ).2) Análogamente, demostramos que existe x(t − ).En consecuencia, x ∈ G([a, b]; X).□Observación 1.21) El Teorema 1.1.2 nos dice queE([a, b]; X) = G([a, b]; X).2) Como Corolario, de la parte iii) del Teorema 1.1.2, resulta que dada x ∈ G([a, b]; X)para todo ǫ > 0, los conjuntos{}{}t ∈ [a, b) : ‖x(t + ) − x(t)‖ ≥ ǫyt ∈ (a, b] : ‖x(t) − x(t − )‖ ≥ ǫ,son finitos y, por lo tanto, el conjunto de discontinuidades de una función regladaes numerable.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 121.2. Funciones regladas por la izquierdaDefinición 1.2.1 Una función x : [a, b] −→ X es reglada por la izquierda, sii) x(a) = 0,ii) x(t) = x(t − )para todo t ∈ (a, b].Denotaremos por{}G − ([a, b]; X) = x ∈ G([a, b]; X) : x(a) = 0 y x(t) = x(t − ) para todo t ∈ (a, b] .Teorema 1.2.1 El espacio de las funciones regladas por la izquierda, G − ([a, b]; X), es unsubespacio cerrado en G([a, b]; X).Demostración. Queremos demostrar que G − ([a, b]; X) es cerrado en G([a, b]; X). Locual es equivalente a probar que G − ([a, b]; X) = G − ([a, b]; X).Sabemos que G − ([a, b]; X) ⊂ G − ([a, b]; X), falta demostrar que G − ([a, b]; X) ⊂ G − ([a, b]; X).Para ello, sea x ∈ G − ([a, b]; X). Entonces, existe (x n ) n≥1 ⊂ G − ([a, b]; X) tal queVeamos quelím x n(t) = x(t) para cada t ∈ [a, b]. (1.6)n→∞i) x(a) = 0,ii) x(t) = x(t − )∀ t ∈ (a, b].En efecto: Como (x n ) n≥1 ⊂ G − ([a, b]; X),iii) x n (a) = 0 ∀ n ≥ 1,iv) x n (t) = x n (t − )∀ n ≥ 1 ∀ t ∈ (a, b],tomando el límite, cuando n → ∞, en iii) y por (1.6), tenemosDemostremos que x(t) = x(t − )lím x n(a) = 0 =⇒ x(a) = 0.n→∞∀ t ∈ (a, b].Como (x n ) n≥1 es convergente a x en G([a, b]; X), entonces (x n ) n≥1 es una sucesión deCauchy, es decir, para todo ǫ > 0, existe n 0 > 0 tal que

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 13‖x n (t) − x m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 ∀ t ∈ [a, b],tomando el límite, cuando τ ↑ t en ambos lados de la desigualdad anterior,‖x n (t − ) − x m (t − )‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 .Así, (x n (t − )) n≥1 es Cauchy en X, el cual es un espacio completo, de donde se sigue,existe ω ∈ X tal queAhora, definimos ω = x(t − ), para el cualPor otro lado, para todo t ∈ (a, b]ω 1 = límn→∞x n (t − ).x(t − ) = límn→∞x n (t − ).Esto es‖x(t) − x(t − )‖ = ‖x(t) − x n (t) + x n (t) − x(t − )‖≤ ‖x(t) − x n (t)‖ + ‖x n (t) − x(t − )‖.‖x(t) − x(t − )‖ ≤ ‖x(t) − x n (t)‖ + ‖x n (t − ) − x(t − )‖,luego, tomando el límite, cuando n → ∞, en la desigualdad anterior, resulta0 < ‖x(t) − x(t − )‖ ≤ lím ‖x(t) − x n (t)‖ + lím ‖x n (t − ) − x(t − )‖.} n→∞{{ } n→∞} {{ }00De donde, para todo t ∈ (a, b]Así, x ∈ G − ([a, b]; X).‖x(t) − x(t − )‖ = 0 =⇒ x(t) = x(t − ).En consecuencia, G − ([a, b]; X) = G − ([a, b]; X), es decir, G − ([a, b]; X) es cerrado enG([a, b]; X).□Teorema 1.2.2 Sea G([a, b]; X) espacio de Banach y G − ([a, b]; X) un subespacio cerradode G([a, b]; X). Entonces, G − ([a, b]; X) es un espacio de Banach.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 14Demostración. Sea (x n ) n≥1 ⊂ G − ([a, b]; X) una sucesión de Cauchy. Por hipótesis,G − ([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X), así que (x n ) n≥1 es una sucesión de Cauchy en G([a, b]; X), elcual es un espacio completo, por lo tanto, existe x 0 ∈ G([a, b]; X), tal queAfirmación 1x 0 (t) = límn→∞x n (t) ∀ t ∈ [a, b]. (1.7)x 0 un punto de acumulación de G − ([a, b]; X).En efecto: Por (1.7), para todo ǫ > 0, existe n 0 > 0 tal que x n ∈ B(x 0 , ǫ) ∀ n > n 0 . Demodo que(B(x 0 , ǫ) − {x 0 }) ∩ G − ([a, b]; X) ≠ ∅,esto, prueba que x 0 es un punto de acumulación de G − ([a, b]; X). Y comoG − ([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) por hipótesis, tenemos que x 0 ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, G − ([a, b]; X) es un espacio de Banach.□Definición 1.2.2 Definimos Ω 0 ([a, b]; X) { el conjunto de todas}las funciones x ∈ G([a, b]; X)tales que, para todo ǫ > 0, el conjunto t ∈ [a, b] : ‖x(t)‖ ≥ ǫ es finito.Proposición 1.2.1 (Hönig [6], Teorema I.3.9) El espacio Ω 0 ([a, b]; X) es un subespaciocerrado de G([a, b]; X).Definición 1.2.3 Para cada x ∈ G([a, b]; X), definimos{ x(t − ), si t ∈ (a, b],I −[x](t) :=0, si t = a.Teniendo en cuenta esta definición, consideremos el siguiente resultado.Proposición 1.2.2i) I −es una proyección continua de G([a, b]; X) sobre G − ([a, b]; X).ii) El Kernel de I −es Ω 0 ([a, b]; X).iii) G − ([a, b]; X) ∩ Ω 0 ([a, b]; X) = {0}y G([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) + Ω 0 ([a, b]; X).Demostración. Primero demostremos que I −[x] ∈ G([a, b]; X) ∀ x ∈ G([a, b]; X). Seax ∈ G([a, b]; X), veamos que

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 15a) para todo t ∈ [a, b); I −[x](t + ) = límτ↓tI −[x](τ),b) para todo t ∈ (a, b]; I −[x](t − ) = límτ↑tI −[x](τ).En efecto: a) Sea t ∈ [a, b) y dado ǫ > 0, como x ∈ G([a, b]; X) existe δ t > 0 tal quePor otro lado,τ ∈ (t, t + δ t ) =⇒ ‖x(t + ) − x(τ)‖ < ǫ.‖I −[x](t + ) − I −[x](τ)‖ = ‖x(t + ) − x(τ)‖ < ǫ siempre que τ ∈ (t, t + δ t ).Así, tenemos a).La demostramos de b) es directa de la definición de I − .En consecuencia, I −[x] ∈ G([a, b]; X).Afirmación 1I 2 − = I −.En efecto: Sean x ∈ G([a, b]; X) y t ∈ [a, b],I −[I −[x]](t) = I −[x](t − ) (por la definición de I −)= x(t − )= I −[x](t).En consecuencia, I −[I −[x]] = I −[x].Afirmación 2I −es lineal.En efecto: Sean x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X) y λ, β ∈ F, queremos verI −[λx 1 + βx 2 ] = λI −[x 1 ] + βI −[x 2 ]. (1.8)Como x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X), es claro que λx 1 + βx 2 ∈ G([a, b]; X).Así, para t ∈ [a, b], tenemos dos casos:1 er caso: para t = a, es válido (1.8).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 162 do caso: para t ∈ (a, b],I −[λx 1 + βx 2 ](t) = (λx 1 + βx 2 )(t − )= límτ↓t(λx 1 + βx 2 )(τ)= λ límτ↓tx 1 (τ) + β límτ↓tx 2 (τ)= λx 1 (t − ) + βx 2 (t − )= λI −[x 1 ](t) + βI −[x 2 ](t).En consecuencia, I −es lineal.Afirmación 3I −es acotada.En efecto: Sean x ∈ G([a, b]; X) y t ∈ [a, b],Así,‖I −[x](t)‖ = ‖x(t − )‖ ≤ ‖x‖.‖I −[x]‖ = sup ‖I −[x](t)‖ ≤ ‖x‖.t∈[a,b]Luego, ‖I −[x]‖ ≤ ‖x‖∀ x ∈ G([a, b]; X).De donde, I −es acotado.En consecuencia, de las Afirmaciones 2 y 3, I −es continua.Afirmación 4I −es sobreyectiva.En efecto: Sea y ∈ G − ([a, b]; X) definida por{ y(t − ), si t ∈ (a, b],y(t) :=0, si t = a.Tomando x = y, tenemos que existe x ∈ G([a, b]; X) tal que y = I −[x].

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 17ii) Queremos ver que Ker{I −} = Ω 0 ([a, b]; X).Sea x ∈ Ker{I −}. Entonces, x ∈ G([a, b]; X) tal que I −[x] = 0.De modo que, x(t − ) = 0 para todo t ∈ (a, b], x(t + ) = 0 para todo t ∈ [a, b) y x(a) = 0.Por lo tanto, el conjunto de discontinuidades es vacío, es decir, x ∈ Ω 0 ([a, b]; X).Sea, ahora, x ∈ Ω 0 ([a, b]; X) si, y sólo si, x ∈ G([a, b]; X) tal que para todo ǫ > 0{}t ∈ [a, b] : ‖x(t)‖ ≥ ǫ es finito.Luego, como x ∈ G([a, b]; X), tenemos que, para todo t ∈ [a, b), existe x(t + ) y paratodo t ∈ (a, b], existe x(t − ).Por otro lado, dado ǫ = 1 n > 0 con n ∈ N, tenemos que existe δ t > 0 tal que‖x(τ)‖ < 1 n∀ τ ∈ (t − δ t , t + δ t ).Así, x(τ) = 0 ∀ τ ∈ (t − δ t , t + δ t ).En consecuencia, x ∈ Ker{I −}.iii) Afirmación 5G([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) + Ω 0 ([a, b]; X).En efecto: Sea x ∈ G([a, b]; X), podemos escribir x de la formax = I −[x] + (x − I −[x]).Ahora, como I −[x] ∈ G − ([a, b]; X) yI −[x − I −[x]] = I −[x] − I −[I −[x]] (por ser I −lineal)= I −[x] − I −[x] (por ser I 2 = I − −)= 0,resulta que I −[x − I −[x]] = 0, lo que implica x − I −[x] ∈ Ker{I −}.En consecuencia, G([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) + Ω 0 ([a, b]; X).Afirmación 6G − ([a, b]; X) ∩ Ω 0 ([a, b]; X) = {0}.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 18En efecto: Supongamos que existe y ∈ G − ([a, b]; X) ∩ Ω 0 ([a, b]; X) con y ≠ 0. Así,y ∈ G − ([a, b]; X) y y ∈ Ω 0 ([a, b]; X); por lo tanto, existe x ∈ G([a, b]; X) tal que y = I −[x]e I −[y] = 0.De donde, obtenemos que y = 0, lo que contradice lo supuesto.En consecuencia, G − ([a, b]; X) ∩ Ω 0 ([a, b]; X) = {0}.□Observación 1.31) La Proposición 1.2.2 nos dice queG([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) ⊕ Ω 0 ([a, b]; X).2) El espacio G − ([a, b]; X) nos será útil en el Teorema 3.1.1, parte b), correspondientea la representación integral de aplicaciones lineales acotadas, de G − ([a, b]; X) en Y.1.3. Funciones simplemente regladasDefinición 1.3.1 Una función x : [a, b] −→ L(W, X) es simplemente reglada, si paratodo w ∈ W, la función [a, b] ∋ t ↦→ x(t)w ∈ X es reglada, es decir, xw ∈ G([a, b]; X) paratodo w ∈ W. Denotaremos{}G σ ([a, b]; L(W, X)) =x : [a, b] −→ L(W, X) : x es una función simplemente reglada.Proposición 1.3.1 Sea x : [a, b] −→ L(W, X) simplemente reglada. Entonces, x es acotada.Demostración. Para cada t ∈ [a, b], consideremos x(t) ∈ L(W, X). Así, tenemos unafamilia de operadores {x(t)} t∈[a,b] ⊂ L(W, X) tal quesup ‖x(t)w‖ < ∞ ∀ w ∈ W.t∈[a,b]En efecto: Como por hipótesis, para todo w ∈ W, la función [a, b] ∋ t −→ x(t)w ∈ Xes reglada, entonces por la Proposición 1.1.1 xw es acotada.Así,sup ‖x(t)w‖ < ∞ ∀ w ∈ W,t∈[a,b]y por el Teorema A.4.2 de Banach-Steinhaussup ‖x(t)‖ < ∞.t∈[a,b]

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 19En consecuencia, x es acotada.□Observación 1.41) De la Proposición 1.3.1 resultaG σ ([a, b]; L(W, X)) ⊂ B([a, b]; L(W, X)).El funcional ‖ ‖ : G σ ([a, b]; L(W, X)) −→ R dado por‖x‖ := sup ‖x(t)‖t∈[a,b]∀ x ∈ G σ ([a, b]; L(W, X)),en virtud de la Proposición 1.3.1, está bien definido y es una norma en G σ ([a, b]; L(W, X)).()Teorema 1.3.1 El espacio G σ ([a, b], L(W, X)); ‖ ‖ es un espacio de Banach.Demostración. Sea (α n ) n≥1 ⊂ G σ ([a, b]; L(W, X)) una sucesión de Cauchy, esto es, paratodo ǫ > 0, existe n o > 0 tal queEn consecuencia,‖α n − α m ‖ = sup ‖α n (t) − α m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 . (1.9)t∈[a,b]‖α n (t) − α m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n o , ∀ t ∈ [a, b], (1.10)es decir, para cada t ∈ [a, b], (α n (t)) n≥1 es Cauchy en L(W, X), el cual es un espaciocompleto. Por lo tanto, existe F ∈ L(W, X) tal queF = límn→∞α n (t)Ahora, definimos F = α(t), para el cual∀ t ∈ [a, b].α(t) = límn→∞α n (t)∀ t ∈ [a, b],de esta manera podemos considerar α : [a, b] −→ L(W, X) definido porLa cual verificaα(t) = límn→∞α n (t)∀ t ∈ [a, b].a) α está bien definida.b) límn→∞α n (t) = α(t)en G σ ([a, b]; L(W, X)).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 20c) α ∈ G σ ([a, b]; L(W, X)).En efecto: a) Veamos que α(t) ∈ L(W, X) para todo t ∈ [a, b].Dados t ∈ [a, b], w 1 , w 2 ∈ W y α, β ∈ F queremos verα(t)[λw 1 + βw 2 ] = λα(t)w 1 + βα(t)w 2 .Por definición de α(t) y la linealidad de los α n (t) (n ≥ 1),α(t)[λw 1 + βw 2 ] = límn→∞α n (t)[λw 1 + βw 2 ]= lím [λα n (t)w 1 + βα n (t)w 2 ]n→∞= λ lím α n (t)w 1 + β lím α n (t)w 2n→∞ n→∞= λα(t)w 1 + βα(t)w 2 .Veamos que exite M > 0 tal que ‖α(t)w‖ ≤ M‖w‖ ∀ w ∈ W.Sabemos que cualquier sucesión de Cauchy en un espacio métrico es acotada, entoncesexiste M > 0 tal que‖α n (t)‖ ≤ M ∀ n ≥ 1 ∀ t ∈ [a, b].Por lo tanto, para cada w ∈ W, t ∈ [a, b] y n ≥ 1‖α n (t)w‖ ≤ ‖α n (t)‖‖w‖ ≤ M‖w‖. (1.11)Luego, tomando el límite cuando n → ∞ en la desigualdad (1.11) y por la continuidadde la norma en X‖α(t)w‖ = límn→∞‖α n (t)w‖ ≤ M‖w‖ ∀ w ∈ W.En consecuencia, α(t) ∈ L(W, X) para todo t ∈ [a, b].b) Para el ǫ > 0 fijado, tomando n > n 0 y pasando el límite, cuando m → ∞ en (1.10),tenemos queLuego,‖α n (t) − α(t)‖ < ǫ∀ n ≥ n o , ∀ t ∈ [a, b].‖α n − α‖ = sup ‖α n (t) − α(t)‖ < ǫ ∀ n > n o .t∈[a,b]En consecuencia,lím α n = α.n→∞c) Para todo w ∈ W, queremos demostrar que la función αw ∈ G([a, b]; X). Lo cual esequivalente a ver que

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 211) para todo t ∈ [a, b) existe αw(t + ) = límτ↓tαw(τ) y2) para todo t ∈ (a, b] existe αw(t − ) = límτ↑tαw(τ).En efecto: 1) Sea t ∈ [a, b), primero demostremos que existelímτ↓tαw(τ).Para esto, tomando el límite, cuando τ ↓ t en (1.10),Así,‖α n (t + ) − α m (t + )‖ < ǫ ∀ n, m > n o .‖α n (t + ) − α m (t + )‖ = sup ‖α n (t + )w − α m (t + )w‖ < ǫ ∀ n, m > n o .t∈[a,b]En consecuencia, para cada w ∈ W, (α n (t + )w) n≥1 es Cauchy en X, el cual es un espaciocompleto, así, existe α(t ˙+) ∈ X tal queAfirmación 1α(t ˙+) = límn→∞α n (t + )w. (1.12)α(t ˙+) = límτ↓tα(τ)w ∀ w ∈ W.En efecto: Dado ǫ > 0, queremos demostrar que existe δ > 0 tal que para todo τ ∈ [a, b)τ ∈ (t, t + δ) =⇒ ‖α(τ)w − α(t ˙+)‖ < ǫ.Por (1.12), para el ǫ > 0 fijado, existe n 1 > 0 tal que‖α(t ˙+) − α n (t + )w‖ < ǫ 3∀ n > n 1 .Por otro lado, como α n ∈ G σ ([a, b], L(W, X)) para cada n ≥ 1,α n (t + )w = límτ↓tα n (τ)w ∀ w ∈ W,así, para el ǫ > 0 fijado, existe δ > 0 tal que para todo τ ∈ [a, b)Por b), para cada w ∈ W,τ ∈ (t, t + δ) =⇒ ‖α n (τ)w − α n (t + )w‖ < ǫ 3 .

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 22α(τ)w = límn→∞α n (τ)w(τ ∈ [a, b)).Para el ǫ > 0 fijado, existe n 2 > 0 tal que‖α(τ)w − α n (τ)w‖ < ǫ 3∀ n > n 2 .Así, para δ > 0 tomando n 0 = máx{n 1 , n 2 } > 0, resulta que para todo n > n 0 y paratodo τ ∈ [a, b),‖α(τ)w − α(t ˙+)‖ = ‖α(τ)w − α n (τ)w + α n (τ)w + α n (t + )w − α n (t + )w + α(t ˙+)‖≤ ‖α n (τ)w − α(τ)w‖ + ‖α n (τ)w − α n (t + )w‖ + ‖α n (t + )w − α(t ˙+)‖< ǫ 3 + ǫ 3 + ǫ 3 .siempre que τ ∈ (t, t + δ).De modo que,α(t ˙+) = límτ↓tα(τ)w ∀ w ∈ W.2) Análogamente, demostramos que para todo t ∈ (a, b], existeα(t ˙−) = límτ↑tαw(τ) ∀ w ∈ W.En consecuencia, α ∈ G σ ([a, b], L(W, X)).□Observación 1.51) Como (L(F, X), ‖ ‖) es topológicamente isomorfo a (F, | |) (F = C o R) tenemos queG([a, b]; X) = G σ ([a, b]; L(F, X)).2) Toda función α : [a, b] −→ L(X, Y ) reglada es simplemente reglada, es decir,G([a, b]; L(X, Y )) ⊂ G σ ([a, b]; L(X, Y )).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 231.4. Funciones de semivariación acotada y variaciónacotadaLos espacios y resultados que presentaremos en esta sección nos serán de suma utilidadpara precisar teoremas de representación integral de las aplicaciones lineales acotadas,definidas en el espacio de las funciones regladas con valores en un espacio de Banach y,en particular, para describir el dual de las funciones regladas por la izquierda. Además,nos permitirán caracterizar semigrupos fuertemente continuos.Definición 1.4.1 Sea α : [a, b] −→ L(X; Y ), definimos la semivariación sobre [a, b]de α porSV [α] := SV [a,b][α] = sup SV [α; P],P∈P[a,b]dondeSV [α; P] =supx i ∈X‖x i ‖≤1∥ n(P)∥∥∥∥∥ ∑[α(t i ) − α(t i−1 )]x i ;∥i=1diremos que α es una función de semivariación acotada sobre [a, b] si, y sólo si,SV [α] < ∞. Denotemos{}SV ([a, b]; L(X, Y )) := α : [a, b] −→ L(X; Y ) : SV [α] < ∞ .Además, definimosSV a ([a, b]; L(X, Y )) :={α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )) : α(a) = 0};que con respecto a las propiedades usuales de suma y multiplicación por escalares, tieneuna estructura de espacio vectorial sobre F [F = R o C].Proposición 1.4.1 (Hönig [5], Teorema I.1.2) Dado α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )). Entonces,a) Si [c, d] ⊂ [a, b], entonces α ∈ SV ([c, d]; L(X, Y )) y SV [c,d][α] ≤ SV [a,b][α].b) La función [a, b] ∋ t ↦→ SV [a,t][α] ∈ R + es creciente.c) Si c ∈ (a, b), entonces SV [a,b][α] ≤ SV [a,c][α] + SV [c,b][α].El siguiente resultado nos dice que toda función de semivariación acotada es acotada.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 24Teorema 1.4.1 (Hönig [6], Teorema 3.3.1) Sea α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )). Entonces, α esacotada en [a, b] y, además,‖α(t)‖ ≤ ‖α(a)‖ + SV [α]∀ t ∈ [a, b].El funcional ‖ ‖ : SV ([a, b]; L(X, Y )) −→ R dado por‖α‖ := ‖α(a)‖ + SV [α] ∀ α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )),está bien definido por la Teorema 1.4.1 y es una norma en SV ([a, b]; L(X, Y )).Teorema 1.4.2 (Hönig [6], Teorema 1.6)i) El espacio SV ([a, b]; L(X, Y )) es un espacio de Banach con la norma‖α‖ := ‖α(a)‖ + SV [α].ii) El espacio SV a ([a, b]; L(X, Y )) es un espacio de Banach con la norma ‖α‖ := SV [α].Por otra parte, si Y = R, para α : [a, b] −→ L(X; R) y P ∈ P[a, b], entoncesSV [α; P] =supx i ∈X‖x i ‖≤1= supx i ∈X‖x i ‖≤1=∣ n(P)∑∣∣∣∣∣[α(t i ) − α(t i−1 )]x i∣i=1n(P)∑〈〉∣ ∣∣∣ α(t i ) − α(t i−1 ), x ii=1n(P)∑supxi=1 i ∈X‖x i ‖≤1〈〉∣ ∣∣.∣ α(t i ) − α(t i−1 ), x iAhora, como X ′ = L(X; R) es el dual de X y está dotado de la norma‖T ‖ = sup | < T, x > | (T ∈ X ′ ), tenemos que para cada i ∈ {1, 2, ..., n(P)},x∈X‖x‖≤1〈〉∣ ∣∣.‖α(t i ) − α(t i−1 )‖ = sup ∣ α(t i ) − α(t i−1 ), x ix i ∈X‖x i ‖≤1De donde, se sigue queAsí, definimosSV [α; P] =n(P)∑i=1‖α(t i ) − α(t i−1 )‖ = V [α; P].V [α] = V [a,b][α] = sup V [α, P],P∈P[a,b]

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 25como la variación de α en [a, b]. Si V [α] < ∞, diremos que α es una función de variaciónacotada sobre [a, b]. DenotemosBV ([a, b]; X ′ ) :={α : [a, b] −→ L(X; R) : V [α] < ∞}.Análogamente, definimos{}BV ([a, b]; X) = α : [a, b] −→ X : V [α] < ∞ ;los cuales tienen una estructura de espacio vectorial sobre F [F = R o C]. Además,definimos{}BV a ([a, b]; X ′ ) = α ∈ BV ([a, b]; X ′ ) : α(a) = 0 ,BV a ([a, b]; X) ={α ∈ BV ([a, b]; X) : α(a) = 0},y el funcional‖ · ‖ : BV ([a, b]; X ′ ) −→ R dado pores una norma en BV a ([a, b]; X ′ ).Observación 1.6‖α‖ := ‖α(a)‖ + V [α] ∀ α ∈ BV ([a, b]; X ′ ),1) El espacio BV ([a, b]; X ′ ) es un espacio de Banach con la norma ‖α‖ := ‖α(a)‖+V [α](por Teorema 1.4.2, parte i), tomando Y = C).2) El espacio BV a ([a, b]; X ′ ) es un espacio de Banach con la norma ‖α‖ := V [α](por Teorema 1.4.2, parte ii), tomando Y = C).3) Toda función α ∈ BV ([a, b]; X) es reglada, es decir,Además,BV ([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X).BV ([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X) ⊂ B([a, b]; X).El recíproco de estas contenciones no es cierto.4)C([a, b]; L(X)) ⊂ G([a, b]; L(X)) ⊂ G σ ([a, b]; L(X)).5) Si α : [a, b] −→ L(X; R), entonces los conceptos de semivariación acotada y variaciónacotada son equivalentes.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 27Teorema 1.5.1i) G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) es un espacio vectorial sobre F [F = R o C].ii) Toda función K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) es acotada y además,‖K(t, s)‖ ≤ SV u [K]∀ (t, s) ∈ [a, b] × [a, b].iii) El funcionalG σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) ∋ K ↦→ ‖K‖ = SV u [K] ∈ R + ,es una norma sobre G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )).Demostración. i) Sean K 1 , K 2 ∈ G σ 0 · SV u y λ ∈ F, veamos quea) K 1 + K 2 ∈ G σ 0 · SV u ,b) λK 1 ∈ G σ 0 · SV u .En efecto: a) Como K 1 , K 2 ∈ G σ 0 · SV u , entonces(G σ 0 ) : Para cada s ∈ [a, b], (K 1) s , (K 2 ) s ∈ G σ 0 · SV u y K 1 (t, s) = 0, K 2 (t, s) = 0 s ≥ t.(SV u ) : SV u [K 1 ] = sup SV [K1] t < ∞c≤t≤dy SV u [K 2 ] = sup SV [K2] t < ∞.c≤t≤dAsí, para cada s ∈ [a, b], tenemos que (K 1 ) s + (K 2 ) s ∈ G σ ([a, b]; L(X, Y )). Además,para todo x ∈ X y t ∈ [a, b],(K 1 ) s x(t) = (K 1 ) s (t)x = K 1 (t, s)x(K 2 ) s x(t) = (K 2 ) s (t)x = K 2 (t, s)x(K 1 ) s x(t) + (K 2 ) s x(t) = K 1 (t, s)x + K 2 (t, s)xLuego, (K 1 + K 2 ) s ∈ G σ ([a, b]; L(X, Y )).= (K 1 + K 2 )(t, s)x= (K 1 + K 2 ) s (t)x= (K 1 + K 2 ) s x(t).Por otro lado, s ≥ t,K 1 (t, s) = 0K 2 (t, s) = 0(K 1 + K 2 )(t, s) = 0.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 28En consecuencia, K 1 + K 2 verifica (G σ 0 ).Afirmación 2En efecto: Sean t ∈ [a, b] y P ∈ P[a, b]SV [(K 1 + K 2 ) t ; P] = supx i ∈X‖x i ‖≤1= supx i ∈X‖x i ‖≤1≤ supx i ∈X‖x i ‖≤1SV u [K 1 + K 2 ] < ∞.∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[(K 1 + K 2 ) t (s i ) − (K 1 + K 2 ) t (s i−1 )]x i∥ i=1∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[(K1 t∥(s i) + K1 t (s i−1)) − (K2 t (s i) + K2 t (s i−1))]x ii=1∥ ∥ n(P)∥∥∥∥∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[(K1 t∥(s i) + K1 t (s ∑i−1)]x i + sup[K2 tx i ∈X ∥(s i) − K2 t (s i−1)]x ii=1= SV [K t 1; P] + SV [K t 2; P].Por lo tanto, para todo t ∈ [a, b] y P ∈ P[a, b]Así, para todo t ∈ [a, b]Luego,‖x i ‖≤1SV [(K 1 + K 2 ) t ; P] ≤ SV [K t 1; P] + SV [K t 2; P].SV [(K 1 + K 2 ) t ; P] = sup SV [(K 1 + K 2 ) t ; P]P∈P[a,b]≤i=1sup SV [K1; t P] + sup SV [K2; t P]P∈P[a,b]P∈P[a,b]= SV [K t 1] + SV [K t 2].SV u [K 1 + K 2 ] = sup SV [(K 1 + K 2 ) t ]t∈[a,b]De modo que, K 1 + K 2 verifica (SV u ).En consecuencia, K 1 + K 2 ∈ G σ 0 · SV u .≤ sup SV [K1 t ] + sup SV [K2 t ]t∈[a,b]t∈[a,b]= SV u [K 1 ] + SV u [K 2 ] < ∞.

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 29b) Afirmación 3λK 1 verifica (G σ o ).En efecto: Como K 1 ∈ G σ 0 · SV u , entonces verifica(G σ 0 ) : Para cada s ∈ [a, b], (K 1) s ∈ G σ y K 1 (t, s) = 0 s ≥ t.(SV u ) : SV u [K 1 ] = sup SV [K1 t ] < ∞.c≤t≤dAsí, para cada s ∈ [a, b], tenemos que (K 1 ) s ∈ G σ ([a, b]; L(X, Y )) y K 1 (t, s) = 0 s ≥ t,entonces λ(K 1 ) s ∈ G σ ([a, b]; L(X, Y )) y λK 1 (t, s) = 0 s ≥ t. Además, para todox ∈ [a, b]λ(K 1 ) s x(t) = λ(K 1 ) s (t)x = λK 1 (t, s)x(t) = (λK 1 ) s (t)x = (λK 1 ) s x(t).Luego, para cada s ∈ [a, b], λ(K 1 ) s = (λK 1 ) s ∈ G σ ([a, b]; L(X, Y )).En consecuencia, λK 1 verifica (G σ 0 ).Afirmación 4En efecto: Sean t ∈ [a, b] y P ∈ P[a, b],SV [(λK 1 ) t ; P] = supx i ∈X‖x i ‖≤1= supx i ∈X‖x i ‖≤1≤ |λ| supx i ∈XPor lo tanto, para todo t ∈ [a, b],SV u [λK 1 ] < ∞.∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[(λK 1 ) t (s i ) − (λK 1 ) t (s i−1 )]x i∥ i=1∥ n(P)∑∥∥∥∥∥[λK1 t∥(s i) − λK1 t (s i−1)]x ii=1∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[K1 t∥(s i) − K1 t (s i−1)]x i‖x i ‖≤1i=1= |λ|SV [K t 1; P].Así,SV [(λK 1 ) t ] = sup SV [(λK 1 ) t ; P] = |λ|P∈P[a,b]supP∈P[a,b]SV [K t 1 ; P] = |λ|SV [Kt 1 ].SV u [λK 1 ] = sup SV [(λK 1 ) t ] = |λ| sup SV [K1 t ] = |λ|SV u [K 1 ] < ∞.t∈[a,b]t∈[a,b]

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 30De modo que λK 1 verifica (SV u ).Por consiguiente, λK 1 ∈ G σ 0 · SV u .ii) Sea K ∈ G σ 0 · SV u , queremos demostrar que existe M > 0 tal que‖K(t, s)‖ ≤ M∀ (t, s) ∈ [a, b] × [a, b].Como K es uniformemente de semivariación acotada, entonces existe M > 0 tal queSV [K t ] ≤ M∀ t ∈ [a, b].Consideremos P = {s 0 = a, s 1 = s, s 2 = b} un partición de [a, b]. Así, para todo(t, s) ∈ [a, b] × [a, b],‖K(t, s)‖ = ‖K t (s)‖ ≤ ‖K t (a) − K t (t)‖ + ‖K t (s) − K t (a)‖ ≤ SV u [K].De donde, se sigue que K es acotada.(iii) Afirmación 5es una norma.En efecto: n 1 )‖K‖ = 0 ⇔ SV u [K] = 0⇔ sup SV [K t ] = 0t∈[a,b]‖K‖ = SV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u ,⇔ SV [K t ] = 0 ∀ t ∈ [a, b]⇔sup SV [K t ; P] = 0 ∀ t ∈ [a, b]P∈P[a,b]⇔ SV [K t ; P] = 0 ∀ t ∈ [a, b], ∀ P ∈ P[a, b]∥ n(P)∥∥∥∥∥ ∑⇔ sup[K t (s i ) − K t (s i−1 )]x i = 0 ∀ t ∈ [a, b], ∀ P ∈ P[a, b]x i ∈X ∥ i=1‖x i ‖≤1∥ n(P)∑∥∥∥∥∥⇔[K t (s i ) − K t (s i−1 )]x i = 0 ∀t ∈ [a, b], ∀ P ∈ P[a, b] ∀x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1∥i=1n(P)∑⇔ [K t (s i ) − K t (s i−1 )]x i = 0 ∀t ∈ [a, b], ∀P ∈ P[a, b] ∀x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1i=1

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 31‖K‖ = 0 ⇔ K t (s i ) − K t (s i−1 ) = 0⇔ K t es constante ∀ t ∈ [a, b] y K t (t) = 0⇔ K t (s) = 0 ∀ (t, s) ∈ [a, b] × [a, b]⇔ K = 0.n 2 ) sean K ∈ G σ 0 · SV u y λ ∈ F,∀ t ∈ [a, b], ∀ i ∈ {1, ..., n(P)}‖λK‖ = SV u [λK] = sup SV [λK t ] = |λ|SV u [K] = |λ|‖K‖ ⇒ ‖λK‖ = |λ|‖K‖.t∈[a,b]n 3 ) sean K 1 , K 2 ∈ G σ 0 · SV u ,‖K 1 + K 2 ‖ = SV u [K 1 + K 2 ] = sup SV [K1 t + K2]tt∈[a,b]≤ sup SV [K1] t + sup SV [K2]tt∈[a,b]t∈[a,b]De modo que, ‖K 1 + K 2 ‖ ≤ ‖K 1 ‖ + ‖K 2 ‖.= SV u [K 1 ] + SV u [K 2 ] = ‖K 1 ‖ + ‖K 2 ‖.Por lo tanto, ‖ ‖ es una norma en G σ 0 · SV u .Teorema 1.5.2 El espacioBanach.()G σ · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )); ‖ ‖ es un espacio de0□Demostración. Sea (K n ) n≥1 ⊂ G σ 0 ·SV u ([a, b]×[a, b]; L(X, Y )) una sucesión de Cauchy,es decir, para todo ǫ > 0, existe n 0 > 0 tal queAsí, de (1.13),‖K n − K m ‖ = sup SV [(K n − K m ) t ] < ǫ ∀ n, m > n 0 . (1.13)t∈[a,b]SV [K t n + Kt m ] < ǫ ∀ n, m > n o, ∀ t ∈ [a, b]. (1.14)De donde,∥ n(P)∥∥∥∥∥ ∑[(Kn t − Km)(s t i ) − (Kn t − Km)(s t i−1 )]x i < ǫ ∀ n, m > n 0 (1.15)∥i=1∀ t ∈ [a, b], ∀ P ∈ P[a, b] y ∀ x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1 (i ∈ {1, 2, ..., n(P)}).

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 32De (1.14), tenemos que para cada t ∈ [a, b], (Kn) t n≥1 es una sucesión de Cauchy enSV a ([a, b]; L(X, Y )), el cual es un espacio completo. Por lo tanto, existe α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y ))tal queα = lím Knt ∀ t ∈ [a, b].n→∞Así, definimos α = K t , es decir, K t es el punto de convergencia de la sucesión (K t n) n≥1 ,Afirmación 6K t = límn→∞K t n∀ t ∈ [a, b].K = límn→∞K n en G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )).En efecto: Para el ǫ > 0 fijado, n 0 > 0 y pasando el límite, cuando m → ∞ en (1.15)y de (1.14), resulta queAsí,SV [K t n − K t ] < ǫ∀ n, m > n o , ∀ t ∈ [a, b].‖K n − K‖ = sup SV [(K n − K) t ] < ǫ ∀ n > n o .t∈[a,b]De donde,lím K n = K en G σ · SV u .n→∞ 0Afirmación 7En efecto: Queremos demostrar queK ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )).i) K verifica (G σ ) y K(t, s) = 0 para s ≥ t.ii) K verifica (SV u ).i) Sea s ≥ t, tenemos que K n (t, s) = 0 ∀ n ≥ 1.Así, K t (s) = lím Kn t (s) = lím Kn→∞n(t, s) = 0, esto implica que K(t, s) = 0 para s ≥ t.n→∞Ahora, demostremos que para cada s ∈ [a, b] y para todo x ∈ X, la funciónK s x ∈ G([a, b]; X).Sean s ∈ [a, b] y x ∈ X, por hipótesis (K n ) s x ∈ G([a, b]; X) ∀ n ≥ 1 definidas por(K n ) s x(t) = (K n ) s (t)x = K n (t, s)x ∀ t ∈ [a, b], (1.16)

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 33tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.16) resulta que para todo t ∈ [a, b]lím (K n) s x(t) = lím K n (t, s)xn→∞ n→∞= K(t, s)x= K s x(t)= K s x(t).De modo que,lím (K n ) s x(t) = K s x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Afirmación 8( )(K n ) s xn≥1En efecto: Sabemos queconverge a K s x en G([a, b]; X).‖(K n ) s x − K s x‖ = sup ‖(K n ) s x(t) − K s x(t)‖, (1.17)t∈[a,b]tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.17),lím ‖(K n) s x − K s x‖ = 0.n→∞( )Así, para cada s ∈ [a, b] y para todo x ∈ X, (K n ) s xn≥1converge a K s x, y porser G([a, b]; X) un espacio de Banach, resulta que para cada s ∈ [a, b] y para todo x ∈ X,la función K s x ∈ G([a, b]; X).En consecuencia, K verifica (G σ ) y K(t, s) = 0 para s ≥ t.(i) Queremos demostrar que SV u [K] < ∞.Por hipótesis, para cada n ≥ 1, K n verifica (SV u ), es decir, sean t ∈ [a, b], P ∈ P[a, b]y x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1 (i ∈ {1, 2, ..., n(P)}), tenemos que existe M > 0 tal que∥ n(P)∑ [] ∥∥∥∥ Kn t ∥(s i) − Kn t (s i−1) x i < M ∀ n ≥ 1, (1.18)i=1tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.18), resulta∥ n(P)∑ [] ∥∥∥∥ K t (s∥ i ) − K t (s i−1 ) x i < M.i=1

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 34Se sigue que SV [K] < ∞.Así, de i) y ii), resulta que K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )).En consecuencia, hemos demostrado que G σ 0 ·SV u ([a, b] ×[a, b]; L(X, Y )) es un espaciode Banach.□Teorema 1.5.3 (Hönig [8], Teorema 2.1)i) G σ · SV u ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )) es un espacio vectorial sobre F [F = R o C].aii) Toda función K ∈ G σ · SV u ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )) es acotada y, además,a‖K(t, s)‖ ≤ SV u [K]∀ (t, s) ∈ [c, d] × [a, b].iii) El funcionalG σ · SV ua ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )) ∋ K ↦→ ‖K‖ = SV u [K] ∈ R + ,es una norma sobre G σ · SV u ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )).a()iv) El espacio G σ · SV u([c,d] × [a, b]; L(X, Y )); ‖ ‖ es un espacio de Banach.a

Capítulo 2Integral de DushnikNos proponemos ahora presentar los conceptos de la integral de Riemann-Stieltjes,definida por Stieltjes en 1894 y que recibió poca atención hasta 1909, cuando Riesz demostróque todo elemento de L[C([a, b]; R); R] puede representarse en términos de unaintegral de Riemann-Stieltjes. El de la integral de Dushnik que fué definida por primeravez, en 1920, por Pollad y útilizada por Kaltenborn [12], en 1934, para representar loselementos del espacio L[G([a, b]; R); R] y generalizada por Hönig [6], en 1975, al espacioL[G([a, b]; X); Y ]; y el de la integral de Cauchy-Riemann la cual nos permite trabajarla teoría de semigrupos fuertemente continuos. Y finalizamos con un diagrama que ilustrala relación entre las integrales de funciones escalonadas, Cauchy-Riemann, Riemann,Riemann-Stieltjes y Dushnik.2.1. Integral de Dushnik e integral de Riemann-StieltjesDefinición 2.1.1 Sea (h P) P∈P[a,b]en un espacio topógico E, diremos que la sucesión (h P)converge a h ∈ E si para toda vecindad V de h, existe P V∈ P[a, b] tal quey lo denotaremos lím h P= h.P∈P[a,b]P ≥ P V=⇒ h PDefinición 2.1.2 Sea α : [a, b] −→ L(X, Y ) y x : [a, b] −→ X ) funciones, para cadaP ∈ P[a, b] y para cada ξ ∗ = (ξ1, ∗ ..., ξn(P) (ξ ∗ ) = (ξ 1 , ..., ξ n(P) ) resp. con ξi ∗ ∈ (t i−1 , t i )()(ξ i ∈ [t i−1 , t i ] resp. , definimos una suma de Dushnik suma de Riemann-Stieltjes)resp. de x con respecto a α como∈ Vn(P)∑S P,ξ ∗(x, α) = [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ )i=1(n(P)∑)S P,ξ (x, α) = [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξ i ) resp.i=135

Capítulo 2. Integral de Dushnik 36i) Diremos que x es Dushnik integrable sobre [a, b] con respecto a la función α, siel límite∑[α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ) donde ξi ∗ ∈ (t i−1 , t i )n(P)límP∈P[a,b]i=1existe, y lo denotaremos∫[a,b]dα(t)x(t).Y escribiremos x ∈ D α ([a, b]; X).ii) Diremos que x es Riemann-Stieltjes integrable sobre [a, b] con respecto a lafunción α, sin(P)lím‖P‖→0i=1∑[α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξ i ) donde ξ i ∈ [t i−1 , t i ]existe, y lo denotaremos∫(R-S)[a,b]dα(t)x(t).Y escribiremos x ∈ RS α ([a, b]; X).Observación 2.11) Si α(t) = t, entonces la integral de Riemann-Stieltjes coincide con la integral deRiemann.El siguiente resultado nos indica que la integral de Dushnik generaliza la integral deRiemann-Stieltjes.∫Teorema 2.1.1 (Hönig [7], Teorema I.1.1) Si existe (R-S)dα(t)x(t), entonces existe∫[a,b]∫dα(t)x(t) = (R-S)[a,b][a,b]dα(t)x(t).A continuación daremos, un ejemplo donde se demuestra que el recíproco del Teorema2.1.1 no es cierto.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 37Ejemplo 2.1 Sean c ∈ (a, b) y α, x : [a, b] −→ R definidas porα(t) = X [a,c] (t) y x(t) = X (c,d] (t).Entonces,∫i) dα(t)x(t) = 1.[a,b]∫ii) (R-S)dα(t)x(t) no existe.[a,b]Observación 2.21) El Teorema 2.1.1 nos dice queRS α ([a, b]; X) ⊂ D α ([a, b]; X).El siguiente teorema nos dice que las integrales de Dushnik y Riemann-Stieltjes coinciden,cuando las funciones α y x no tienen discontinuidades comunes.∫Teorema 2.1.2 (Hönig [6], Teorema I.1.2) Si dα(t)x(t) existe y siα : [a, b] −→ L(X, Y ) y∫x : [a, b] −→ X son funciones acotadas sin discontinuidadescomunes, entonces (R-S) dα(t)x(t) existe y, además,[a,b][a,b]∫(R-S)dα(t)x(t) =∫dα(t)x(t).[a,b][a,b]Teorema 2.1.3 (Hönig ∫ [6], Teorema I.1.4)(Aditividad ∫ respecto al∫intervalo)Dado c ∈ (a, b), dα(t)x(t) existe si, y sólo si, dα(t)x(t) y dα(t)x(t) existen y,además,[a,b]∫dα(t)x(t) =∫[a,c]∫dα(t)x(t) +dα(t)x(t).[c,b][a,b][a,c][c,b]Sin embargo, esta propiedad no se verifica para la integral de Riemann-Stieltjes, comoveremos en el siguiente ejemplo.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 38Ejemplo 2.2 Del ejemplo 2.1, tenemos que∫∫i) (R-S) dα(t)x(t) = 0 y (R-S)dα(t)x(t) = 1,ii) (R-S)[a,c]∫dα(t)x(t)no existe.[c,b][a,b]2.1.1. Propiedades de la integral de DushnikEl siguiente resultado se sigue de la definición de la integral de Dushnik y nos presentala bilinealidad de la misma.Teorema 2.1.4 Sean α i : [a, b] −→ L(X, Y ) y x i : [a, b] −→ X i ∈ {1, 2} funciones talesque las integrales de Dushnik existen∫∫dα 1 (t)x i (t) y dα i (t)x 1 (t) ∀ i ∈ {1, 2}.[a,b][a,b]Entonces, para todo c 1 , c 2 ∈ F (F = R o C)i) Linealidad respecto al integrando:∫∫∫dα 1 (t)[c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t)] = c 1 dα 1 (t)x 1 (t) + c 2dα 1 (t)x 2 (t).[a,b][a,b][a,b]ii) Linealidad respecto al integrador:∫∫∫d[c 1 α 1 (t) + c 2 α 2 (t)]x 1 (t) = c 1 dα 1 (t)x 1 (t) + c 2dα 2 (t)x 1 (t).[a,b][a,b]En el siguiente resultado se intercambian los papeles del integrador α y del integrandox. Y se conoce con el nombre de método de integración por partes.Teorema 2.1.5 (Hönig [6], Teorema I.1.3; ∫Ferderson [3], Teorema ∫2.2.6)Si las integrales de Riemann-Stieltjes (R-S) dα(t)x(t) y (R-S) α(t)dx(t)[a,b]existen, la fórmula de integración por partes:∫∫(R-S) dα(t)x(t) = α(b)x(b) − α(a)x(a) − (R-S)[a,b][a,b]α(t)dx(t)[a,b]es cierta, si una de las condiciones se satisface[a,b]

Capítulo 2. Integral de Dushnik 39i) α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )) y x ∈ C([a, b]; X).ii) α ∈ G([a, b]; L(X, Y )) y x ∈ BV ([a, b]; X).El método de integración por partes no se cumple para la integral de Dushnik, porejemploEjemplo 2.3 Sea c ∈ (0, 1) y se define x c : [0, 1] −→ R por{x(t), si t ≠ c,x c (t) :=c, si t = c,donde x := χ (c,1] y sea α := χ [c,1] así∫dα(t)x c (t) = 0, α(b)x(b) − α(a)x(a) = 1 y∫α(t)dx c (t) = 1 − c.[a,b][a,b]2.2. Integral de Cauchy-RiemannEn esta sección, la integral de Cauchy-Riemann será definida para funcionesx : [a, b] −→ X, donde [a, b] ⊂ R es un intevalo compacto y X un espacio de Banach(ver Viloria y Cadenas [19], para X = R). Comenzaremos primero asignándole acualquier función del espacio de las funciones escalonadas E([a, b]; X) un valor integral,mediante la aplicación I : E([a, b]; X) −→ X lineal, acotada con ‖I‖ ≤ (b − a) tal queal extenderla al espacio de las funciones regladas G([a, b]; X) a través de la aplicaciónĨ : G([a, b]; X)) −→ X lineal, acotada, mediante el Teorema de Extensión de AplicacionesLineales del análisis funcional, obtenemos la integral de Cauchy-Riemann.2.2.1. Integral de funciones escalonadasDefinición 2.2.1 Sean s ∈ E([a, b]; X) y P ∈ P[a, b] tales quen∑s(t) = x i χ (ti−1 ,t i ) ∀ t ∈ [a, b].i=1Entonces, la integral de la función s sobre [a, b] se designa con el simboloy se define como∫n∑s(t)dt = S(s, P) = x i (t i − t i−1 ).[a,b]{Denotemos IE([a, b]; X) = s ∈ E([a, b]; X) : s es integrable .i=1}∫[a,b]s(t)dt

Capítulo 2. Integral de Dushnik 40Lema 2.2.1 Dado que (E([a, b]; X), ‖ ‖) es un espacio normado. Entonces, la integralI : E([a, b]; X) −→ X dada por∫I[s] := s(t)dt ∀ s ∈ E([a, b]; X),es una aplicación que verificai) I está bien definida.[a,b]ii) I es lineal, acotada y ‖I‖ ≤ (b − a).Demostración. i) sea s ∈ E([a, b]; X), demostraremos que I[s] es independiente de laescogencia de la partición P ∈ P[a, b] tal que s es constante en los subintervalos abiertosgenerados por P. Sea Q una partición más fina que P, es decir, Q = P ∪ {t} ∈ P[a, b].Así,x 1 (t 1 − t 0 ) + ... + x i (t − t i−1 ) + x i (t − t i ) + ... + x n (t n − t n−1 ) == x 1 (t 1 − t 0 ) + ... + x i (t i − t i−1 ) + ... + x n (t n − t n−1 )n∑= x i (t i − t i−1 ).i=1En consecuencia, I[s] no cambia. De modo que, I[s] es el mismo para todos los refinamientosde P.ii) I es lineal.En efecto: Sean s 1 , s 2 ∈ E([a, b]; X), demostraremos que I[s 1 + s 2 ] = I[s 1 ] + I[s 2 ].Como s 1 , s 2 ∈ E([a, b]; X), existen P 1 , P 2 ∈ P[a, b] tales que s 1 y s 2 son constantes en lossubintervalos abiertos generados por P 1 y P 2 , respectivamente.Basta tomar Q = P 1 ∪ P 2 ∈ P[a, b] tal que s 1 + s 2 es constante en cada subintervarloabierto generado por Q y definiendo I[s 1 ] y I[s 2 ], usando la partición Q,I[s 1 ] + I[s 2 ] =∫s 1 (t)dt +∫s 2 (t)dt[a,b] [a,b]= S(s 1 , Q) + S(s 2 , Q) =n∑x i (t i − t i−1 ) +i=1n∑= (x i + x ′ i )(t i − t i−1 ) = S(s 1 + s 2 , Q)i=1∫= [s 1 (t) + s 2 (t)]dt = I[s 1 + s 2 ].n∑x ′ i(t i − t i−1 )i=1[a,b]

Capítulo 2. Integral de Dushnik 41Luego, I[s 1 + s 2 ] = I[s 1 ] + I[s 2 ].Sean s ∈ E([a, b]; X) y λ ∈ F, demostraremos que I[λs] = λI[s].Como s ∈ E([a, b]; X), existe P ∈ P[a, b] tal que s es constante en los subintervalosabiertos generados por P y definiendo λI[s], usando la partición P,∫λI[s] = λ[a,b]n∑s(t)dt = λ x i (t i − t i−1 ) =i=1n∑∫λx i (t i − t i−1 ) =i=1[a,b]λs(t)dt = I[λs].De donde, I[λs] = λI[s].Finalmente probaremos que I es acotado.Afirmación 1∫‖s(t)dt‖ ≤∫‖s‖dt∀ s ∈ E([a, b]; X).[a,b][a,b]En efecto: Sean s ∈ E([a, b]; X) y P ∈ P[a, b, ]∫‖[a,b]n∑s(t)dt‖ = ‖ x i (t i − t i−1 )‖ ≤i=1n∑∫‖x i ‖(t i − t i−1 ) =i=1[a,b]‖s(t)‖dt ≤∫[a,b]‖s‖dt.Por otro lado, sean s ∈ E([a, b]; X), P ∈ P[a, b, ] y, por la Afirmación 1,∫ ∫‖I[s]‖ = ‖ s(t)dt‖ ≤ ‖s‖dt = (b − a)‖s‖.[a,b][a,b]Luego, ‖I[s]‖ ≤ (b − a)‖s‖∀ s ∈ E([a, b]; X).Esto prueba que I es acotada y, además,‖I‖ =sups∈E([a,b];X)‖s‖≤1‖I[s]‖ ≤ (b − a).En consecuencia, I es una aplicación lineal, acotada y ‖I‖ ≤ (b − a).□

Capítulo 2. Integral de Dushnik 422.2.2. Propiedades de la integral de funciones escalonadasTeorema 2.2.1 Sean s 1 , s 2 ∈ IE([a, b]; X). Entonces,i) s 1 + s 2 ∈ IE([a, b]; X) y, además,∫[s 1 (t) + s 2 (t)]dt =∫s 1 (t)dt +∫s 2 (t)]dt.[a,b][a,b][a,b]ii) Para λ ∈ R, λs 1 ∈ IE([a, b]; X) y∫ ∫λs 1 (t)dt = λs 1 (t)dt.[a,b][a,b]iii) ‖s 1 ‖ ∈ IE([a, b]; R), además∫∥∥s 1 (t)dt∥≤∫‖s 1 (t)‖dt.[a,b][a,b]Demostración. La demostración de i) y ii) son consecuencia del hecho de que la aplicaciónI es lineal.iii) se demuestra en la Afirmación 1, del Lema 2.2.1.□Observación 2.31) IE([a, b]; X) es un espacio vectorial con las propiedades usuales i) y ii) del Teorema2.2.1.2.2.3. Integral de Cauchy-RiemannTeorema 2.2.2 La integral de funciones escalonadas I : E([a, b]; X) −→ X, se puedeextender a una única aplicación Ĩ : G([a, b]; X) −→ X lineal, acotada y ‖Ĩ‖ ≤ (b − a).Demostración. Veamos la existencia de una extensión Ĩ de I. Para esto, sea x ∈G([a, b]; X). Entonces, por el Teorema 1.1.2, parte ii), existe (s n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X) talquelím s n(t) = x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].

Capítulo 2. Integral de Dushnik 43Afirmación 2(I[sn ] ) n≥1es una sucesión de Cauchy en X.En efecto: Por ser I lineal y acotada,‖I[s n ] − I[s m ]‖ = ‖I[s n − s m ]‖ ≤ (b − a)‖s n − s m ‖. (2.1)Como (s n ) n≥1 es convergente en G([a, b]; X), entonces (s n ) n≥1 es Cauchy en G([a, b]; X)y tomando el límite a ambos lados de (2.1), cuando n, m −→ ∞,lím ‖I[s n] − I[s m ]‖ = ‖I[s n − s m ]‖ ≤ (b − a) lím ‖s n − s m ‖ = 0.n,m→∞ n,m→∞Esto, prueba que (I[s n ]) n≥1 es una sucesión de Cauchy en X, el cual es completo, porlo tanto existe x s ∈ X tal quelím I[s n] = x s en X.n→∞Ahora, definimos el funcional Ĩ : G([a, b]; X) −→ X porel cual verificaĨ[x] := límn→∞I[s n ]∀ x ∈ G([a, b]; X),i)ii)Ĩ está bien definido.Ĩ es lineal, acotado y ‖Ĩ‖ ≤ (b − a).En efecto: (i) Probaremos que Ĩ está bien definido, es decir, no depende de la selecciónde la sucesión en IE([a, b]; X) que converge a x. Para esto, sean (s n ) n≥1 y (s ′ n) n≥1sucesiones en IE([a, b]; X) tales queconvergen uniformemente.lím s n(t) = x(t) y lím s ′ n (t) = x(t)n→∞ n→∞∀ t ∈ [a, b],Por lo anterior, ( I[s n ] ) y ( I[s ′ n≥1 n ]) son sucesiones de Cauchy en X, el cual esn≥1completo, entonces existen x s , x s′ ∈ X tales queAfirmación 3lím Ĩ[s n ] = x s y lím Ĩ[s ′n→∞n→∞n] = x s′.En efecto: Analizandox s = x s′.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 44‖x s − x s′‖ = lím ‖I[s n ] − I[s ′ n ]‖ = lím ‖I[s n − s ′ n ]‖ ≤ lím ‖I‖‖s n − s ′ n ‖ = ‖I‖‖x − x‖.n→∞ n→∞ n→∞Tenemos,‖x s − x s′ ‖ = 0 ⇔ x s = x s′.ii) La linealidad de Ĩ se verifica usando la linealidad de I. Además,‖Ĩ[x]‖ = lím ‖I[s n]‖ ≤ lím (b − a)‖s n ‖ = (b − a)‖x‖.n→∞ n→∞En consecuencia, Ĩ es una aplicación lineal, acotada y ‖Ĩ[x]‖ ≤ (b − a).□El Teorema 2.2.2 permite definir la integral de una función reglada. ∫ En lo que sigue,designaremos Ĩ = I y seguiremos usando la notación Ĩ[x] = I[x] = x(t)dt, tanto paraE([a, b]; X) como para G([a, b]; X).[a,b]Definición 2.2.2 Sea x ∈ G([a, b]; X), definimos la integral de Cauchy-Riemannde x sobre [a, b] por∫∫x(t)dt = lím s n (t)dt,n→∞[a,b]donde (s n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X) es tal queDenotemosIG([a, b]; X) ={[a,b]lím s n (t) = x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].x ∈ G([a, b]; X) : x es Cauchy-Riemann integrable}.Observación 2.41) Toda función continua es Cauchy-Riemann integrable.2) Toda función reglada es Cauchy-Riemann integrable.2.2.4. Propiedades de la integral de Cauchy-RiemannA continuación daremos algunas propiedades de la integral de funciones regladasTeorema 2.2.3 Sean x, y ∈ G([a, b]; X) y λ ∈ R. Entonces,

Capítulo 2. Integral de Dushnik 45i) Aditividad con respecto al integrando.∫[x(t) + y(t)]dt =∫x(t)dt +∫y(t)dt.[a,b][a,b][a,b]ii) Homogéneidad.∫∫(λx)(t)dt = λx(t)dt.[a,b][a,b]iii)∫∥x(t)dt∥ ≤∫‖x(t)‖dt.[a,b][a,b]iv) Invariante por traslación∫[a,b]x(t)dt =∫b+ca+cx(t − c)dt si c ∈ R.v) Aditividad respecto al intervalo de integración∫ ∫ ∫x(t)dt = x(t)dt + x(t)dt si a < c < b.[a,b][a,c]vi) Si x(t) = x ∀ t ∈ [a, b], entonces∫[a,b][c,b]x(t)dt = x(b − a).Demostración. La demostración de i) y ii) es directa, del hecho de que la aplicación Ies lineal.ii) Como x ∈ G([a, b]; X), entonces por el Teorema 1.1.2, parte ii), existe (s n ) n≥1 ⊂E([a, b]; X) tal que (s n ) n≥1 converge uniformemmente a x y, además, para todo t ∈ [a, b]|‖s n (t)‖ − ‖x(t)‖| ≤ ‖s n (t) − x(t)‖ ≤ ‖s n − x‖. (2.2)Tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (2.2),Así,lím ‖s n (t)‖ = ‖x(t)‖n→∞0 < límn→∞|‖s n (t)‖ − ‖x(t)‖| ≤ límn→∞‖s n − x‖ = 0.∀t ∈ [a, b].

Capítulo 2. Integral de Dushnik 46De modo que, (‖s n ‖) n≥1 ⊂ E([a, b]; R) converge uniformemente a la función‖x‖ ∈ G([a, b]; R). En virtud de la Definición 2.2.2, resulta que∫∫‖x(t)‖dt = lím ‖s n (t)‖dt, (2.3)n→∞[a,b]y por el Teorema 2.2.1, parte iii),∫∫∥ s n (t)dt∥ ≤[a,b][a,b][a,b]‖s n (t)‖dt. (2.4)Tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de la ecuación (2.4), y por lacontinuidad de la norma,∫∥∫∫ ∫∥∥ ∥ x(t)dt∥ = ∥ lím s n (t)dt∥ = lím s n (t)dt∥ ≤ lím ‖s n (t)‖dt = ‖x(t)‖dt.n→∞ n→∞[a,b]n→∞∫[a,b][a,b][a,b][a,b]Se sigue que,∫∥x(t)dt∥ ≤∫‖x(t)‖dt.[a,b]iv) y v) son resultados inmediatos de los casos particulares de las funciones escalonadas,considerando sucesiones de funciones escalonadas que converjan uniformemente ax.vi) Como x ∈ G([a, b]; X), consideremos s n (t) = x ∀ t ∈ [a, b]. Entonces(s n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X) tal que (s n ) n≥1 converge uniformemmente a x, por lo tanto∫[a,b]∫x(t)dt = límn→∞[a,b]s n (t)dt =∫[a,b][a,b]xdt =n∑x(b − a) = x(b − a).□De la Definición 2.2.2, la integral es una aplicación lineal continua sobre G([a, b]; X),así tenemos el siguiente resultado.Teorema 2.2.4 Si (x n ) n≥1 ⊂ G([a, b]; X) tal que (x n ) n≥1 converge uniformemente a lafunción x : [a, b] → X Cauchy-Riemann integrable, entonces∫∫x(t)dt = lím x n (t)dt.n→∞[a,b][a,b]i=1

Capítulo 2. Integral de Dushnik 47Demostración. Consideremos∫∥x n (t)dt −∫∫x(t)dt∥ = ∥[x n (t) − x(t)]dt∥(por el Teorema 2.2.3, parte i))[a,b][a,b]≤[a,b]∫‖x n (t) − x(t)‖dt(por el Teorema 2.2.3, parte iii))[a,b]≤ sup ‖x n (t) − x(t)‖(b − a)t∈[a,b](por el Teorema 2.2.3, parte vi))De donde,∫∥[a,b]∫x n (t)dt −[a,b]x(t)dt∥ ≤ sup ‖x n (t) − x(t)‖(b − a), (2.5)t∈[a,b]tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (2.5),∥∫∫∥∥ 0 < lím x n (t)dt − x(t)dt∥ ≤ lím sup ‖x n (t) − x(t)‖(b − a).n→∞ n→∞Así,∥ límn→∞∫[a,b][a,b]∫x n (t)dt −[a,b][a,b]x(t)dt∥ = 0 ⇔ límt∈[a,b]n→∞∫[a,b]x n (t)dt =∫[a,b]x(t)dt.□Teorema 2.2.5 Si (x n ) n≥1 ⊂ G([a, b]; X) tal que (x n ) n≥1 converge uniformemente a lafunción x : [a, b] → X Cauchy-Riemann integrable, entonces x ∈ G([a, b]; X).Demostración. La demostración se sigue del hecho que G([a, b]; X) es un espacio completo.□2.3. Teorema fundamental del cálculo para la integralde funciones regladasEn esta sección, enunciaremos y demostraremos el Teorema fundamental del cálculopara la integral de funciones regladas (o para la integral de Cauchy-Riemann).

Capítulo 2. Integral de Dushnik 48Sea y : [−1, 1] −→ R definida por{ 1, si t ∈ [0, 1],y(t) :=0, si t ∈ [−1, 0).Así y ∈ G([−1, 1]; R). Definamos x : [−1, 1] −→ R por∫x(t) = y(s)ds ∀ t ∈ [−1, 1].Entonces,[−1,t]x(t) :=La cual verifica que• x no es diferenciable en t 0 = 0.{ t, si t ∈ [0, 1],0, si t ∈ [−1, 0).Esto nos dice que y no es continua en t 0 = 0, luego y es continua en [−1, 1], menos enun conjunto finito A = {0} de [−1, 1]. Así, x es una primitiva de y, es decir, existex ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [−1, 1] − A.La siguiente caracterización de Hönig, en [6], nos permite deducir los teoremas fundamentalesdel cálculo para la integral de funciones regladas. Es por esto el interés endetallar su demostración.Lema 2.3.1 Dados x, y : [a, b] −→ X. Las siguientes propiedades son equivalentes:∫a) y ∈ G([a, b]; X) y x(t) = x(a) +[a,t]y(s)ds∀ t ∈ [a, b].b) Para todo t ∈ [a, b) existe x ′ + (t) = y(t+ ) y, para todo t ∈ (a, b] existe x ′ − (t) = y(t− ).c) y ∈ G([a, b]; X) y x es una primitiva de y (es decir, x es continua y, fuera de unconjunto numerable de [a, b], existe x ′ (t) = y(t)).Demostración. a) =⇒ b) Sea t 0 ∈ [a, b], demostraremos que x ′ + (t 0) = y(t + 0 ), equivalentea demostrar queAnalizando∥ ∥ ∥∥∥ x(t 0 + h) − x(t 0 ) ∥∥∥lím− y(t +h→0 + 0h) = 0.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 49[] ∥ [1∥∥∥∥ x(t 0 + h) − x(t 0 ) − y(t + 0h) =1∥ x(a) +h=1∥h∫[t 0 ,t 0 +h]∫[a,t 0 +h]y(s)ds − x(a) −[y(s) − y(t + 0 )]ds ∥ ∥∥∥.∫[t 0 ,t 0 +h]] ∥ ∥∥∥y(s)ds − y(t + 0 )Por hipótesis, y ∈ G([a, b]; X), entonces existe y(t + 0 ) = límτ↓t 0y(τ), es decir, para todoǫ > 0, existe δ > 0 tal que t 0 < τ < t 0 + δ implica queLuego, de la igualdad anterior y (2.6), resulta[] ∥ 1∥∥∥∥ x(t 0 + h) − x(t 0 ) − y(t + 0h) ≤ 1 h‖y(τ) − y(t + 0 )‖ < ǫ. (2.6)∫[t 0 ,t 0 +h]‖y(s) − y(t + 0 )‖ds < ǫ,por lo tanto, para todo ǫ > 0[] ∥ 1∥∥∥∥ x(t 0 + h) − x(t 0 ) − y(t + 0h) < ǫ, (2.7)tomando ǫ = h y el límite, cuando h → 0 + , en (2.7)∥ [] ∥ ∥∥∥ 1∥∥∥lím x(t 0 + h) − x(t 0 ) − y(t +h→0 + 0h) = 0.En consecuencia, x ′ +(t 0 ) = y(t + 0 ).Analogamente, se demuestra que x ′ − (t 0) = y(t − 0 ).b) =⇒ c) Demostraremos que x es una primitiva de y.Por hipótesis, y ∈ G([a, b]; X) y por la Observación 1.2, parte 2) los conjuntos dondey(t + ) ≠ y(t) o y(t − ) ≠ y(t) son numerables, es decir,{} {}A 1 =t ∈ [a, b) : y(t + ) ≠ y(t)o A 2 =t ∈ (a, b] : y(t − ) ≠ y(t)son numerables. De donde, y es continua en los puntos del conjunto [a, b] − A 1 ∪ A 2 ,es decir, y(t + ) = y(t) = y(t − ) ∀ t ∈ [a, b] − A 1 ∪ A 2 . Por la parte b), resulta quex ′ + (t) = x(t) = x′ − (t), para cada t ∈ [a, b] − A 1 ∪ A 2 . Así, fuera de un conjunto numerablede [a, b], existe x ′con x ′ (t) = y(t), de modo que x ∈ C([a, b]; X).,

Capítulo 2. Integral de Dushnik 50c) =⇒ a)∫Sea y ∈ G([a, b]; X). Queremos demostrar que x(t) = x(a) +y(s)ds∀ t ∈ [a, b].Como y ∈ G([a, b]; X), entonces por el Teorema 1.1.2 existe (y n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X) talquelím y n(t) = y(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Ahora, para cada n ≥ 1, definimos x n : [a, b] −→ X por∫x n (t) = x(a) + y n (s)ds ∀ t ∈ [a, b] (2.8)[a,t]la cual verifica:[a,t]i) (x n ) n≥1 converge uniformemente a ˜x.ii) ˜x, x ∈ C([a, b]; X) tal que ˜x = x y ˜x es una primitiva de y.En efecto: i) Tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (2.8) y aplicandoel Teorema 2.2.5,∫lím x n(t) = x(a) + límn→∞ n→∞∫lím x n(t) = x(a) +n→∞[a,t][a,t]y(s)dsy n (s)ds∀ t ∈ [a, b].∀ t ∈ [a, b].Definimos ˜x : [a, b] −→ X por∫˜x(t) = x(a) +y(s)ds∀ t ∈ [a, b].[a,t]Así, (x n ) n≥1 converge uniformemente a ˜x y, por la hipótesis c), x es continua y∫˜x(a) = x(a) + y(s)ds =⇒ ˜x(t) = x(a).[a,a]Además, por el Teorema 1.1.2 y la parte ii) =⇒ i), resulta que ˜x ∈ G([a, b]; X) y comoa) =⇒ b) =⇒ c), tenemos que ˜x es la primitiva de y, es decir, ˜x ′ (t) = y(t) = x ′ (t) fuerade un conjunto numerable de [a, b]. En consecuencia, ˜x = x.□

Capítulo 2. Integral de Dushnik 51Definición 2.3.1 Sea y ∈ G([a, b]; X). La integral definida de y es la funciónx : [a, b] −→ X dada porx(t) :=∫[a,t]y(s)ds∀ t ∈ [a, b].Teorema 2.3.1 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo)Si y ∈ G([a, b]; X) y x : [a, b] −→ X es definida por∫x(t) := x(a) + y(s)ds ∀ t ∈ [a, b],[a,t]entonces existe un conjunto numerable A ⊂ [a, b] tal quex ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b] − A.Demostración. • Si y ∈ C([a, b]; X), entoncesy, por el Lema 2.3.1 parte a) =⇒ b), resulta quey(t + ) = y(t) = y(t − ) ∀ t ∈ [a, b] (2.9)x ′ + (t) = y(t+ ) ∀t ∈ (a, b] y x ′ − (t) = y(t− ) ∀ t ∈ [a, b) (2.10)En consecuencia, de (2.9), (2.10), tomando A = ∅, tenemos quex ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b] − A.•• Si y ∈ G([a, b]; X)\C([a, b]; X), entonces por a) =⇒ b) =⇒ c) del Lema 2.3.1, existeA ⊂ [a, b] numerable tal quex ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b] − A.□Observación 2.51) Si y ∈ C([a, b]; X), entonces x ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b].2) Si t ∈ {a, b}, entonces x ′ (t) denota la derivada por la derecha o por la izquierda det, respectivamente.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 52Teorema 2.3.2 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo)Sea y ∈ G([a, b]; X) y x : [a, b] −→ X una función tal que x es una primitiva de y.Entonces,∫y(s)ds = x(b) − x(a).[a,b]Demostración. Como y ∈ G([a, b]; X), entonces el conjunto de puntos de discontinuidadesde y es un conjunto numerable de [a, b], es decir, existe A ⊂ [a, b] tal quey es continua en [a, b] − A. Así, x ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b] − A.Por c) =⇒ a) del Lema 2.3.1, resulta que∫x(t) := x(a) +[a,t]y(s)ds∀ t ∈ [a, b].En particular, para t = b∫[a,b]y(s)ds = x(b) − x(a).□Corolario 2.3.1 Si y ∈ C([a, b]; X) y supongamos que existe una función x : [a, b] −→ Xtal que x ′ (t) = y(t) ∀ t ∈ [a, b], entonces∫y(s)ds = x(b) − x(a).[a,b]Demostración. Sabemos que y ∈ C([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X) y tomando A = ∅, entoncespor el Teorema 2.3.2, tenemos el resultado.□El siguiente diagrama ilustra la relación entre las familia de funciones integrables:escalonadas, Cauchy-Riemann, Riemann, Riemann-Stieltjes y Dushnik, con el cual cerramosel capítulo.

Capítulo 2. Integral de Dushnik 53IE([a, b]; X)IG([a, b]; X)R([a, b]; X)RS α ([a, b]; X)D α ([a, b]; X)Esto es,IE([a, b]; X) ⊂ IG([a, b]; X) ⊂ R([a, b]; X) ⊂ RS α ([a, b]; X) ⊂ D α ([a, b]; X)Las ventajas de la integral de Dushnik sobre la integral de Riemann-Stieltjes consisten,en que:• El espacio de todas las funciones Dushnik integrables contiene estrictamente al espaciode todas las funciones Riemann-Stieltjes integrables, ya que, existe una funciónx ∈ D α ([a, b]; R) definida como en el ejemplo 2.1 tal que x /∈ RS α ([a, b]; R).• El empleo de la integral de Dushnik para un teorema de representación integral deoperadores.Sin embargo, posee debilidades tales como:• El método de integración por partes no se cumple para la integral de Dushnik, comose ilustra en el ejemplo 2.3.• El espacio D α ([a, b]; X) no es completo.Por otro lado, otra integral de nuestro interés es la integral de Cauchy-Riemann, lacual tiene algunas fortalezas:

Capítulo 2. Integral de Dushnik 54• El espacio de todas las funciones Cauchy-Riemann integrables contiene estrictamentea los espacios E([a, b]; X), BV ([a, b]; X) y C([a, b]; X).• La formulación general que tiene el teorema fundamental del cálculo con la integralde Cauchy-Riemann.• La aplicación de la integral de Cauchy-Riemann a la Teoría de Semigrupos fuertementecontinuos.

Capítulo 3Existencia y unicidad de la ecuaciónintegral lineal de Volterra-DushnikEn los capítulos precedentes hemos desarrollado las condiciones necesarias para abordarel estudio de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik∫(K) x(t) + d s K(t, s)x(s) = u(t) t ∈ [a, b],[a,t]por lo que, en este capítulo definimos el operador integral de Volterra-Dushnik, demostramosque es causal, damos un teorema de representación para éste, y estudiamos laexistencia y la unicidad de la solución de (K).3.1. Teorema de representación integral para F αTeorema 3.1.1a) Dados α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )) y x ∈ G([a, b]; X),∫i) existe F α [x] = dα(t)x(t) ∈ Y,[a,b]ii) ‖F α [x]‖ ≤ SV [α]‖x‖.iii) Dado P ∈ P [a,b] tenemos∫∥[a,b]n(P)∑dα(t)x(t) − [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ )∥ ≤ SV [α]ω (x), ·Pi=1donde F α [x] depende solamente de la clase de equivalencia de x yF α [x] = 0 si x ∈ Ω o ([a, b]; X).55

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 56b) La aplicaciónSV a ([a, b]; L(X, Y )) ∋ α ↦−→ F α ∈ L[G − ([a, b], X); Y ]es una isometría (es decir, ‖F α ‖ := SV [α]) sobreyectiva. Además,α(t)x = F α [χ (a,t]x]para todo x ∈ X y t ∈ (a, b].Demostración. a) Dados α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )) y x ∈ G([a, b]; X), tenemos dos casos:1 er caso: si α = 0 o x = 0, entonces se verifican i), ii), iii).2 do caso: si α ≠ 0 y x ≠ 0.i) Utilizamos el criterio de Cauchy para demostrar la existencia de la integral de Dushnik.‖S ¯P, ¯Para esto, sea ǫ > 0, por el Teorema 1.1.2, parte iii), existe P ∈ P [a,b] tal queω ·P (x)

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 57Así,n(P)∑∥‖S P,ξ ∗(x, α)‖ = ∥ [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ∥∥ ) ≤ SV [α]‖x‖.i=1‖límP∈P[a,b]iii) Queremos probar que F α [x] = 0S P,ξ ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]‖x‖ =⇒ ‖F α [x]‖ ≤ SV [α]‖x‖.∀ x ∈ Ω 0 ([a, b]; X).Sea x ∈ Ω 0 ([a, b]; X). Entonces, por la Definición 2.1.2, para todo ǫ > 0, existeP ǫ ∈ P[a, b] tal que{t ∈ [a, b] : ‖x(t)‖ >ǫ }⊂ P ǫ .SV [α]Ahora, sea P ∈ P[a, b] con P ≥ P ǫ , y como ξ ∗ i ∉ P ǫ con ‖x(ξ ∗ i )‖ 0.∀ x ∈ Ω 0 ([a, b]; X).Por otro lado, para ¯P ≥ P,Así,esto es,∫∥[a,b]‖‖S ¯P, ξ ¯∗(x,α) − S P,ξ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]ω (x). ·PlímP∈P[a,b]S ¯P, ξ ¯∗(x,α) − S P,ξ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]ω (x), ·Pn(P)∑∥dα(t)x(t) − [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ∥∥ ) ≤ SV [α]ω ·P (x).i=1b) Definimos Φ : SV a ([a, b]; L(X, Y )) −→ L[G − ([a, b], X); Y ] porΦ[α]x := F α [x]

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 58∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )), ∀ x ∈ G − ([a, b], X).La cual verifica1) Φ está bien definida.2) Φ es lineal y acotada.3) Φ es biyectiva y, además,‖Φ[α]‖ = SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).En efecto: 1) Por a), parte i), tenemos que Φ está bien definida.2) Sean α 1 , α 2 ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )), λ, β ∈ F y x ∈ G − ([a, b], X),Φ[λα 1 + βα 2 ]x = F λα1 +βα 2[x]∫= d(λα 1 + βα 2 )(t)x(t)[a,b]∫= λdα 1 (t)x(t) + β∫dα 2 x(t)(por el Teorema 2.1.4, parte ii))[a,b][a,b]= λF α1 [x] + βF α2 [x]= λΦ[α 1 ]x + βΦ[α 2 ]x.En consecuencia, Φ es lineal.Por otro lado, por a), parte ii), resulta‖F α [x]‖ ≤ SV [α]‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )), ∀ x ∈ G − ([a, b], X),es decir,‖Φ[α]x‖ ≤ SV [α]‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )), ∀ x ∈ G − ([a, b], X).Ahora, sea x ∈ G − ([a, b], X) con x ≠ 0, entoncesde modo que‖Φ[α]x‖‖x‖≤ SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )),

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 59esto es,‖Φ[α]‖ =supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖≤ SV [α],‖Φ[α]‖ ≤ SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )). (3.1)En consecuencia, Φ es acotada.3) Afirmación 1SV [α] ≤supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).En efecto: Por la definición de supremo, para todo ǫ > 0, existe x ǫ ∈ G − ([a, b], X) conx ǫ ≠ 0 tal queTomando x 1 = xǫ‖x ǫ‖ . Entonces, x 1 ≠ 0 y así,De donde,supx∈G − ([a,b],X)x̸=0supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖‖Φ[α]x‖‖x‖SV [α] − ǫ ≤ ‖Φ[α]x ǫ‖. (3.2)‖x ǫ ‖≥ ‖Φ[α]x 1 ‖x ǫ= ‖Φ[α]‖x ǫ ‖ ‖= ‖Φ[α]x ǫ‖‖x ǫ ‖≥ SV [α] − ǫ. (por (3.2))≥ SV [α] − ǫ ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )) ∀ ǫ > 0.Del hecho de que la desigualdad anterior sea válida, para todo ǫ > 0, tenemos queSV [α] ≤supx∈G − ([a,b],X)x̸=0Así, de la Afirmación 1, resulta‖Φ[α]x‖‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 60‖Φ[α]‖ ≥ SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )). (3.3)En consecuencia, de (3.1) y (3.3)Demostremos ahora que•) Φ es inyectiva.••) Φ es sobreyectiva.‖Φ[α]‖ = SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).En efecto: •) Sea α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )) tal que α ≠ 0, veamos queΦ[α] ≠ Φ[0].Como α ≠ 0, existen τ ∈ (a, b] y u ∈ X tales que α(τ)u ≠ 0.Ahora, definimos x : [a, b] −→ X porx(t) := χ (a,τ] (t)u =La cual cumple que x ∈ G − ([a, b], X). Así,{u, si t ∈ (a, τ],0, si t ∈ (τ, b].Φ[α]x = F α [x] =∫dα(t)x(t) =∫dα(t)χ (a,τ] (t)u =∫dα(t)u = [α(τ)−α(a)]u = α(τ)u.[a,b][a,b][a,τ]Luego, Φ[α]x = α(τ)u ≠ 0 y Φ[0]x = 0, entonces Φ[α] ≠ Φ[0].En consecuencia, Φ es inyectiva.••) Dado F ∈ L[G − ([a, b], X); Y ], por a), parte i) si existe α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y ))debemos probar que F = F α .Así, para cada τ ∈ [a, b] y u ∈ X definimos{F[χ (a,τ] u], si τ ∈ (a, b],α(τ)u :=0, si τ = a.Demostremos que1) α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).2) F = F α .

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 61En efecto: 1) Para cada τ ∈ [a, b], α(t) es lineal (por la linealidad de F), además,‖α(τ)u‖ = ‖F[χ (a,τ] u]‖De donde, resulta≤ ‖F ‖‖χ (a,τ] u‖ (ya que F ∈ L[G − ([a, b], X); Y ])= ‖F ‖‖u‖.esto, demuestra que α(τ) es acotada.En consecuencia, α(τ) ∈ L(X, Y ) para todo τ ∈ [a, b].Por otro lado,Sea P ∈ P[a, b],Así,SV [α; P] = supu i ∈XSV [α; P] = supu i ∈X‖u i ‖≤1‖α(τ)u‖ ≤ ‖F ‖‖u‖, (3.4)SV [α] := sup SV [α; P].P∈P[a,b]‖u i ‖≤1= supu i ∈X‖u i ‖≤1= supu i ∈X‖u i ‖≤1∥ n(P)∥∥∥∥∥∑[α(t i ) − α(t i−1 )]u i∥ i=1n(P)∑[α(t i )u i − α(t i−1 )u i ]∥ i=1∥n(P)∑[F[χ (a,ti ]u i ] − F[χ (a,ti−1 ]u i ]]∥∥ .i=1⎡ ⎤n(P)∥ F ∑⎣ [χ (ti−1 ,t i ]u i ] ⎦∥i=1(por la linealidad de F)≤ ‖F ‖. (por (3.4))De donde, obtenemos que SV [α] ≤ ‖F ‖.En consecuencia, α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 622) Sabemos que F, F α ∈ L[G − ([a, b], X); Y ], queremos demostrar queF[x] = F α [x]∀ x ∈ G − ([a, b], X).Para esto, primero veamos que:Las aplicaciones F y F α coinciden para los elementos de la forma χ (a,τ] u, τ ∈ [a, b] u ∈ X.Ya que estos elementos constituyen un conjunto total en G − ([a, b], X), esto es, las combinacioneslineales finitas de los elementos χ (a,τ] u forman un conjunto denso en G − ([a, b], X).En efecto:∫F α [χ (a,τ] u] = dα(t)χ (a,τ] (t)u = α(τ)u = F[χ (a,τ] u].[a,b]Por último, sea x ∈ G − ([a, b], X). Entonces, existe una sucesión (s n ) n≥1 en el conjuntototal de G − ([a, b], X) tal que por el Teorema 1.1.2, parte ii), (s n ) n≥1 converge uniformementea x sobre [a, b].Así,F α [s n ] = F[s n ] ∀ n ≥ 1. (3.5)Tomando el límite cuando n → ∞ en (3.5), y por la continuidad de las aplicacionesF α y F, resulta queLuego, Φ es sobreyectiva.F[x] = F α [x]∀ x ∈ G − ([a, b], X).En consecuencia, Φ es una isometría.□Observación 3.11) El Teorema 3.1.1, parte i), establece que si α : [a, b] −→ L(X; Y ) es una función desemivariación ∫ acotada y x : [a, b] −→ X es una función reglada, entonces la integralde Dushnik dα(s)x(s) existe.[a,b]3.1.1. El dual de G − ([a, b]; X)En el Teorema 3.1.1, parte b) : ”A cada elemento α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )) se le asociaun elemento F α ∈ L[G − ([a, b], X); Y ] definido empleando la integral de Dushnik.”Resultado éste que ahora nos permite hallar el espacio dual de G − ([a, b]; X).

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 63Teorema 3.1.2 La aplicaciónBV a ([a, b]; L(X, R)) ∋ α ↦−→ F α ∈ L[G − ([a, b], X); R]es una isometría (es decir, ‖F α ‖ := V [α]) sobreyectiva, donde para todo x ∈ G − ([a, b]; X)definimos∫F α [x] := 〈x(s), dα(s)〉.Demostración. Análoga al Teorema 3.1.1, parte b), considerandoObservación 3.2[a,b]Y = R y L(X; R) ∼ = X ′ .1) El Teorema 3.1.2 establece que el espacio BV a ([a, b]; X ′ ) es el dual de G − ([a, b]; X),es decir, BV a ([a, b]; X ′ ) ∼ = (G − ([a, b]; X)) ′ .□3.2. Teorema de representación integral para F KEn esta sección, damos un teorema representación en el cual, a cada elementoK ∈ G σ ·SV u (D; L(X, Y )) se le asocia un operador causal F0 K∈ L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )]empleando la integral de Dushnik. Este teorema es un caso particular del teorema demostrado[ por Viloria [18] ; para representar]los operadores causales deL G − ([a, b], X), ..., G − ([a, b], X) ; G([a, b], Y ) .} {{ }m−vecesTeorema 3.2.1 (Hönig [10], Teorema 2.2) La aplicaciónG σ · SV ua ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )) ∋ K ↦−→ F K ∈ L[G− ([a, b], X); G([c, d], Y )]es una isometría (es decir, ‖F K‖ := SV u [K]) sobreyectiva, donde para todox ∈ G − ([a, b], X) definimos∫F K[x](t) = d s K(t, s)x(s) c ≤ t ≤ d.[a,b]Además, para todo x ∈ X y (t, s) ∈ [c, d] × (a, b] tenemosK(t, s)x = F K[χ [a,s]x](t).

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 64Observación 3.31) El Teorema anterior nos dice que si K : [c, d] × [a, b] −→ L(X; Y ) es una funciónla cual verifica que (G σ ) y (SV u) y x ∈ G([a, b]; X), entonces la funciónaF K[x] : [c, d] −→ Y definida porF K[x](t) =∫[a,b]d s K(t, s)x(s) c ≤ t ≤ d,es una función reglada y acotada.[ Dada K ∈ G σ · SV u ([a, ] b] × [a, b]; L(X, Y )), para cada x ∈ G([a, b], X),y ∈ G σ ([a, b], L(W; X)) definimosF K[x](t) =∫d s K(t, s)x(s)[F K[y](t) =∫d s K(t, s) ◦ y(s)][a,t][a,t][ ] [F K[y] no es reglada simplemente regla-para todo t ∈ [a, b]; en general la función F K[x]]da .Ahora, definimos un conjunto D ⊂ [a, b] × [a, b], donde el núcleo K esté definido, ymantenga las condiciones originales en el rectángulo, [ ] y sea normalizado en[la diagonal ypor encima de ella; lo que permite que F K[x] F K[y] sea una función reglada simplemente][]reglada para todo x ∈ G([a, b]; X) y ∈ G σ ([a, b], L(W; X)) .Para esto, consideremos un conjunto D de R 2 dado por:D ={}(t, s) ∈ [a, b] × [a, b] : a ≤ t ≤ b y a ≤ s < ty el núcleo K : D −→ L(X; Y ) que verifica las condiciones (G σ ) y (SV u ) en el triánguloD y se anula en la diagonal s = t y en s > t, como se muestra en la siguiente figura:

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación s integral lineal de Volterra-Dushnik 65bs = tDaabtFigura 1. Región triangularAsí, K : D −→ L(X; Y ) se puede extender definiendo ˜K : [a, b] × [a, b] −→ L(X; Y )como{K(t, s), si (t, s) ∈ D,˜K(t, s) :=0, si (t, s) ∉ D.A continuación damos el primer resultado relacionado con esta extensión.Lema 3.2.1i) Si K ∈ G σ · SV u (D; L(X; Y )), entonces ˜K ∈ G σ · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )) y0 0SV u [ ˜K] = sup SV [a,t][K t ].t∈[a,b]ii) Si K : [a, b] × [a, b] −→ L(X; Y ) tal que K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )), entoncesK ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )).Demostración. i) Queremos demostrar que ˜K verifica (G σ 0 ) y (SV u ).Por hipótesis, K(t, s) = 0 para s ≥ t y la función ˜K : [a, b]×[a, b] −→ L(X; Y ) definidapor{K(t, s), si (t, s) ∈ D,˜K(t, s) :=0, si (t, s) ∉ D.Verifica (G σ ) y, además,0SV u [ ˜K] = sup SV [ ˜K]t∈[a,b]= sup SV [a,t][K t ] ≤ ∞. (ya que K verifica (SV u ))t∈[a,b]

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 66En consecuencia, K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )).ii) Es inmediato.□Teorema 3.2.2 Sea K ∈ G σ ·SV u(D; L(X; Y )). Entonces, las siguientes propiedades sonaequivalentes:i) K ∈ G σ · SV u (D; L(X; Y )).0ii) Para todo x ∈ G([a, b]; X), se verifica F K[x] ∈ G([a, b]; Y ).iii) Para todo y ∈ G σ ([a, b]; L(W; X)), se verifica F K[y] ∈ G σ ([a, b]; L(W; X)).Demostración. i) =⇒ ii).Sea x ∈ G([a, b]; X), queremos demostrar que F K[x] ∈ G([a, b]; Y ).Sea t ∈ [a, b],F K[x](t) =∫d s K(t, s)x(s) =∫d s ˜K(t, s)x(s) = F ˜K[x](t).[a,t]Por hipótesis K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )), entonces por el Lema 3.2.1, parte i),˜K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )) y por el Teorema 3.2.1 F ˜K[x] ∈ G([a, b]; Y ).[a,b]En consecuencia, F K[x] ∈ G([a, b]; Y ).ii) =⇒ i).Por hipótesis, K ∈ G σ · SV u(D; L(X; Y )), falta demostrar que K(t, s) = 0 para s ≥ t.aSea x ∈ X, definimos x : [a, b] −→ X por x(t) = x ∀ t ∈ [a, b], con x ∈ G([a, b]; X).Entonces, por la parte ii), F K[x] ∈ G([a, b]; Y ) y, además,∫F K[x](t) = d s K(t, s)x = K(t, t)x − K(t, a)x = [K(t, t) − K(t, a)]x.[a,t]Por otro lado, para todo t ∈ [a, b],F K[x](t) = 0 =⇒ [K(t, t) − K(t, a)]x = 0=⇒ K(t, t) − K(t, a) = 0=⇒ K t (t) − K t (a) = 0=⇒ K t es constante ∀ t ∈ [a, b] y K t (a) = 0

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 67De modo que, K(t, s) = 0 ∀ t, s ∈ [a, b] con s = t.Por otro lado, si t, s ∈ [a, b] con s > t, y supongamos que∫[a,b]d s K(t, s)x = 0 =⇒ [K(t, s) − K(t, t)]x = 0=⇒ K t (s) − K t (t) = 0=⇒ K t es constante ∀ s ∈ [a, b] y K t (t) = 0=⇒ K(t, s) = 0 para todo t, s ∈ [a, b] con s > t.En consecuencia, K(t, s) = 0 para todo t, s ∈ [a, b] con s ≥ t.ii) =⇒ iii)iii) =⇒ ii)y ∈ G σ ([a, b]; L(W; X)) ⇐⇒ yw ∈ G([a, b]; X) ∀ w ∈ W=⇒ F K[y]w = F K[yw] ∈ G([a, b]; Y ) ∀ w ∈ W=⇒ F K[y] ∈ G σ ([a, b]; L(W; Y )).Sea x ∈ G([a, b]; X) demostremos que F K[x] ∈ G([a, b]; Y ).Tomando W = C, y por la Observación 1.5, parte 1), tenemos queG([a, b]; X) = G σ ([a, b]; L(C; X)) ; G([a, b]; Y ) = G σ ([a, b]; L(C; Y ))y, por iii), resulta que F K[x] ∈ G([a, b]; Y ).□Definición 3.2.1 Dado K ∈ G σ ·SV u (D; L(X; Y )) definimos el operador de Volterra-0Dushnik F K: G([a, b]; X) −→ G([a, b]; Y ) por∫F K[x](t) = d s K(t, s)x(s) ∀ x ∈ G([a, b]; X), ∀ t ∈ [a, b]. (3.6)[a,t]Definición 3.2.2 Un operador F ∈ L[G([a, b]; X); G([a, b]; Y )] se dice causal si paratodo x ∈ G([a, b]; X) y para cada t ∈ [a, b]∣x| [a,t]= 0 implica que F[x] = 0.∣[a,t]

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 68Teorema 3.2.3i) Si K ∈ G σ 0 ·SV u (D; L(X; Y )), entonces el operador F K∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )],definido como en (3.6), es causal.ii) Si F ∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )] es un operador causal, entonces existeK ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )) tal que F = F K.Demostración. i) Sean x ∈ G([a, b]; X) y para cada t ∈ [a, b] con x| [a,t]= 0. Queremos∣demostrar que F K[x] = 0.∣[a,t]Por hipótesis K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )), entonces por el Lema 3.2.1, parte i),˜K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )).Así,F ˜K[x](t) =∫d s ˜K(t, s)x(s)=[a,b]∫d s K(t, s)x(s) = 0 (ya que x| [a,t]= 0)∣es decir, F K[x]∣[a,t]= 0.[a,t]= F K[x](t),En consecuencia, F Kes causal.ii) Si F ∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )] es causal, demostremos queˆK ∈ G σ · SV u (D; L(X; Y )) tal que F = F0 ˆK.Por el Teorema 3.2.1, existe K ∈ G σ · SV u([a, b] × [a, b]; L(X; Y )) tal quea∫F[x](t) = d s K(t, s)x(s) t ∈ [a, b],[a,b]donde K(t, s)x = F[χ [a,s]x](t) para (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] y x ∈ X, con x ≠ 0.Como F es causal, para s ≥ t tenemos que F[χ [a,s]x](t) = F[χ [a,t]x](t), es decir,K(t, s)x = K(t, t)x =⇒ [K(t, s) − K(t, t)]x = 0 =⇒ K(t, s) − K(t, t) = 0 si s ≥ t.Consideremos ˆK : D −→ L(X, Y ) definida por

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 69ˆK(t, s) :={K(t, s), si (t, s) ∈ D,K(t, s) − K(t, t), si (t, s) ∉ D.Claramente ˆK ∈ G σ · SV u (D; L(X; Y )) tal que F = F0 ˆK.□A continuación damos un teorema de representación integral, donde todo operadorcausal de L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )] puede representarse como una integral de Dushnikcon respecto a un núcleo K ∈ G σ ·SV u (D; L(X, Y )). Teorema fundamental para el análisis0de la ecuación (K).Teorema 3.2.4 La aplicaciónG σ 0 · SV u (D; L(X, Y )) ∋ K ↦−→ F K∈ L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )]definida por Φ[K] = F Kes una isometría del primer espacio de Banach sobre el subespaciode operadores causales del segundo espacio, es decir, ‖F K‖ = SV u [K].Demostración. Definamos Φ : G σ · SV u (D; L(X, Y )) −→ L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )]0por∫Φ[K]x(t) = F K[x](t) = d s K(t, s)x(s)∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )), ∀ x ∈ G − ([a, b], X), ∀ t ∈ [a, b]. La cual verifica:i) Φ está bien definida.ii) Φ es lineal y acotada.iii) Φ es biyectiva y además, ‖Φ[K]‖ = SV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )).En efecto: i) Por el Lema 3.2.1, parte i), el Teorema 3.2.1, y por el Teorema 3.2.2,parte ii), tenemos que Φ está bien definida.ii) La linealidad de Φ, se sigue, porque la integral de Dushnik es un operador lineal.Sean K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )), x ∈ G − ([a, b], X) con x ≠ 0 y t ∈ [a, b]. Entonces,[a,t]‖Φ[K]x(t)‖ = ‖F K[x](t)‖= ‖F ˜K[x](t)‖≤ SV u [ ˜K]= sup SV [a,t][K t ]‖x‖.t∈[a,b]

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 70Así, existe M > 0 tal queAdemás,‖Φ[K]‖ ≤ MSV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )).‖Φ[K]‖ = ‖F K‖ = ‖F ˜K‖= SV u [ ˜K] = sup SV [a,t][K t ] = SV u [K].t∈[a,b]De modo que, ‖Φ[K]‖ = SV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )).Finalmente, si F ∈ L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )] es un operador causal, entoncesF = F K, por el Teorema 3.2.3, parte ii).□Teorema 3.2.5 (Hönig [10], Teorema 2.4) Sean α ∈ SV ([a, b]; L(X, Z)),K ∈ G σ ·SV u ([c, d]×[a, b]; L(X, Y )) y x ∈ G([a, b]; X) [ x ∈ G σ ([a, b]; L(W, X) ] definimos∫F α[K](s) := dα(t) ◦ K(t, s) a ≤ s ≤ b.F K[x](t) :=[c,d]∫d s K(t, s)x(s) c ≤ t ≤ d.Entonces,[a,b]a) F α[K] ∈ SV ([a, b]; L(X, Z)) con SV [F α[K]] ≤ SV [α]SV u [K].[]b) F K[x] ∈ G([c, d], Y ) F K[x] ∈ G σ ([c, d]; L(W, Y )) con ‖F K[x]‖ ≤ SV u [K]‖x‖.c)∫d s[∫]dα(t) ◦ K(t, s) x(s) =∫[∫dα(t)]d s K(t, s)x(s) .[a,b][c,d][c,d][a,b]3.3. Existencia y unicidad de (K)La ecuación (K) podemos escribirla como Hx = x con H : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X)el operador definido porHx = u − F K[x], (3.7)donde F K∈ L[G([a, b]; X)] es compacto (ver J. Quintero [16] Teorema 2.3.2), dado por

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 71F K[x](t) =∫[a,t]d s K(t, s)x(s). (3.8)Teorema 3.3.1 (Existencia y unicidad)Sea D = {(t, s) : a ≤ t ≤ b y a ≤ s ≤ t}. Si K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X) y existe l ∈ R con0 < l < 1 tal que SV u [K] ≤ l, entonces para todo u ∈ G([a, b]; X) existe x u∈ G([a, b]; X)solución única de (K).Demostración. La ecuación (K) podemos escribirla comox = Hx, (3.9)donde H : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X) es definido como en (3.7), y verifica quea) Hx ∈ G([a, b]; X),b) H es un operador contracción.En efecto:a) Por el Teorema 2.2.1, F K[x] ∈ G([a, b]; X) y como u ∈ G([a, b]; X), Hx ∈ G([a, b]; X)y, además, Hx(a) = u(a).b) Sean x, y ∈ G([a, b]; X) y t ∈ [a, b]. Entonces,∫‖Hx(t) − Hy(t)‖ = ‖d s K(t, s)[x(s) − y(s)]‖[a,t]≤ SV [K t ]‖x − y‖≤ sup SV [K t ]‖x − y‖.t∈[a,b](Por el Teorema 3.1.1, parte a) ii))Luego,‖Hx(t) − Hy(t)‖ ≤ SV u [K]‖x − y‖ ≤ l‖x − y‖En consecuencia, H es una contracción.∀ x, y ∈ G([a, b]; X).Demostremos ahora que existe una única x u∈ G([a, b]; X) que verifica (3.9), es decir,H posee un único punto fijo. En nuestro caso, este punto es la única solución de la ecuación(3.9), para u ≠ 0 ésta es∫x(t) = Hx(t) = u(t) − d s K(t, s)x(s). (3.10)[a,t]

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 72Existencia:Utilizaremos el método de las aproximaciones sucesivas. Tomando un x 0 ∈ G([a, b]; X)y sustituyendo, en el segundo miembro de (3.10), la función x 0 en lugar de x, obtenemos∫x 1 (t) = u(t) − d s K(t, s)x 0 (s),[a,t]la función x 1 definida de este modo es también reglada en [a, b]. Continuando este procesoobtenemos la sucesión de funciones⎧x 0 (t),∫donde x n (t) = u(t) −⎪⎨ x 1 (t) = Hx 0 (t),x 2 (t) = Hx 1 (t) = H 2 x 0 (t),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·⎪⎩x n (t) = Hx n−1 (t) = H n x 0 (t),d s K(t, s)x n−1 (s) para n ≥ 1.(3.11)Afirmación 1[a,t](x n ) n≥1 es de Cauchy en G([a, b]; X).En efecto: Utilizando (3.11), y puesto que H es una contracción, resulta que‖x n+1 − x n ‖ = ‖Hx n − Hx n−1 ‖ ≤ l‖x n − x n−1 ‖ ≤ l 2 ‖x n−1 − x n−2 ‖ ≤ · · · ≤ l n ‖x 1 − x 0 ‖de donde, para p ≥ 1,‖x n+p − x n ‖ ≤ ‖x n+p − x n+p−1 ‖ + ‖x n+p−1 − x n+p−2 ‖ + · · · + ‖x n+1 − x n ‖≤ (l n+p + l n+p−2 + · · · + l n )‖x 1 − x 0 ‖( ∑p−1≤ l n l)‖x j 1 − x 0 ‖j=0Así,< ln1 − l ‖x 1 − x 0 ‖.‖x n+p − x n ‖ < ln1 − l ‖x 1 − x 0 ‖ para p ≥ 1, (3.12)

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 73tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (3.12),lím ‖x n+p − x n ‖ = 0 ∀ p ≥ 1.n→∞Como G([a, b]; X) es completo, existe x ∈ G([a, b]; X) tal queAfirmación 2x = límn→∞x n .x es un punto fijo de H.En efecto: Por ser H una contracción, resulta‖Hx − x n+1 ‖ = ‖Hx − Hx n ‖ ≤ l‖x − x 0 ‖,tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de la igualdad anterior, y por la unicidaddel límite,Hx = límn→∞x n = x.En consecuencia, x es un punto fijo de H.Unicidad:Sean x, x ∗ ∈ G([a, b]; X) tales que x = Hx y x ∗ = Hx ∗ . Entonces, suponiendo que‖x − x ∗ ‖ > 0,‖x − x ∗ ‖ = ‖Hx − Hx ∗ ‖ ≤ l‖x − x ∗ ‖ =⇒ l ≥ 1,pero esto es una contradicción, ya que l ∈ (0, 1).En consecuencia,x = x ∗ .□3.4. La resolvente de la ecuación (K)La ecuación (K) es equivalente a la ecuación de operadores(I + F K)[x] = u, (3.13)donde F K∈ L[G([a, b]; X)] es compacto (ver J. Quintero [16] Teorema 2.3.2). La cualnos permite dar una fórmula de representación para la resolvente a través del siguienteteorema.

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 74Teorema 3.4.1 Sea K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)). Consideremos F K∈ L[G([a, b]; X)], comoen (3.8), tal que existe l ∈ R con 0 < l < 1 ySV u [K] ≤ l.Entonces,(I + F K) −1 =∞∑n=0(−1) n F (n)K ,la cual converge absolutamente en L[G([a, b]; X)].Demostración. TenemosAsí,‖(−1) n F (n) ‖ ≤ ‖F KK ‖n< l n ∀ n ∈ N.‖(−1) n F (n)K ‖ < ln ∀ n ∈ N, (3.14)tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (3.14), lím ‖(−1) n F (n) ‖ = 0. Lon→∞ Kcual es equivalente aDe modo que, la serie∞∑n=0límn→∞ (−1)n F (n) = 0. (3.15)K‖(−1) n F (n)K∞ ‖ es convergente. Luego, la serie ∑(−1) n F (n)converge absolutamente en L[G([a, b]; X)] y, siendo este último un espacio de Banach,existe S ∈ L[G([a, b]; X)] tal queS =∞∑n=0(−1) n F (n)K .Para cada n ≥ 0, formemos las sumas parcialesentonces S = límn→∞S n .Por otro lado, para cada n ≥ 1,S n = I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n) ,K KKn=0K

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 75(I + F K)S n = (I − (−F K))S nDe donde,= (I − (−F K))(I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n)K K= I − F K+ F (2) − F (3)K K· · · + (−1) n F (n)KK )+ · · · + (−1)n F (n)K + F K − F (2)− (−1)(n+1) F (n+1)KK − · · ·= I − (−1) n+1 F (n+1)K= (I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n) )(I − (−F ))K KK K= S n (I + F K).(I + F K)S n = I − (−1) n+1 F (n+1)K= S n (I + F K). (3.16)Ahora, pasando el límite, cuando n → ∞, en (3.16), y utilizando (3.15)(I + F K) lím S n = I − lím (−1) n+1 F n+1 = lím Sn→∞ n→∞ Kn (I + Fn→∞K)Así,(I + F K)S = I = S(I + F K).S = (I + F K) −1 =∞∑n=0(−1) n F (n)K . □El siguiente resultado establece las condiciones para que el operador (I + F K), linealacotado, sea una aplicación abierta y tenga inverso acotado.Teorema 3.4.2 (Kreyszig [13] Teorema 4.12-2)Sean G([a, b]; X) un espacio de Banach y (I + F K) ∈ L[G([a, b]; X)]. Entonces,a) Si (I + F K) es sobreyectiva, entonces (I + F K) es abierta.b) Si (I + F K) es biyectiva, entonces (I + F K) −1 es continua (y por lo tanto acotada).El siguiente resultado nos proporciona un método de resolución de la ecuación (K) através de la resolvente. Aporte significativo para la teoría de ecuaciones integrales linealesde Volterra-Dushnik.

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 76Teorema 3.4.3 Sea u ∈ G([a, b]; X). Si K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)) y existe l ∈ R con0 < l < 1 tal que SV u [K] ≤ l, entonces existe una única R ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X))(la resolvente de (K)) tal que toda solución x ude (K) puede ser expresada como∫x u(t) = u(t) −donde el operador resolvente se determina mediante la serieR(t, s) =[a,t]d s R(t, s)u(s) a ≤ t ≤ b (3.17)∞∑(−1) (n) K (n+1) (t, s) (t, s) ∈ D, (3.18)n=0con K (n) ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)), llamados núcleos iterados y los cuales se obtienen recursivamentede la relación⎧⎪⎨⎪⎩K (1) (t, s)K (n+1) (t, s) == K(t, s),∫[s,t]Además, la solución x use puede escribir comod σ K(t, σ) ◦ K (n) (σ, s) ∀ n ≥ 1.x u= (I − F R)[u],donde F Restá dado por una serie de Neumann.Demostración. Por hipótesis, para cada u ∈ G([a, b]; X) la ecuación (K) tiene solución.Definiendo F K∈ L[G([a, b]; X)], como en (3.8), éste es un operador compacto. Así, laecuación (K) la podemos escribir(I + F K)[x] = u, (3.19)para todo x ∈ G([a, b]; X), donde (I + F K) : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X).Afirmación 1(I + F K) es biyectivo.En efecto: i) Veamos que (I + F K) es inyectivo.Sean x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X) tales que

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 77Luego,Por otro lado,(I + F K)[x 1 ] = (I + F K)[x 2 ]‖x 1 − x 2 ‖ = ‖F K[x 1 ] − F K[x 2 ]‖∫= ‖ d s K(t, s)[x 1 − x 2 ](s)‖[a,t]= límP∈P[a,b] ‖ n(P)∑[K t (s i ) − K t (s i−1 )][x 1 − x 2 ](ξi ∗ )‖i=1≤ SV u [K]‖x 1 − x 2 ‖.‖x 1 − x 2 ‖ ≤ l‖x 1 − x 2 ‖ =⇒ 0 < (1 − l)‖x 1 − x 2 ‖ ≤ 0.En consecuencia, (I + F K) es inyectivo.ii) Veamos que (I + F K) es sobreyectivo.‖x 1 − x 2 ‖ = 0 ⇐⇒ x 1 = x 2 .En efecto: Sea u ∈ G([a, b]; X), por hipótesis existe un único x ∈ G([a, b]; X) tal quex = Tx =⇒ (I + F K)[x] = u.En consecuencia, (I + F K) es sobreyectivo.De modo que, la aplicaciónG([a, b]; X) ∋ x ↦−→ u = (I + F K)[x] ∈ G([a, b]; X),es continua biyectiva. El Teorema 3.4.2, asegura que existe una correspondencia continuabiyectiva entre la solución x uy la función u, ésta es,G([a, b]; X) ∋ u ↦−→ x u= (I + F K) −1 [u] ∈ G([a, b]; X).Así, podemos expresar la solución de (3.19) comox u= R[u],donde R = (I + F K) −1 : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X),es llamado el operador resolvente de F Ky verifica que1) R es lineal.

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 782) R es acotado.En efecto: 1) Dados u 1 , u 2 ∈ G([a, b]; X) y α, β ∈ C, demostremos queR[αu 1 + βu 2 ] = αR[u 1 ] + βR[u 2 ].Como u 1 , u 2 ∈ G([a, b]; X), existen x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X) tales que(I + F K)[x 1 ] = u 1(I + F K)[x 2 ] = u 2 .Por otro lado, como αu 1 + βu 2 ∈ G([a, b]; X) y la solución de(I + F K)[x] = αu 1 + βu 2 ,está dada por, R[αu 1 + βu 2 ] = x y x = αx 1 + βx 2 , resulta que2) R es acotado.R[αu 1 + βu 2 ] = αx 1 + βx 2= αR[u 1 ] + βR[u 2 ].En efecto: Se sigue del Teorema 3.4.2, parte b).Por otro lado, la solución de la ecuación (3.13) corresponde al único punto fijo deloperador contráctil H, que obtuvimos como el límite de la sucesión (x n ) n≥0 dada en(3.11), para cualquier x 0 inicial.Si elegimos x 0 = 0, tenemosx 1 = ux 2 = u − F K[u],x 3 = u − F K[u] + F (2) [u], Kx 4 = u − F K[u] + F (2) (3)[u] − F [u],K K· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·x n = u − F K[u] + F (2) (3)[u] − F [u] + · · · + (−1)n−1 F (n−1) [u],K KK· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·por lo tanto, la solución x de (3.13) para u ∈ G([a, b]; X), arbitrario, corresponde al límitede la serie, esto esx =∞∑n=0(−1) n F (n)K[u] = límn∑n→∞m=0(−1) (m) F (m)K[u],

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 79cuya convergencia está garantizada, porque existe l ∈ R con 0 < l < 1 tal queSV u [K] ≤ l.De ésta expresión, surge que, el operador resolvente del operador F Kes el límite deuna serie de operadores, es decirR =∞∑n=0(−1) (n) F (n)K= límn→∞m=0n∑(−1) (m) F (m)converge en L[G([a, b]; X)] y coincide con el desarrollo de (I +F K) −1 en serie de potencias.∑En efecto: Queremos demostrar que R = lím S n , con S n = n (−1) (m) F (m).n→∞ Km=0Sea u ∈ G([a, b]; X), con ‖u‖ ≤ 1,K ,‖(R − S n )[u]‖ = ‖(R −Luego,n∑m=0(−1) (m) F (m)K)[u]‖= ‖x − x n+1 ‖ (x es solución de (3.13))≤ ln+11 − l ‖x 1 − x 0 ‖ (al tomar límite, cuando p → ∞ en (3.12))≤ ln+11 − l ‖u‖ (porque x 1 = u y x 0 = 0)≤ ln+11 − l‖R − S n ‖ =supu∈G([a,b];X)‖u‖≤1(‖u‖ ≤ 1).‖(R − S n )[u]‖ ≤ ln+11 − l ,tomando el límite en la desigualdad anterior, cuando n → ∞, obtenemos quelím ‖R − S n‖ = 0 ⇐⇒ R = límn→∞ n→∞Ahora, por el Teorema 3.4.1, tenemos(I + F K) −1 =∞∑n=0n∑(−1) (m) F (m)m=0(−1) n F (n)K ,K .

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 80de esto, y de la ecuación (3.19), resultadonde F (n)Kx u= (I + F K) −1 [u], (3.20)∞∑x u(t) = (−1) (n) F (n) [u](t),Kn=0x u(t) = u(t) +∞∑n=1(−1) (n) F (n)K[u](t), (3.21)es compacto (ver J. Quintero [16] Teorema 2.3.5), está definido por∫F (n) [u](t) = K[a,t]d s K (n) (t, s)u(s) = FK[u](t). (3.22)(n)Tal operador está asociado a K (n) ∈ G σ o · SV u (D; L(X)), donde⎧⎪⎨⎪⎩K (1) (t, s) = K(t, s),K (n) (t, s) =∫[s,t]d σ K(t, σ) ◦ K (n−1) (σ, s) ∀ n ≥ 2.Luego, sustituyendo (3.22) en (3.15), la solución podemos escribirla en la formax u(t) = u(t) +[a,t]∞∑∫(−1) (n)n=1[a,t]d s K (n) (t, s)u(s).Ahora, por el Teorema 2.1.4, parte ii),∫ [ ∞]∑x u(t) = u(t) − d s (−1) (n−1) K (n) (t, s) u(s), (3.23)y la función R(t, s) está determinada porR(t, s) =n=1∞∑(−1) (n) K (n+1) (t, s). (3.24)n=0La cual llamaremos Resolvente de la ecuación integral (K), siendo la serie en (3.24)convergente en G σ 0 · SV u (D; L(X)).Sustituyendo la resolvente de (3.24) en (3.23),

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 81∫x u(t) = u(t) −d s R(t, s)u(s),ecuación que podemos reescribir como[a,t]x u= (I − F R)[u]. (3.25)Luego, de (3.14) y (3.19), resulta que (I + F K) y (I − F R) son inversas una de la otra,de modo que(I − F R) = (I + F K) −1 =Por lo tanto,∞∑n=0(−1) (n) F (n)K=⇒ I − F = I + ∑ ∞(−1) (n) F (n)Rn=1K .∑ ∞F R= (−1) −1 (−1) (n) F (n)F R=∞∑n=1n=1(−1) (n−1) F (n)KK∞ = ∑(−1) (n−1) F ,K (n)esto es, el operador F Rdefinido por la resolvente está dado como una serie de Neumann.□n=1

Capítulo 4Algunas aplicaciones de la ecuaciónintegral lineal de Volterra-Dushnik4.1. Operador adjunto de F K∈ L[G − ([a, b]; X)].El Teorema 3.1.2, de representación integral, asegura que BV a ([a, b]; X ′ ) ∼ = (G − ([a, b]; X)) ′y, además, permite de forma natural asociar al operador F K∈ L[G − ([a, b]; X)] el operadoradjunto F ∗ K ∈ L[BV a([a, b]; X ′ )]. A continuación definimos el operador F ∗ K :Para esto, sea y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y consideremos ϕ y: G − ([a, b]; X) → F dado porϕ y(x) = (yF K)[x]∀ x ∈ G − ([a, b]; X),equivalente a〉 〈x, ϕ y=〈 〉F K[x], y∀ x ∈ G − ([a, b]; X),que verifica:i) ϕ yes lineal.ii) ϕ yes acotado.En efecto: i) Sean x 1 , x 2 ∈ G − ([a, b]; X) y α 1 , α 2 ∈ F. Entonces,α 1 x 1 + α 2 x 2 ∈ G − ([a, b]; X).82

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 83Así,〈〉ϕ y(α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = F K[α 1 x 1 + α 2 x 2 ], y〈〉= α 1 F K[x 1 ] + α 2 F K[x 2 ], y= y(α 1 F K[x 1 ] + α 2 F K[x 2 ])(por ser F Klineal)= α 1 yF K[x 1 ] + α 2 yF K[x 2 ] (por ser y lineal)= α 1 ϕ y(x 1 ) + α 2 ϕ y(x 2 ). (por la definición de ϕ y)En consecuencia, ϕ yes lineal.ii) Sea x ∈ G − ([a, b]; X),|ϕ y(x)| = |yF K[x]|≤ ‖y‖‖F K[x]‖≤ ‖y‖‖F K‖‖x‖.(por ser y acotada)(por ser F Kacotada)Tomando c y= ‖y‖‖F K‖ > 0 tenemos|ϕ y(x)| ≤ c y‖x‖ ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).Se sigue que, ϕ yes acotada.Ahora, definimos F ∗ : BV Ka([a, b]; X ′ ) −→ BV a ([a, b]; X ′ ) porF ∗ [y] = ϕ K y∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ).Lo cual es equivalente ao bien equivalente a(yF K)[x] = ϕ y(x) ∀ x ∈ G − ([a, b]; X),(yF K)[x] = F ∗ K [y](x) ∀ y ∈ BV a([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X), (4.1)o equivalente a〈 〉 〉F K[x], y =〈x, F ∗ [y] K∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).El operador F ∗ K recibe el nombre de operador adjunto de F K .Los siguientes resultados son consecuencia del Teorema de Hahn-Banach.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 84Teorema 4.1.1 Sean (G − ([a, b]; X); ‖ ‖) un espacio normado y M un subespacio vectorialde G − ([a, b]; X). Si F K[x 0 ] ∈ G − ([a, b]; X), x 0 ∈ G − ([a, b]; X), verifica qued = d(F K[x 0 ], M) = ínfy∈M ‖y − F K [x 0]‖ > 0,entonces existe y ∈ L[G − ([a, b]; X); F] tal quea) ‖y‖ = 1,b) y(F K[x 0 ]) = d,c) y(F K[x]) = 0 F K[x] ∈ M ∀ x ∈ M.Demostración. Por hipótesis d(F K[x 0 ], M) > 0, entonces F K[x 0 ] /∈ M.Consideremos W = M ⊕ {λF K[x 0 ] : λ ∈ R} y definamos J : W −→ F porel cual cumplei) J está bien definido.ii) J es lineal.iii) J(F K[x 0 ]) = d.iv) J(m) = 0 ∀ m ∈ M.J(m + λF K[x 0 ]) = λd,En efecto: i) De la unicidad de la representación de los elementos en W, se sigue queJ está bien definido.ii) Sean w 1 , w 2 ∈ W y α, β ∈ F, veamos que J(αw 1 + βw 2 ) = αJ(w 1 ) + βJ(w 2 ).Como w 1 , w 2 ∈ W, entoncesw 1 = m + λ 1 F K[x 0 ] =⇒ αw 1 = αm + (αλ 1 )F K[x 0 ]w 2 = m + λ 2 F K[x 0 ] =⇒ βw 2 = βm + (βλ 2 )F K[x 0 ],de donde,αw 1 + βw 2 = (α + β)m + (αλ 1 + βλ 2 )F K[x 0 ] ∈ W.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 85Así,J(αw 1 + βw 2 ) = J(z + (αλ 1 + βλ 2 )F K[x 0 ]) (z = (α + β)m ∈ M)= (αλ 1 + βλ 2 )d= αJ(m + λ 1 F K[x 0 ]) + βJ(m + λ 2 F K[x 0 ])= αJ(w 1 ) + βJ(w 2 ).Esto prueba que J es lineal.iii) Tomando m = 0 y λ = 1, se tiene que J(F K[x 0 ]) = d.iv) Tomando λ = 0, resulta J(m) = 0 ∀ m ∈ M.Veamos ahora que ‖J‖ = 1.Sea w = m + λF K[x 0 ] un elemento de W. Entonces,1 er caso: si λ = 0 y m = 0, se sigue que w = m y|J(w)| = 0 ≤ ‖w‖ =⇒ |J(w)| ≤ ‖w‖.2 do caso: si λ ≠ 0, entoncesw = λ( m λ + F [x K 0]) = −λ(− m λ − F [x K 0]).Como − m λ∈ M y de la definición de J, resulta|J(w)| = |λ|d ≤ |λ|‖ − m λ − F [x K 0]‖ = ‖ m λ + F [x K 0]‖ = ‖w‖.Por lo tanto, |J(w)| ≤ ‖w‖.De los casos 1 er y 2 do se prueba que|J(w)| ≤ ‖w‖ ∀ w ∈ W.Esto es, J acotado en W y, además,‖J‖ ≤ 1 ∀ w ∈ W. (4.2)Por otro lado, de la definición de d, para todo ǫ > 0, existe w 0 ∈ W tal que‖w 0 − F K[x 0 ]‖ < d + ǫ.Ahora, si consideramos z = w 0−F K [x 0 ]‖w 0 −F K [x 0 ]‖tal que ‖z‖ = 1 y

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 86se tiene que ‖J‖ ≥d . d+ǫdd + ǫ ≤d‖w 0 − F K[x 0 ]‖ = |J(z)|,Del hecho de que la desigualdad anterior es válida, para todo ǫ > 0, se tiene queEn conclusión, de (4.2) y (4.3), resulta ‖J‖ = 1.‖J‖ ≥ 1 ∀ w ∈ W. (4.3)Así, tenemos W un subespacio vectorial de G − ([a, b]; X) y J : W −→ F un funcionallineal, acotado, con ‖J‖ = 1. Consideremos p : G − ([a, b]; X) −→ R definido portal que verificap(x) = ‖x‖∀ x ∈ G − ([a, b]; X),a) p(αx) = |α|p(x) ∀ x ∈ G − ([a, b]; X) y ∀ α ∈ F.b) p(x + z) ≤ p(x) + p(z) ∀ x, z ∈ G − ([a, b]; X).c) |J(x)| ≤ p(x) ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).Se sigue ahora, por el Corolario A.4.1, la existencia de y ∈ L[G − ([a, b]; X); F] tal que•) y extiende a J.••) ‖y‖ = ‖J‖ = 1.En particular, y(F K[x]) = 0 con F K[x] ∈ M ∀ x ∈ M y y(F K[x 0 ]) = d.□Corolario 4.1.1 Sean (G − ([a, b]; X); ‖ ‖) un espacio normado y F K[x 0 ] ∈ G − ([a, b]; X)con F K[x 0 ] ≠ 0, x 0 ∈ G − ([a, b]; X). Entonces, existe y ∈ L[G − ([a, b]; X); F] tal quea) ‖y‖ = 1,b) y(F K[x 0 ]) = ‖F K[x 0 ]‖.Demostración. Consideremos M = {0}, por lo tanto F K[x 0 ] ∉ M y, además,d(F K[x 0 ]; M) = ‖F K[x 0 ]‖ = d > 0.Luego, por el Teorema 4.1.1, existe y ∈ L[G − ([a, b]; X); F] tal quea) ‖y‖ = 1,

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 87b) y(F K[x 0 ]) = d.En consecuencia, y(F K[x 0 ]) = ‖F K[x 0 ]‖.□Teorema 4.1.2 Sean K ∈ G σ o · SV u (D; L(X)) y F K∈ L[G − ([a, b]; X)]. Entonces,F ∗ K ∈ L[BV a([a, b]; X ′ )] y ‖F ∗ K ‖ = ‖F K ‖.Demostración. Veamos en primer lugar que F ∗ Kes lineal y acotado.F ∗ Kes lineal.En efecto: Sean y 1 , y 2 ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y λ 1 , λ 2 ∈ F, queremos demostrar queF ∗ K [λ 1y 1 + λ 2 y 2 ](x) = λ 1 F ∗ K [y 1](x) + λ 2 F ∗ K [y 2]Sea x ∈ G − ([a, b]; X),∀ x ∈ G − ([a, b]; X).F ∗ [λ K1y 1 + λ 2 y 2 ](x) = (λ 1 y 1 + λ 2 y 2 )F K[x]= λ 1 y 1 F K[x] + λ 2 y 2 F K[x]= λ 1 (y 1 F K)(x) + λ 2 (y 2 F K)(x)= λ 1 F ∗ [y K1](x) + λ 2 F ∗ [y K2](x).F ∗ Kes acotado.En efecto: Por definicióndonde ‖F ∗ K [y]‖ =supx∈G − ([a,b];X)‖x‖=1‖F ∗ K ‖ =‖F ∗ K [y](x)‖ =‖y(F K[x])‖ ≤ ‖y‖‖F K[x]‖ ≤ SV [K]‖x‖supy∈BV a([a,b];X ′ )‖y‖=1supx∈G − ([a,b];X)‖x‖=1‖F ∗ K [y]‖,‖y(F K[x])‖ ≤ SV [K] ∀x ∈ G − ([a, b]; X) con ‖x‖ = 1.‖y(F K[x])‖, y como∀x ∈ G − ([a, b]; X) con ‖x‖ = 1, resulta quePor lo tanto, ‖F ∗ K [y]‖ ≤ SV [K] ∀y ∈ BV a([a, b]; Y ′ ) con ‖y‖ = 1, de donde‖F ∗ ‖ ≤ SV [K] = ‖F ‖. Así, ‖F K K∗ K ‖ ≤ ‖F K ‖.En consecuencia, F ∗ es lineal y acotado.K

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 88Para demostrar que ‖F ∗ ‖ = ‖F ‖. Probemos que ‖F ‖ ≤ ‖F ∗ ‖. Lo cual es equivalentea ‖F KK K K K[x]‖ ≤ ‖F ∗ ‖‖x‖ ∀ x ∈ G− ([a, b]; X) con x ≠ 0.KSea x ∈ G − ([a, b]; X) con x ≠ 0. Entonces, F K[x] ∈ G − ([a, b]; X) con F K[x] ≠ 0,así, por el Corolario 4.1.1, existe y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) tal quePor lo tanto,‖y‖ = 1 y y(F K[x]) = ‖F K[x]‖.‖F ∗ K [x]‖ = y(F K [x])Luego,Así,= F ∗ [y](x) (por (4.1))K≤ ‖F ∗ [y](x)‖K≤ ‖F ∗ K [y]‖‖x‖≤ ‖F ∗ K ‖‖y‖‖x‖ = ‖F ∗ K ‖‖x‖.‖F K[x]‖‖x‖≤ ‖F ∗ K ‖ ∀ x ∈ G− ([a, b]; X) con x = 0.‖F ∗ K ‖ =lo cual implica que ‖F K‖ ≤ ‖F ∗ K ‖.sup ‖F K[x]‖x∈G − ([a,b];X) ‖x‖x̸=0≤ ‖F ∗ K ‖,En consecuencia, ‖F K‖ = ‖F ∗ K ‖. □Teorema 4.1.3a) Sean K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) para todo x ∈ G([a, b]; X) yy ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), resulta∫〈d s[ ∫] 〉K(t, s) ∗ dy(t) , x(s) =∫〈 ∫dy(t),〉d s K(t, s)x(s) .[a,t][s,b][s,b][a,t]b) Si F K∈ L[G − ([a, b]; X)] es definido por K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )),entonces el operador adjunto F ∗ ∈ L[BV Ka([a, b]; X ′ )] es definido por∫F ∗ [y](s) := K(t, s) ∗ dy(t).K[a,s]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 89Demostración.a) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) ∼ = SV a ([a, b]; L(X, C)), x ∈ G([a, b]; X). Entonces, por elTeorema 3.2.5, parte c), tenemos∫〈 ∫dy(t),〉d s K(t, s)x(s) =∫dy(t)[ ∫d s K(t, s)x(s)][s,b][a,t]=[s,b]∫d s[ ∫[a,t]]dy(t) ◦ K(t, s) x(s).[a,t][s,b]Si denotamos∫K(t, s) ∗ dy(t) =∫dy(t) ◦ K(t, s),[s,b][s,b]entonces el operador integral de núcleo K ∗ viene dado por˜F K ∗[y](s) =∫[s,b]K(t, s) ∗ dy(t).Así,∫〈d s[ ∫] 〉K(t, s) ∗ dy(t) , x(s) =∫〈 ∫dy(t),〉d s K(t, s)x(s) .[a,t][s,b][s,b][a,t]b) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G([a, b]; X).Pasemos a calcular el adjunto del operador F K.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 90〈 〉F K[x], y= yF K[x]∫=〈dy(t), F K[x](t)〉=[a,b]∫〈 ∫dy(t),〉d s K(t, s)x(s)=[a,b]∫[a,t][ ∫ ]dy(t) d s K(t, s)x(s)=[a,b]∫dy(t)[a,t][ ∫d s K(t, s)x(s)]==[s,b]∫[a,t]∫d s[ ∫[s,b]d s[ ∫[a,t]]dy(t) ◦ K(t, s) x(s)]K(t, s) ∗ dy(t) x(s)=[a,t]∫[s,b]d t[ ∫]K(t, s) ∗ dy(s) x(t)==[s,b]∫[a,b]∫[a,t]d t[ ∫[a,t]〈 ∫d s [K(t, s) ∗ dy(s)]x(t)〉K(t, s) ∗ dy(t)], x(s)=[a,b]∫[a,t]〈d t F ∗ K [y](t), x(t) 〉[a,b]= F ∗ [y](x) K〉=〈x, F ∗ [y] .KPor lo tanto, el operador integral de Volterra-Dushnik, adjunto de F K[x], es definidoporF ∗ K : BV a([a, b]; X ′ ) −→ BV a ([a, b]; X ′ )

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 91F ∗ K [y](t) := ∫[a,t]K(t, s) ∗ dy(t)∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) ∀ t ∈ [a, b],donde K(t, s) ∗ ∈ L(X ′ ) es el operador transpuesto de K(t, s) ∈ L(X).□Las propiedades que veremos a continuación nos serán de ayuda en la resolución de laecuación adjunta a (K).Teorema 4.1.4 Sean K ∈ G σ · SV u (D; L(X)), F0 K∈ L[G − ([a, b]; X)], el operador deVolterra-Dushnik e I ∈ L[G − ([a, b]; X)] operador identidad. Entonces,a) I ∗ = I,b) (I + F K) ∗ = I + F ∗,Kc) Si (I + F K) ∈ L[G − ([a, b]; X)] es invertible, entoncesc 1 )c 2 )() ∗ ( ) ∗,(I + F K) −1 (I + F K) = (I + FK ) ∗ (I + F K) −1[ ] ∗(I + F K) −1 = (I + F∗)−1 .KDemostración.a) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). TenemosI[y](x) = y(x)= y(I[x])= (yI)[x]= I ∗ [y](x).Luego,(I − I ∗ )[y](x) = 0 ∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, I ∗ = I.b) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). Entonces,

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 92(I + F K) ∗ [y](x) = (y(I + F K))[x]= (yI + (yF K))[x]= (yI)[x] + (yF K)[x]= I ∗ [y](x) + F ∗ [y](x) K= I[y](x) + F ∗ [y](x) ( ya que I∗ = I)K= (I + F ∗ )[y](x).KLuego,((I + F K) ∗ − (I + F ∗ K ) )[y](x) = 0∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, (I + F K) ∗ = (I + F ∗ K ).c) c 1 ) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X).〈〉)[ ](I + F K) −1 (I + F K)[x]; y =(y(I + F K) −1 (I + F K)[x]) ∗[y] ( )=((I + F K) −1 (I + F K)[x]〈) ∗[y] 〉= (I + F K)[x];((I + F K) −1(( ) ∗[y](I )= (I + F K) −1 + FK ) [x][( ) ∗[y]= (I + F K) ∗ (I + F K)][x]−1) ∗[y](x),= (I + F K)((I ∗ + F K) −1de donde,〈〉 ( ) ∗[y](x).(I + F K) −1 (I + F K)[x]; y = (I + F K) ∗ (I + F K) −1 (4.4)Por otro lado,〈〉 ()(I + F K) −1 (I + F K)[x]; y = y(I + F K) −1 (I + F K) [x](∗[y](x).= (I + F K) −1 (I + F K))

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 93Así,〈〉 (∗[y](x).(I + F K) −1 (I + F K)[x]; y = (I + F K) −1 (I + F K))(4.5)Luego, de (4.4) y (4.5), tenemos que( ( ) ∗ ( ) ∗(I + F K) −1 (I + F K) − (I + FK ) ∗ (I + F K))[y](x) −1 = 0,∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ),∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia,() ∗ ( ) ∗.(I + F K) −1 (I + F K) = (I + FK ) ∗ (I + F K) −1c 2 ) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). Entonces,(I + F K) −1 (I + F K)[y](x) = I[y](x)= I ∗ [y](x) (usando a))(∗[y](x)= (I + F K) −1 (I + F K))= (I + F K) ∗ ((I + F K) −1 ) ∗[y](x).(usando c1 ))Luego,I ∗ [y](x) = (I + F K) ∗ ((I + F K) −1 ) ∗[y](x)∀ y ∈ BVa ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).Así,( ) ∗(I + F K) ∗ (I + F K) −1 = I∗) ∗ ( ) −1I ((I + F K) −1 = (I + F K) ∗ ∗) ∗ (((I + F K) −1 = I + F ∗ K) −1.□

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 944.1.1. La resolvente de la ecuación (K ∗ )La ecuación adjunta a la ecuación (K) es∫(K ∗ ) y(s) + K(t, s) ∗ dy(t) = v(s)s ∈ [a, b],[a,s]donde y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) es una función incógnita, v ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) es una funciónconocida y el operador adjunto F ∗ ∈ L[BV Ka([a, b]; X ′ )] está definido por∫F ∗ [y](s) = K(t, s) ∗ dy(s) ∀ s ∈ [a, b], ∀ y ∈ BVK a ([a, b]; X ′ ),[a,s]con K(t, s) ∗ operador transpuesto de K(t, s) ∈ L(X).Teorema 4.1.5 Sea K ∈ G σ · SV u (D; L(X)). Entonces, para cada v ∈ BV0 a ([a, b]; X ′ )existe y v ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) solución única de (K ∗ ), dada por∫y v (s) = v(s) − R(t, s) ∗ dv(t) a ≤ s ≤ b.[a,s]Demostración. Podemos reescribir la ecuación (K ∗ ) como(I + F ∗ )[y] = v.KAsí, para todo u ∈ G([a, b]; X), tenemos que〉 〈 〉〈x u, y + F ∗ [y] = xK u, v . (4.6)Por otro lado, 〈 〉 〈 〉u, y = x u+ F K[x u], y , (4.7)y 〈 〉〉x u+ F K[x u], y =〈x u, y + F ∗ [y] . (4.8)KLuego, de (4.6), (4.7) y (4.8), obtenemos〈 〉 〈 〉u, y = x u+ F K[x u], y =〈 〉x u, v ,y en virtud del Teorema 3.2.2,x u= u − F R[u].Así, 〈 〉 〈 〉u, y = u − F R[u], v , (4.9)

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 95además,Y, por (4.9) y (4.10),〈 〉〉u, y =〈u, v − F ∗ [v] REsto es,〈 〉〉u − F R[u], v =〈u, v − F ∗ [v] . (4.10)R∀ u ∈ G − ([a, b]; X).yu − (v − F ∗ [v])(u) = 0R ∀ u ∈ ([a, b]; X), G−(y − (v − F ∗ [v]))u = 0 R ∀ u ∈ ([a, b]; X). G−En consecuencia, y v = v − F ∗ [v]. Lo cual es equivalente aR∫y v (s) = v(s) − R(t, s) ∗ dv(t) s ∈ [a, b].[a,s]□4.2. Teoría de semigruposDado X un espacio de Banach. Consideremos la ecuación diferencial⎧⎪⎨⎪⎩d ±dt v(t) = Av(t) + u(t± ) 0 ≤ t ≤ r,v(0) = 0,(4.11)donde r ∈ (0, +∞) y u : [0, r] −→ X es una función reglada conocida y A el generadorinfinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo {T(t)} t≥0 , de operadores lineales,acotados de X en X. Una función v : [0, r] −→ X es una solución clásica de la ecuacióndiferencial (4.11) si verifica:i) v es continua y diferenciable en [0, r], con v(t) ∈ D(A), para todo t ∈ [0, r].ii) v satisface la ecuación diferencial (4.11).El objetivo de esta sección es demostrar que la función v : [0, r] −→ X definida por∫v(t) := T(t − s)u(s)ds ∀ t ∈ [0, r],[0,t]es { solución } de la ecuación diferencial (4.11) si, y sólo si, el semigrupo fuertemente continuoT(t) es de semivariación acotada.t≥0

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 964.2.1. Semigrupos fuertemente continuosDefinición 4.2.1 Una familia{ }T(t)t≥0de operadores lineales acotados, de X en X, esun semigrupo fuertemente continuo si satisface las siguientes condicionesi) T(0) = I,ii) T(t + s) = T(t)T(s) para todo t, s ∈ R + ,iii) para todo x ∈ X, T(t)x es fuertemente continua en t 0 = 0, esto es,lím ‖T(t)x − x‖ = 0.t→0 +Además, si lím ‖T(t) − I‖ = 0, es decir, la aplicación [0, +∞) ∋ t ↦→ T(t) ∈ L(X)t→0 +{ }es continua en t 0 = 0 con la topología uniforme de L(X), entonces T(t) es llamadosemigrupo de operadores uniformemente continuo.t≥0Ejemplo 4.1 (Curtain and Zwart [2], Ejemplo 2.1.3) Sean A ∈ L(X) y la aplicaciónT : R + −→ L(X) definida comoEntonces,a) e At := ∞ ∑b){ }T(t)n=0t≥01n! (At)n .T(t) := e At ∀ t ∈ R + .es un semigrupo fuertemente continuo.{ }Teorema 4.2.1 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo en X. Entonces,t≥0{ }i) La familia T(t) está acotada sobre subintervalos acotados de [0, +∞).t≥0ii) El operador T(t) es fuertemente continuo, para todo t ∈ [0, +∞).{ }Demostración. i) Probemos que T(t) es acotado en un subintervalo acotado det≥0[0, +∞), esto es, que existen δ > 0 y M ≥ 1 tales que‖T(t)‖ ≤ M ∀ t ∈ [0, δ]. (4.12)

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 97Supongamos que para todo δ > 0 y M ≥ 1De modo que para‖T(t)‖ > MM = 1 y δ = 1 existe t 1 ∈ (0, 1) tal quepara algún t ∈ [0, δ].‖T(t 1 )‖ > 1M = 2 y δ = 1 2 existe t 2 ∈ (0, 1 2 ) con 0 < t 2 < t 1 < 1 tal que‖T(t 2 )‖ > 2M = 3 y δ = 1 3 existe t 3 ∈ (0, 1 3 ) con 0 < t 3 < t 2 < t 1 < 1 tal que‖T(t 3 )‖ > 3.....................................................................................................M = n y δ = 1 n existe t n ∈ (0, 1 n ) con 0 < t n < · · · < t 3 < t 2 < t 1 < 1 tal que‖T(t n )‖ > n......................................................................................................Así, hemos construido una sucesión (t n ) n≥1 ⊂ (0, +∞) con t n −−−→n→∞‖T(t n )‖ > n ∀ n ≥ 1,0+ tal quen≥1entonces, por el contrarecíproco del Teorema A.4.2 de Banach-Steinhaus, existe un x ∈ Xtal que‖T(t n )x‖ > n ∀ n ≥ 1,{ }es decir, existe un x ∈ X tal que T(t n )x no es acotada, pero esto es una contradicción,ya que, para { todo } x ∈ X, T(t)x es fuertemente { continuo } en t 0 = 0, así, para todox ∈ X tal que T(t)x es acotado , por lo que T(t) es acotado en [0, δ].t≥0Ahora, dado que T(0) = I, tenemos por (4.12) que M ≥ 1.Por otro lado, dado t ≥ 0 existen m ∈ N y τ ∈ [0, δ) tales que t = mδ + τ, de donde,t≥0‖T(t)‖ = ‖T(mδ + τ)‖= ‖T m (δ)T(τ)‖ (por la Definición 4.2.1, parte ii))≤ ‖T m (δ)‖‖T(τ)‖≤ ‖T(δ)‖ m ‖T(τ)‖ (ya que ‖T m (δ)‖ ≤ ‖T(δ)‖ m )≤ M m M = M m+1 (por (4.12))≤ MM t/δ .(ya que m ≤ t/δ)

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 98Luego, como m ≤ t δ , y M ≥ 1, tomando w := 1 δ log[M] ≥ 0 tenemos ew = M 1/δ .Así,‖T(t)‖ ≤ Me wt ∀ t ≥ 0. (4.13)ii) Para cada x ∈ X, la función φ x : [0, +∞) −→ X definida porφ x (t) = T(t)x∀ t ∈ [0, +∞)es continua.En efecto: Sea s ∈ [0, +∞). Para cada x ∈ X, queremos probar quelím ‖φ x (t) − φ x (s)‖ = 0, equivalente a lím ‖φ x (s + h) − φ x (s)‖ = 0.t→s h→0Para cada h > 0,‖φ x (s + h) − φ x (s)‖ = ‖T(s + h)x − T(s)x‖= ‖T(s)T(h)x − T(s)x‖ (por la Definición 4.2.1, parte ii))≤ ‖T(s)‖‖T(h)x − x‖De modo que, para cada h > 0≤ Me ws ‖T(h)x − x‖. (por (4.13))‖φ x (s + h) − φ x (s)‖ ≤ Me ws ‖T(h)x − x‖, (4.14)tomando el límite, cuando h → 0 + , en ambos lados de (4.14),de donde,0 ≤ lím ‖φ x(s + h) − φ x (s)‖ ≤ Me ws lím ‖T(h)x − x‖ = 0,h→0 + +h→0Ahora, para cada −h < 0,límh→0 + ‖φ x(s + h) − φ x (s)‖ = 0. (4.15)‖φ x (s − h) − φ x (s)‖ = ‖T(s − h)x − T(s)x‖= ‖T(s − h)x − T(s)T(0)x‖ (por la Definición 4.2.1, parte i))= ‖T(s − h)x − T(s)T(−h + h)x‖= ‖T(s − h)x − T(s)T(−h)T(h)x‖ (por Definición 4.2.1, parte ii))= ‖T(s − h)x − T(s − h)T(h)x‖≤ ‖T(s − h)‖‖T(h)x − x‖≤ Me s−h ‖T(h)x − x‖. (por (4.13))

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 99Así, para cada −h < 0,‖φ x (s − h) − φ x (s)‖ ≤ Me s−h ‖T(h)x − x‖, (4.16)tomando el límite, cuando h → 0 − , en ambos lados de (4.16),0 ≤ lím ‖φ x(s − h) − φ x (s)‖ ≤ Me s lím ‖T(h)x − x‖ = 0.h→0 − h→0− Por consiguiente,Luego, de (4.15) y (4.17),lím ‖φ x(s − h) − φ x (s)‖ = 0. (4.17)h→0 −lím ‖φ x(s + h) − φ x (s)‖ = 0.h→0En consecuencia, lím φ x (t) = φ x (s).t→sEsto demuestra que T(t) es fuertemente continuo.4.2.2. Integral de Cauchy-Riemann de un semigrupo uniformementecontinuo{ }Definición 4.2.2 Dado T(t) ⊂ L(X) un semigrupo uniformemente continuo (est≥0decir, T ∈ C([0, r]; L(X)) ⊂ G([0, r]; L(X))), definimos la integral de Cauchy-Riemannde T sobre [0, r] como∫∫T(t)dt = lím S n (t)dt,n→∞[0,r][0,r]donde (S n ) n≥1 ⊂ E([0, r]; L(X)) tal que lím S n (t) = T(t)n→∞condiciones:∫a) T(t)dt ∈ L(X).□∀ t ∈ [0, r], con las siguientes[0,r]b) Si{ }T 1(t)entoncest≥0y{ }T 2(t) son semigrupos uniformemente continuos y A ∈ L(X),t≥0∫ [ ] ∫ ∫AT 1 (t) + T 2(t) dt = A T 1(t)dt + T 2(t)dt.[0,r][0,r][0,r]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 100c) Para todo t ≥ 0,1límρ→0 ρ∫[t,t+ρ]T(s)ds = T(t).4.2.3. El generador infinitesimal de un semigrupo fuertementecontinuoDefinición 4.2.3 Sea{ }T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X. Para todo t > 0 definimos el operador lineal A t porConsideremos el subespacioA t x := 1 [T(t) − I]x ∀ x ∈ X.tD(A) :={}x ∈ X : lím A tx existe ,t→0 +y definamos el operador lineal (no necesariamente continuo) A : D(A) −→ X medianteAx := límt→0 + A tx.El operador A es { llamado } el Generador infinitesimal del semigrupo fuertementecontinuo T(t) .Observación 4.1t≥01) En la definición anterior, es un abuso decir que A es un operador, pues no sabemosque D(A) sea denso en X, propiedad que demostramos más adelante.2) La definición de generador infinitesimal A de un semigrupo fuertemente continuoproporciona una manera de calcular A.Ejemplo 4.2 (Curtain and Zwart [2], Ejemplo 2.1.9) En el semigrupo fuertemente continuoT(t) = e At , del Ejemplo 4.1, A ∈ L(X) es el generador infinitesimal de T(t).{ }Teorema 4.2.2 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre X con generadorinfinitesimal A. Entonces, para todo x ∈t≥0X,1límt→0 + t∫[0,t]T(s)xds = x.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 101Demostración. Sean x ∈ X y ǫ > 0, queremos demostrar que existe δ > 0 tal que∫10 ≤ t ≤ δ =⇒T(s)xds − x∥ t∥ < ǫ.[0,t]Por la continuidad fuerte de T(t) y para el ǫ > 0 fijado, escojamos un τ > 0, tal que‖T(t)x − x‖ ≤ ǫBasta tomar δ = τ > 0, tal que para t ∈ [0, δ]∀ t ∈ [0, τ].∫1∥ t[0,t]∥ ∥∥∥∥ ∫T(s)xds − x∥ = 1[T(s)x − x]dst∥[0,t]≤ 1 ∫‖T(s)x − x‖dst≤ 1 t[0,t]∫ǫds = ǫ.Así, ∥ ∥∥∥∥ ∫1t[0,t][0,t]T(s)xds − x∥ < ǫ∀ t ∈ [0, s].En consecuencia,1límt→0 + t∫[0,t]T(s)xds = x.□{ }Teorema 4.2.3 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X con generador infinitesimal A. Entonces,i) D(A) es un subespacio vectorial de X.ii) Para cada x ∈ D(A) y para todo t ≥ 0, T(t)x ∈ D(A).iii) Para cada x ∈ D(A) y para todo t ≥ 0, T(t)x es fuertemente diferenciable y,además,d[ ]T(t)x = AT(t)x = T(t)Ax.dt

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 102iv) Para cada t ≥ 0,∫T(t)x − x = AT(s)xdssi x ∈ X=∫[0,t][0,t]T(s)Axdssi x ∈ D(A).Demostración. i) Sean x, y ∈ D(A) y λ, β ∈ F, veamos que λx + βy ∈ D(A).Como x, y ∈ D(A), entonces λx + βy ∈ X yLuego, existelím A 1[]t(λx + βy) = lím T(t)(λx + βy) − (λx + βy)t→0 + t→0 + t1[]= lím λT(t)x + βT(t)y − λx − βyt→0 + tλ[ ]β[ ]= lím T(t)x − x + lím T(t)y − yt→0 + tt→0 + t1[ ]1[ ]= λ lím T(t)x − x + β lím T(t)y − yt→0 + tt→0 + t= λ lím A tx + β lím A ty.t→0 + t→0 +límt→0 + A t(λx + βy).En consecuencia, λx + βy ∈ D(A).ii) Sean x ∈ D(A) y t ≥ 0, queremos demostrar que T(t)x ∈ D(A), lo cual es equivalentea probar que existe líms→0 + A sT(t)x.ComoA s T(t)x = 1 [ ]T(s) − I T(t)xs= 1 []T(s)T(t) − T(t) xs= 1 [ ]T(s + t) − T(t) xs= 1 []T(t)T(s) − T(t) xs [ ]T(s) − I= T(t)sx= T(t)A s x.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 103Se sigue,A s T(t)x = T(t)A s x.Ahora, tomando el límite, cuando s → 0 + , en ambos lados de la igualdad anterior,lím A sT(t)x = lím T(s)A sxs→0 + s→0 + [ ]= T(t) lím A sxs→0 +De esto y de la definición de A,(por ser, T(t) continuo)= T(t)Ax. (ya que, x ∈ D(A))AT(t)x = líms→0 + A sT(t)x = T(t)Ax.Por lo tanto, T(t)x ∈ D(A) y AT(t)x = T(t)Ax.iii) Queremos demostrar que T(t)x es diferenciable.Para eso, veamos primero si T(t)x es derivable a la derecha.Sea t > 0, y sea h > 0 suficientemente pequeño. Entonces,T(t + h)x − T(t)xlímh→0 + hAsí,Además,Por consiguiente,− x]= lím T(t)[T(h)xh→0 +h[T(h) − I]= T(t) lím xh→0 + h(porque T(t) ∈ L(X))= T(t)Ax. (porque x ∈ D(A))T(t + h) − T(t)límx = T(t)Ax. (4.18)h→0 + hT(t + h) − T(t) T(h) − Ilímx = lím T(t)xh→0 + hh→0 + h= lím A hT(t)x = AT(t)x.h→0 +T(t + h) − T(t)límx = AT(t)x. (4.19)h→0 + hLuego, del hecho de que T(t)x ∈ D(A), de (4.18) y de (4.19), resultad +T(t)x = AT(t)x = T(t)Ax.dt

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 104Falta ver qué pasa con la derivada por la izquierda de T(t)x.Sea t > 0, sea −h < 0 suficientemente pequeño y t − h > 0. Entonces,T(t − h) − T(t) T(t) − T(t − h)límx = límx−h→0 − −hh→0 + hT(t)T(0) − T(t − h)= límxh→0 + hT(t)T(−h + h) − T(t − h)= límxt→0 + hT(t − h)T(h) − T(t − h)= límxh→0 + h− I]= lím T(t − h)[T(h) xh→0 +{h}= lím T(t − h)Ax + T(t − h)[A h x − Ax] .h→0 +Por lo tanto,[T(t − h) − T(t)]xlím−h→0 − −h{}= lím T(t − h)Ax + T(t − h)[A h x − Ax] . (4.20)h→0 +Por otro lado, en virtud del Teorema 4.2.1, parte a), y el hecho de queT(t − h) ∈ L(X),∥∥T(t − h)[A h x − Ax] ∥ ≤ Me w(t−h) ‖A h x − Ax‖. (4.21)Tomando el límite, cuando h → 0 + , en ambos lados de (4.21), y del hecho de quex ∈ D(A),∥ [ ]∥∥T(t lím − h)[Ah x − Ax] ∥ = 0 ⇐⇒ lím T(t − h) A h x − Ax = 0. (4.22)h→0 + h→0 +Así, de (4.20), (4.22) y por ser el operador T(t − h) fuertemente continuo,En consecuencia,d −T(t)x = T(t)Ax.dtdT(t)x = AT(t)x = T(t)Ax.dtiv) Sean t ≥ 0, x ∈ X y h > 0, veamos que existe límh→0 + A h∫[0,t]T(s)xds.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 105En virtud de la definición del operador A h ,∫∫[T(h) − I]A h T(s)xds =h[0,t]= 1 h∫[0,t]T(s)xdsT(h)T(s)xds − 1 h∫T(s)xds= 1 h[0,t]∫[0,t]T(s + h)xds − 1 ∫T(s)xdsh= 1 h[0,t]∫T(s)xds − 1 h∫[0,t]T(s)xds= 1 h[h,t+h]∫T(s)xds − 1 h[0,t]∫T(s)xds.[t,t+h][0,h]Luego,A h∫T(s)xds = 1 h∫T(s)xds − 1 h∫T(s)xds. (4.23)[0,t][t,t+h][0,h]Tomando el límite, cuando h → 0 + , en ambos lados de (4.23)∫lím Ah→0 + h[0,t]1T(s)xds = límh→0 + h1= límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]1T(s)xds − límh→0 + h∫[0,h]T(s)xdsT(s)xds − x. (por el Teorema 4.2.2)Así,Afirmación 1∫lím Ah→0 + h[0,t]1límh→0 + h1T(s)xds = límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]T(s)xds = T(t)x t ≥ 0.T(s)xds − x. (4.24)En efecto: Por el Teorema 4.2.1, parte b), resulta que líms→tT(s)x = T(t)x. Esto es, paratodo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que |s − t| < δ implica que ‖T(s)x − T(t)x‖ < ǫ.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 106Así, para el fijado ǫ > 0 y δ > 0 tal que 0 < |t + h − t| = |h| = h < δ, resulta∥ 1 ∫(T(s)x − T(t)x)ds∥ ≤ 1 ∫‖T(s)x − T(t)x‖ds < ǫ.hh[t,t+h]1En consecuencia, límh→0 + h∫[t,t+h][t,t+h]T(s)xds = T(t)x.Por otro lado, de (4.24) y la Afirmación 1,∫A T(s)xds = T(t)x − x.[0,t]Ahora, sean t ≥ 0, x ∈ D(A) y h > 0. Entonces, las funciones[T(h)x − x][0, t] ∋ s ↦→ T(s)hconvergen uniformemente a la función [0, t] ∋ s ↦→ T(s)Ax ∈ X, cuando h → 0 + . Así,∈ X[T(h) − I]límh→0 + h∫[0,t]∫T(s)xds = límh→0 +=∫[0,t]T(s)T(s)Axds,[T(h) − I]xdsh[0,t]de donde,∫AT(s)xds =∫T(s)Axds = T(x) − x.[0,t][0,t]□Con ayuda de este Teorema 4.2.3 demostremos que el generador infinitesimal, introducidoen la Definición 4.2.3, aunque en general no es acotado, tiene otras propiedades:{ }Teorema 4.2.4 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X con generador infinitesimal A. Entonces,i) D(A) es denso en X.ii) A es un operador lineal cerrado.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 107Demostración. i) Sea x ∈ X, queremos demostrar que x ∈ D(A). Lo cual es equivalentea probar que existe (x n ) n≥1 ⊂ D(A) tal que (x n ) n≥1 converge a x en X.Para el x ∈ X fijado y para cada n ≥ 1, definimos∫x n = n T(s)xds,[0, 1 n ]el cual verifica:1) x n ∈ D(A) ∀ n ≥ 1.2) (x n ) n≥1 converge a x en X.1En efecto: 1) Sea n ≥ 1, queremos demostrar que existe límt→0 + t∫Luego,∫1t [T(t) − I][0,1/n]∫1t [T(t) − I][0,1/n]T(s)xds == 1 tT(s)xds = 1 t[0,1/n]∫[0,1/n]∫[0,1/n][T(t) − I]T(s)xdstT(t + s)xds − 1 tT(t + s)xds − 1 t∫[0,1/n]∫[0,1/n][ ]T(t) − I x n .T(s)xds.T(s)xds.Estas integrales están bien definidas, porque T(t) es fuertemente continuo.Haciendo el cambioρ = t + s, s → 0 + , ρ → t,en la segunda integral, tenemosdρ = ds, s → 1/n, ρ → t + 1 n ,T(t) − It∫[0,1/n]T(s)xds = 1 t∫[t,t+1/n][ ∫T(ρ)xdρ − 1 ∫T(s)xdst[0,t]∫T(ρ)xdρ + T(ρ)xdρ −∫∫T(ρ)xds −]T(s)xds= 1 t= 1 t[1/n,1/n+t][ ∫[t,1/n]∫T(ρ)xdρ −]T(s)xds .[t,1/n][0,t][1/n,1/n+t][0,t]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 108Ahora, haciendo el cambio1n + s = ρ, ρ → 1 n , s → 0,ds = dρ, ρ → 1 + t, s → t,nresultayT(t) − It∫[0,1/n]T(ρ) = T( 1 n + s),T(s)xds = 1 t= 1 t[ ∫[0,t]∫[0,t]( ( 1) ) ]Tn + s − T(s) xds[ ( 1T(s) Tn)]− I xds.Así,T(t) − It∫[0,1/n]T(s)xds = 1 t∫[0,t][ ( 1]T(s) T − I xds, (4.25)n)luego, tomando el límite, cuando t → 0 + , a ambos lados de la igualdad (4.25),T(t) − Ilímt→0 + tA∫[0,1/n]∫1T(s)xds = límt→0 + tT(s)xds =[ ( 1Tn)∫[0,1/n]− I[ ( 1]T(s) T − I xdsn)]x ∈ X, (por el Teorema 4.2.2)de donde,∫[0,1/n]T(s)xds ∈ D(A).[0,1/n]2) Por el Teorema 4.2.2,es decir,lím x n = x en X.n→∞∫lím nn→∞[0,1/n]T(s)xds = x,En consecuencia, x ∈ D(A), lo que demuestra que D(A) = X.

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 109ii) Veamos que A es cerrado.Sea (x n ) n≥1 ⊂ D(A) tal que lím x n = x ∈ X y lím Ax n = y ∈ X, probemos quen→∞ n→∞x ∈ D(A) y Ax = y.Como (x n ) n≥1 ⊂ D(A), entonces por el Teorema 4.2.3, parte iv),∫T(t)x n − x n = T(s)Ax n ds ∀ n ≥ 1, (4.26)y del hecho de que(T(s)Ax n)n≥1[0,t][0, t] ∋ s ↦→ T(s)y ∈ X, de (4.26) resulta quePor lo tanto,converge uniformemente sobre [0, t] a la función[ ]T(t)x − x = lím T(t)x n − x n n→∞∫= lím T(s)Ax n dsn→∞∫=[0,t][0,t]T(s)yds.límt→0 + A tx = límT(t) − It→0 + t1x = límt→0 + t∫[0,t]T(s)yds = y. (por el Teorema 4.2.2)En consecuencia, x ∈ D(A) y Ax = y.Finalmente, demostremos que A es lineal.Sean x 1 , x 2 ∈ D(A) y λ, β ∈ F, veamos que A(λx 1 + βx 2 ) = λAx 1 + βAx 2 .Como x 1 , x 2 ∈ D(A), por el Teorema 4.2.3 parte (i), λx 1 + βx 2 ∈ D(A), asíA(λx 1 + βx 2 ) = límt→0 + A t(λx 1 + βx 2 )= λ lím A tx 1 + β lím A tx 2t→0 + t→0 += λAx 1 + βAx 2 .□

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 110Lema 4.2.1 Sea T : [0, r] −→ L(X). Entonces, las siguientes propiedades son equivalentesa) Existe ǫ > 0 tal que SV [0,ǫ][T] < ∞.b) Existe r > 0 tal que SV [0,r][T] < ∞.Demostración. a) ⇒ b) Veamos que existe r > 0 tal que SV [0,r][T] < ∞.Por hipótesis, existe ǫ > 0 tal que SV [0,ǫ][T] < ∞, es decir, T ∈ SV ([0, ǫ]; L(X)). Así,podemos escoger un 0 < r < ǫ tal que [0, r] ⊂ [0, ǫ], entonces por la Proposición1.4.1, parte a), T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y SV [0,r][T] ≤ SV [0,ǫ][T] < ∞.b) ⇒ a) La demostración es análoga a la anterior. □Lema 4.2.2 Sea T ∈ SV ([0, r]; L(X)). Entonces, para todo x ∈ G([0, r]; L(X))i)∫T(r − s)x(s)ds ∈ D(A) y [0, r] ∋ τ ↦→∫T(τ − s)x(s)ds ∈ X es una función[0,r][0,τ]continua.∫ii) A T(r − s)x(s)ds =[0,r]∫[0,r]dsT(r − s)x(s).Demostración. i) Sea x ∈ G([0, r]; X), queremos demostrar que existe∫lím At→0 + t T(r − s)x(s)ds.1 er Caso: Sea x ∈ E([0, r]; X) definida por x(t) = x 0 ∀ t ∈ [0, r].[0,r]Así,1[ ] ∫T(t) − It[0,r]T(r − s)x 0 ds = 1 t= 1 t∫[0,r]∫[0,r]T(t)T(r − s)x 0 ds − 1 ∫T(r − s)x 0 dst[0,r]T(t + (r − s))x 0 ds − 1 ∫T(r − s)x 0 ds.t[0,r]De modo que,

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 1111[ ] ∫T(t) − It[0,r]T(r − s)x 0 ds = 1 t∫[0,r]T(t + (r − s))x 0 ds − 1 2∫[0,r]T(r − s)x 0 ds,haciendo el cambioρ = t + (r − s), s → 0 + , ρ → t + r,dρ = −ds, s → r, ρ → t,1[ ] ∫T(t) − I T(r − s)x 0 ds = 1 tt[0,r]= 1 t∫[t,r+t][ ∫T(ρ)x 0 dρ − 1 ∫T(r − s)x 0 dst[0,r]∫T(ρ)x 0 dρ +∫T(ρ)x 0 dρ −T(r − s)x 0 ds∫−[r,r+t]]T(r − s)x 0 ds[t,r][t,r][0,t]= 1 t[ ∫∫T(ρ)x 0 dρ −]T(r − s)x 0 ds= 1 t[r,r+t][ ∫[0,t]∫T(t + (r − s))x 0 ds −]T(r − s)x 0 ds= 1 t[0,t]∫[0,t][]T(t + (r − s)) − T(r − s) x 0 ds= 1 t[0,t]∫[ ]T(r − s) T(t) − I x 0 ds.[0,t]De donde,1[ ] ∫T(t) − I T(r − s)x 0 ds = 1 tt[0,r]∫[0,t][ ]T(r − s) T(t) − I x 0 ds, (4.27)tomando el límite, cuando t → 0 + , en ambos lados de (4.27)

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 112∫lím A tt→0 +Tenemos que,[0,t]∫[0,r]1[ ] ∫T(r − s)x 0 ds = lím T(t) − It→0 + t1= límt→0 + t∫[0,t][0,t]T(r − s)x 0 ds[ ]T(r − s) T(t) − I x 0 ds= T(t)x 0 − x 0 (Por el Teorema 4.2.2).T(r − s)x(s)ds ∈ D(A) para todo2 do Caso: Sea x ∈ G([0, r]; X), veamos que∫[0,t]x ∈ E([0, r]; X).T(r − s)x(s)ds ∈ D(A).Como x ∈ G([0, r]; X), entonces por Teorema 1.1.2, parte ii), existe (x n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X)tal que (x n ) n≥1 converge uniformemente a x.Afirmación 1∫[0,r]∫T(r − s)x(s)ds = límn→∞[0,r]T(r − s)x n (s)ds.En efecto: Por el Teorema 2.2.3 partes i), iii) y por el Lema 4.2.1, parte b),∫∥T(r − s)x n (s)ds −∫∫T(r − s)x(s)ds∥ = ∥[ ]T(r − s) x n (s) − x(s) ds∥[0,r][0,r]≤∫[0,r]‖T(r − s)‖‖x n (s) − x(s)‖ds[0,r]∫≤ SV [0,r][T]‖x n (s) − x(s)‖ds.[0,r]Así,∫∥T(r − s)x n (s)ds −∫∫T(r − s)x(s)ds∥ ≤ SV [0,r][T]‖x n (s) − x(s)‖ds (4.28)[0,r][0,r][0,r]tomando el límite, cuando n → ∞, en ambos lados de (4.28) y por el Teorema 2.2.4,

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 113∥ ∫∥∥0 < límn→∞[0,r]∫T(r −s)x n (s)ds −[0,r]T(r −s)x(s)ds∥ ≤ SV [0,r][T] límn→∞∫[0,r]‖x n (s) −x(s)‖ds.De donde,∫lím ∥n→∞[0,r]∫T(r − s)x n (s)ds −[0,r]∫límn→∞[0,r]T(r − s)x(s)ds∥ = 0 ⇐⇒T(r − s)x n (s)ds =∫[0,r]T(r − s)x(s)ds.Por otro lado,∫lím At→0 + t[0,r]∫T(r − s)x n (s)ds = A[0,r]T(r − s)x n (s)ds.Luego, por el Teorema 4.2.4, parte ii), A es cerrado. Así,por consiguiente,∫lím An→∞∫[0,r][0,r]∫T(r − s)x n (s)ds = AT(r − s)x(s)ds ∈ D(A).[0,r]Demostremos ahora que F : [0, r] −→ X definida pores continua.F(τ) :=∫[0,τ]T(r − s)x(s)ds,T(τ − s)x(s)ds ∀ τ ∈ [0, r]En efecto: Sea τ 0∈ [0, r], veamos que límτ→τ0F(τ) = F(τ 0).∫‖F(τ) − F(τ 0)‖ =∥[0,τ]T(τ − s)x(s)ds −∫[0,τ 0 ]T(τ 0− s)x(s)ds∥

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 114Así,∫‖F(τ) − F(τ 0)‖ =∥≤[0,τ]∫[]T(τ − s) − T(τ 0− s) x(s)ds∥[]∥∥ T(τ − s) − T(τ 0− s) x(s) ∥ds ≤ SV [T]∫ds = SV [T](τ − τ 0).[τ 0 ,τ][τ 0 ,τ]Luego, ‖F(τ) − F(τ 0)‖ ≤ SV [T](τ − τ 0), tomando el límite, cuando τ → τ 0, enambos lados de la desigualdad anterior, se tienelím ‖F(τ) − F(τ 0)‖ = 0 ⇐⇒ lím F(τ) = F(τ 0).τ→τ 0 τ→τ0∫∫ii) Sea x ∈ G([0, r]; X). Veamos que A T(r − s)x(s)ds = dsT(r − s)x(s).[0,r]Sea x(t) = X [0,r](t)x 0 con x 0 ∈ X. Entonces,[0,r]∫A[0,r]∫T(r − s)x(s)ds = A[0,r]∫= AT(r − s)X [0,r](s)x 0 dsT(r − s)x 0 ds=∫[0,r]AT(r − s)x 0 ds(por el Teorema 4.2.3, partes iii) y iv))=[0,r]∫[0,r]− dTds (r − s)x 0ds= T(r)x 0 − x 0∣ ∣∣r= T(r − s)x 0∫0= dsT(r − s)x 0 .[0,r]Así, para todo x ∈ E([0, r]; X),∫A T(r − s)x(s)ds =[0,r]∫[0,r]dsT(r − s)x(s). (4.29)

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 115Sea x ∈ G([0, r]; X). Entonces, por el Teorema 1.1.2, parte ii) existe (x n ) n≥1 ⊂E([0, r]; X) tal quelímn→∞ x n(t) = x(t).Por (4.29), resulta que para cada n ≥ 1∫∫A T(r − s)x n (s)ds =[0,r][0,r]dsT(r − s)x n (s), (4.30)tomando el límite, cuando n → ∞, en (4.30) y por ser A cerrado, tenemos que∫∫∫A T(r − s)x(s)ds = lím A T(r − s)x n (s)ds = dsT(r − s)x(s).n→∞[0,r]∫En consecuencia, A[0,r][0,r]T(r − s)x(s)ds =∫[0,r][0,r]dsT(r − s)x(s)∀ x ∈ G([0, r]; X). □{ }Teorema 4.2.5 Sea T(t) un semigrupo de operadores fuertemente continuos cont≥0generador infinitesimal A : D(A) −→ X. Entonces, las siguientes propiedades son equivalentesa) Para todo u ∈ G([0, r]; X) la función v : [0, r] −→ D(A) definida por∫v(t) :=[0,t]es la única solución del problema de CauchyT(t − s)u(s)ds ∀ t ∈ [0, r] (4.31)⎧⎪⎨⎪⎩d ±dt v(t) = Av(t) + u(t± ) 0 ≤ t ≤ r,v(0) = 0.(4.32)b) T ∈ SV ([0, r]; L(X)).Demostración. b) =⇒ a) Sean T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y u ∈∫G([0, r]; X). Entonces, porel Teorema 3.1.1, parte a) − i), existe la integral de Dushnik T(t − s)u(s)ds.Queremos probar que la función v definida en (4.31) es solución del problema (4.32).Para ello probemos que[0,t]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 116∫[] ∫T(t − s)u(s) − u(s) ds =[ ∫d s T(τ − s)u(s)]dτ 0 ≤ t ≤ r. (4.33)[0,t][0,t][0,τ]equivalente a∫T(t − s)u(s)ds =∫A[ ∫] ∫d s T(τ − s)u(s)ds dτ +u(t)ds 0 ≤ t ≤ r.[0,t][0,t][0,τ][0,t]En efecto: Como los miembros de (4.33) son funciones continuas de u ∈ G([0, r]; X) yel espacio de las funciones escalonadas E([a, b]; X) es denso en el espacio de las funcionesregladas G([0, r]; X). Así, para probar (4.33) tenemos dos casos:1 er caso: sea u ∈ E([0, r]; X) definido por u = χ [0,c]x donde 0 < c ≤ t y x ∈ X.Demostremos que∫[]T(t − s)χ [0,c](s)x − χ [0,c](s)x ds =∫[ ∫d s T(τ − s)χ [0,c](s)x]dτ 0 ≤ t ≤ r.[0,t][0,t][0,τ]Ahora,∫d s T(τ − s)χ [0,c](s)x = A∫T(τ − s)χ [0,c](s)xds(Por el Lema 4.2.2, parte ii))[0,τ][0,τ]= T(τ − s)χ [0,c](s)x − χ [0,c](s)x. (Por el Teorema 4.2.3, parte iv))Luego,∫d s T(τ − s)χ [0,c](s)x = T(τ − s)χ [0,c](s)x − χ [0,c](s)x,[0,τ]integrando en ambos lados de la igualdad anterior sobre [0, t],∫ [] ∫ [ ∫]T(t − s)χ [0,c](s)x − χ [0,c](s)x ds = d s T(τ − s)χ [0,c](s)x dτ 0 ≤ t ≤ r.[0,t]Así, para todo u ∈ E([0, r]; X),∫[]T(t − s)u(s) − u(s) ds =∫[0,t][ ∫[0,τ]]d s T(τ − s)u(s) dτ 0 ≤ t ≤ r.[0,t][0,t][0,τ]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 117Por otro lado, sea u ∈ G([0, r]; X). Entonces, por el Teorema 1.1.2, parte ii) existe(u n ) n≥1 ⊂ E([0, r]; X) tal que (u n ) n≥1 converge uniformemente a u.De modo que,∫[] ∫T(t − s)u n (s) − u n (s) ds =[ ∫d s T(τ − s)u n (s)]dτ 0 ≤ t ≤ r,[0,t][0,t][0,τ]tomando el límite, cuando n → ∞, en ambos lados de la igualdad anterior y por lacontinuidad de ambas integrales, resulta que∫[]T(t − s)u(s) − u(s) ds =∫[ ∫d s T(τ − s)u(s)]dτ 0 ≤ t ≤ r,[0,t][0,t][0,τ]para todo u ∈ G([0, r]; X).Por otro lado, de la ecuación (4.33), y de las propiedades de la integral de Cauchy-Riemann, resulta∫T(t − s)u(s)ds =∫[ ∫] ∫d s T(τ − s)u(s) dτ +u(s)ds[0,t]∫T(t − s)u(s)ds =[0,t]∫[0,τ]A[ ∫[0,t]] ∫T(τ − s)u(s)ds dτ +u(s)ds (Lema 4.2.2, parte ii))[0,t]v(t) =[0,t]∫[0,τ]∫Av(τ)dτ +[0,t]u(s)ds (Por la definición de v)[0,t]∫v(t) = A[0,t]∫v(τ)dτ +u(s)ds(Por el Teorema 4.2.3, parte iv))[0,t][0,t]Queremos demostrar que para todo t ∈ [0, r) existe d+dt v(t).

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 118Sea t ∈ [0, r). Entonces, por la linealidad y continuidad de A, por el Lema 2.3.1, parteb) y por la continuidad de v,[d +∫ ∫ ] ∫1v(t) = lím A v(τ)dτ − A v(τ)dτ + d+u(s)dsdt h→0 hdtDe donde,= límh→0A= A[[límh→0[0,t+h]( ∫1h1h[0,t+h]∫[t,t+h]= Av(t + ) + u(t + )= Av(t) + u(t + ).[0,t]∫v(τ)dτ − Av(τ)dτ][0,t]+ u(t + )v(τ)dτ)]d +dt v(t) = Av(t) + u(t+ ) (t ∈ [0, r)).Falta demostrar que para todo t ∈ (0, r] existe d−v(t). dt[0,t]+ u(t + )Sea t ∈ (0, r] y h suficientemente pequeño tal que t − h ∈ (0, r]. Entonces,[d −∫ ∫ ] ∫v(t) = límdt −1 A v(τ)dτ − A v(τ)dτ + d−u(s)dsh→0 hdtLuego,= A[límh→01h[0,t−h]∫[t,t−h]v(τ)dτ][0,t]+ u(t − ).[0,t]En consecuencia,a) =⇒ b)d −dt v(t) = Av(t) + u(t− ) (t ∈ (0, r]).d ±dt v(t) = Av(t) + u(t± ) 0 ≤ t ≤ r.Queremos demostrar que SV [T] < ∞.Por hipótesis, para todo u ∈ G([0, r]; X), la función v : [0, r] −→ D(A) definida comoen (4.31) es tal que v(t) ∈ D(A) y Av ∈ G([0, r]; X).

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 119Afirmación 2∫i) A T(r − s)u(s)ds existe.[0,r]∫ii) AT(r − s)u(s)ds es continua en u ∈ G([0, r]; X).[0,r]En efecto: i) Como v(t) ∈ D(A) resulta que v(t) es diferenciable y existe Av(t).ii) Sea u 0 ∈ G([0, r]; X), demostremos que∫∫lím A T(r − s)u(s)ds = Au→u 0[0,r][0,r]T(r − s)u 0 (s)ds.Como,∫∥ A[0,r]∫T(r − s)u(s)ds − A[0,r]T(r − s)u 0 (s)ds∥[ ∫]∥ ∥∥∥∥=∥ A T(r − s)(u(s) − u 0 (s))ds[0,r]∫≤ K∥[0,r]T(r − s)(u(s) − u 0 (s))ds∥∫≤ K ‖T(r − s)‖‖u(s) − u 0 (s)‖ds[0,r]≤ KMr‖u − u 0 ‖.Se sigue que,∫∥ A[0,r]∫T(r − s)u(s)ds − A[0,r]T(r − s)u 0 (s)ds∥ ≤ KMr‖u − u 0‖,tomando el límite, cuando u → u 0 , en ambos lados de la desigualdad anterior, resulta∫∫lím A T(r − s)u(s)ds = A T(r − s)u 0 (s)ds.u→u 0[0,r][0,r]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 120∫Esto prueba que AT(r−s)x(s)ds es continua en u 0 ∈ G([0, r]; X). Entonces, existeC > 0 tal que[0,r][0,r]∫∥ A T(r − s)x(s)ds∥ ≤ C‖u‖∀ u ∈ G([0, r]; X).Por el Lema 4.2.2, parte ii), y lo anterior,∫d∥ s T(r − s)u(s)∥ ≤ C‖u‖[0,r]∀ u ∈ G([0, r]; X).∫Pero, como SV [0,r] [T] es la menor de las cotas superiores del operador,d s T(r − s)u(s), resulta que SV [0,r] [T] ≤ C, esto es, T es de semivariación acotada.[0,r]□Definición 4.2.4 Sea C 0 (N) el espacio vectorial de todas las sucesiones x = (x n ) n≥1 ⊂ Ctal que para todo ǫ > 0, existe n 0 ≥ 1 con |x n | < ǫ ∀ n ≥ n 0 . Es claro que,‖x‖ = sup |x n | es una norma sobre C 0 (N).n∈NEl siguiente ejemplo ilustra un generador infinitesimal de un semigrupo fuertementecontinuo que no es continuo.[ ]Ejemplo 4.3 La aplicación [0, ∞) ∋ t ↦→ T(t) ∈ L C 0 (N)verifica)T(t)x =(e −nt x ni) T está bien definida.{ }ii) T(t) es un semigrupo fuertemente continuo.t≥0( [ ])iii) T ∈ SV [0, r]; L C 0 (N) .iv) El generador infinitesimal de{ }T(t)t≥0∀ x ∈ C 0 (N),no es continuo.definida por

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 121[ ]En efecto: i) Para cada t ∈ [0, ∞) veamos que T(t) ∈ L C 0 (N) .Sean x, y ∈ C 0 (N) y α, β ∈ F,()T(t)(αx + βy) = e −nt (αx n + βy n )()= e −nt (αx n ) + e −nt (βy n )) )= α(e −nt x n + β(e −nt y nSe sigue que T es lineal.= αT(t)x + βT(t)y.Ahora, para cada t ∈ [0, ∞), veamos que existe M > 0 tal que‖T(t)x‖ ≤ M‖x‖∀ x ∈ C 0 (N).Sea x ∈ C 0 (N), entonces‖T(t)x‖ = supn∈NBasta tomar M ≥ 1 para que se cumpla‖T(t)x‖ ≤ M‖x‖|e −nt x n | ≤ sup |x n | = ‖x‖.n∈N∀ x ∈ C 0 (N).ii) Sea t = 0 y x ∈ C 0 (N), T(0)x = (x n ) = x = I(x). Se sigue que T(0) = I.Sean t, s ≥ 0 y x ∈ C 0 (N), demostremos que T(t + s)x = T(t)T(s)x.)T(t + s)x =(e −n(t+s) x n))=(e(e −nt −ns x n)= T(t)(e −ns x n( )= T(t) T(s)x= T(t)T(s)x.En consecuencia, T(t + s) = T(t)T(s) ∀ t, s ≥ 0.Veamos quelím ‖T(t)x − x‖ = 0 ∀t→0 +Sea x ∈ C 0 (N), entoncesx ∈ C 0(N).

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 122) ( )‖T(t)x − x‖ = ‖(e −nt x n − (x n )‖ = ‖ e −nt x n − 1Así,(x n )‖ = supn∈N( )| e −nt − 1 x n |.( )‖T(t)x − x‖ = sup |n∈Ne −nt − 1 x n |, (4.34)tomando el límite, cuando t → 0 + , en ambos lados de (4.34),lím ‖T(t)x − x‖ = 0 ∀ x ∈ C 0(N).t→0− { }En consecuencia, T(t) es un semigrupo fuertemente continuo.t≥0( [ ])iii) Queremos demostrar que T ∈ SV [0, r]; L C 0 (N) , lo cual es equivalente a probarque SV [T] < ∞.Sean P ∈ P[a, b] y x i ∈ C 0 (N), con ‖x i ‖ ≤ 1 (i ∈ {1, 2, ..., n}),∥n∑∥ ∥ ∥∥ ∥∥n∑∥ ∥∥[T(t i ) − T(t i−1 )]x i = T(t i )x i − T(t i−1 )x ii=1=≤=∥= 2i=1n∑ ) [(e −mt ix im −i=1(e −mt i−1x im)]∥ ∥∥n∑[ ∥∥∥ )∥ ∥ )∥](e −mt i ∥∥ ∥∥x im +(e −mt i−1 ∥∥x imi=1n∑[]sup |e −mt ix im | + sup |e −mt i−1x im |i=1n∑i=1supm∈N|x im |.Ahora, para cada i ∈ {1, 2, ..., n}, (x im ) m≥1 converge en C, entonces (x im ) m≥1 esCauchy en C, es decir, para todo ǫ > 0, existe m 0 ≥ 1 tal que |x im −x ip | < ǫ ∀ m, p ≥ m 0 .En particular, tomando ǫ = 1 y fijado p = m 0 , |x im − x im0 | ≤ 1 si m ≥ m 0 .De donde se sigue, |x im | < 1 + |x im0 | si m ≥ m 0 .Ahora bien, para acotar los elementos x i1 , x i2 , ..., x im0 −1, escojamos,{}M = máx |x i1 |, |x i2 |, ..., |x im0 −1|, 1 + |x im0 | ,

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 123y así, |x im | ≤ M 2n ∀ m ≥ 1.De donde, resulta∥n∑∥ ∥∥n∑ M[T(t i ) − T(t i−1 )]x i ≤ 22n = M.i=1i=1Por lo tanto,SV [T] = supEn consecuencia, T ∈ SVP∈P[0,r]supx i ∈C 0 (N)‖x i ‖≤1([0, r]; Ln(P)∑∥i=1[ ])C 0 (N) .∥[ ] ∥∥∥∥∥α(t i ) − α(t i−1 ) x i ≤ M.1[ ]iv) Primero demostremos que existe lím T(t) − I x.t→0 + tSea x ∈ D(A), entoncesLuego,1[ ]T(t) − I x = 1 [ ]T(t)x − xtt= 1 [ ( )e −nt x nt( e −nt x n − x n=t1[ ]T(t) − I x =t]− (x n )).( e −nt x n − x ntomando el límite, cuando t → 0 + , en ambos lados de (4.35),1[ ]lím T(t) − I x = (−nx n ).t→0 + tt), (4.35)De modo que, el generador { infinitesimal A del semigrupo } fuertemente continuo T(t)es definido en D(A) = (x n ) ∈ C 0 (N) : (−nx n ) ∈ C 0 (N) , es decir,A : D(A) ⊂ C 0 (N) −→ C 0 (N) está dado por( )Ax = A(x n ) = − nx n ∀ x ∈ D(A).

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 124Afirmación 2A no es acotado.En efecto: Supongamos que ∃ K > 0 tal que ‖Ax‖ ≤ K∀ x ∈ C 0 (N).Por otro lado, consideremos (x n ) n≥1 = (0, 0, ..., 0, 2K n, 0, ..., 0), entonces‖Ax‖ = sup |nx n | = 2K > K,n∈Npero esto, es una contradicción con lo supuesto.En consecuencia, A no es acotada.{ }Lema 4.2.3 (Pazy [15], Corolario 4.13) Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuocon generador infinitesimal A. Si A no es acotado,t≥0entonceslím sup ‖I − T(t)‖ ≥ 2.t↓0Teorema 4.2.6 Si el generador infinitesimal A : D(A) −→ X de un semigrupo fuertementecontinuo no es continuo, entonces X ←֓ C 0 (N).Demostración. Supongamos al absurdo que C 0 (N) no está inmerso en X, entoncesT ∈ SV ([0, r]; L(X)) (ver Hönig [10]; Teorema 7.5) y por la Proposición 1.4.1, parte b),Sealím SV [0,t] [T] = 0.t↓0{ }t 0 = 0 < t 1 = t una partición de [0, t] y x ∈ X con ‖x‖ < 1, tenemos quelímt↓0‖T(t) − I‖ = 0,pero esto es una contradicción, ya que A no es continua, y por el Lema 4.2.3,lím sup ‖I − T(t)‖ ≥ 2.t↓0Teorema 4.2.7 Si C 0 (N) no está incluido en X, entonces las propiedades siguientes sonequivalentes:i) A ∈ L(X)(y entonces T(t) = e tA ).□

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 125ii) T ∈ SV ([0, r]; L(X)).iii) T ∈ BV C([0, r]; L(X)).iv) Para todo u ∈ G([a, b]; X) la función v(t) =∫T(t − s)u(s)ds satisface[0,t]d ±dt v(t) = Av(t) + u(t± )∀ t ∈ [0, r].Demostración. i) =⇒ ii) Por hipótesis A ∈ L(X) y definimos T : [0, +∞) −→ L(X)por∞∑T(t) := e tA (tA) n=∀ t ≥ 0.n!La cual verificaii 1 ) T está bien definida.n=1ii 2 ) T es un semigrupo fuertemente continuo.ii 3 ) T ∈ SV ([0, r]; L(X)).En efecto: ii 1 ) Por el Ejercicio 4.1, parte a), la serie converge a la aplicación e tA .ii 2 ) Por el Ejercicio 4.1, parte b), {T(t)} t≥0 es un semigrupo fuertemente continuo.ii 3 ) Queremos demostrar que SV [T] ≤ ∞.Sean P ∈ P[0, r] y x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1 (i ∈ {1, 2, ..., n(P)})n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥∥ T(t i ) − T(t i−1 ) x i =∥ e tiA − e t i−1Ax ii=1i=1n(P)∑[ ∑ ∞≤(t i A) k ∞∑] ∥(t i−1 A) k ∥∥∥∥− x ik! k!i=1 k=0 k=0n(P)∑∞∑[ ] ∥=tki A k∥ − tk i−1 Ak ∥∥∥x ik! k!i=1 k=0n(P)∑ ∞∑[ ∥ ≤(tki − t k i−1) ∥∥∥∥ A]x k i ,k!i=1k=0

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 126de donde,n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥ ∥ T(t i ) − T(t i−1 ) x i ≤i=1≤n(P)∑i=1n(P)∑i=1∞∑k=0∞∑k=0|t k i − t k i−1|‖A‖ k ‖x i ‖k!Como A ∈ L(X), entonces existe M > 0 tal que ‖A‖ ≤ M.Así,supsupx i ∈XP∈P[0,r]‖x i ‖≤12r k n(P)| ∑k! ‖A‖k = 2e r‖A‖ = 2n(P)e r‖A‖ .i=1n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥ ∥ T(t i ) − T(t i−1 ) x i ≤ 2n(P)e rM .i=1En consecuencia, T ∈ SV ([0, r]; L(X)).ii) =⇒ i)Por hipótesis C 0 (N) no está incluido en X. Entonces, por el Teorema 4.2.6, el generadorinfinitesimal A : D(A) ⊂ X −→ X de un semigrupo fuertemente continuo es acotado.Queremos probar que D(A) = X y A ∈ L(X).Por la Definición 4.2.2, parte c), resulta∫1lím T(s)ds = I,ρ→0 ρ[0,ρ]es decir, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal quesi |ρ| < δ, entonces ‖I − 1 ρ∫T(s)ds‖ < 1.[0,ρ]Así,∫T(s)ds‖ < 2, (ya que ‖I‖ = 1),entonces 1 ρ∫‖ 1 ρ[0,ρ]T(s)ds es invertible en L(X) y, por lo tanto,∫T(s)ds también es invert-[0,ρ]ible en L(X).[0,ρ]

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 127Por otro lado, para cada h ∈ (0, δ),1[ ] ∫T(h) − Ih[0,ρ]T(s)ds = 1 h= 1 h[ ∫[0,ρ][ ∫∫T(s + h)ds −∫T(s)ds −[0,ρ]T(s)dsT(s)ds]][h,ρ+h][ ∫T(s)ds −[0,ρ]∫T(s)ds −∫T(s)ds −∫T(s)ds]= 1 h= 1 h[h,ρ][ ∫T(s)ds −[ρ,ρ+h]∫]T(s)ds .[0,ρ][h,ρ][ρ,ρ+h][0,h]De donde,[1[ ] ∫T(h) − I = 1 T(s)ds −h h[ρ,ρ+h]∫[0,h]T(s)ds]( ∫[0,ρ]T(s)ds) −1,tomando el límite, cuando h → 0, en ambos lados de la igualdad anterior, y por el Teorema4.2.2 y la Definición 4.2.2, parte c),1[ ]límT(h) − I − 1 [ ∫h→0∥hh[ρ,ρ+h]Hemos probado que (0, δ) ∋ h ↦→ 1 h[ ] ( ∫función (0, δ) ∋ ρ ↦→ T(ρ) −IT(s)ds −∫[0,h]T(s)ds]( ∫[0,ρ]∥ lím 1[ ] [ ] [ ∫T(h) − I − T(ρ) − Ih→0 h[0,ρ]T(s)ds) −1 ∥ ∥∥∥∥= 0T(s)ds] −1 ∥ ∥∥∥∥= 0.[ ]T(h) − I ∈ L(X) converge uniformemente a laT(s)ds) −1∈ L(X) lo que implica que 1 h[ ]T(h) −I xconverge fuertemente a[0,ρ][ ] ( ∫T(ρ) − IT(s)ds) −1x, para todo x ∈ X.[0,ρ]En consecuencia, D(A) = X y el generador infinitesimal del semigrupo uniformemntecontinuo es

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 128A =[ ] ( ∫T(ρ) − IT(s)ds) −1∈ L(X).ii) =⇒ iii)[0,ρ]Queremos probar que T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y T ∈ C([0, r]; L(X)).Por hipótesis T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y como SV ([0, r]; L(X)) ⊂ G([0, r]; L(X)) (verHönig [10], Teorema 7.5), entonces la aplicación [0, ∞) ∋ t ↦→ T(t) ∈ L(X) es continuaen t 0 = 0, por lo que T es continua.iii) =⇒ ii) es inmediato.iii) ⇐⇒ iv) se sigue del Teorema 4.2.5.□

Apéndice AA.1. NotacionesN : Números NaturalesR : Números RealesC : Números ComplejosF : Cuerpo de los Números Complejos o RealesP[a, b] : El conjunto de todas las particiones de [a, b]n(P) : Orden de la particiónA.2. Principales espacios de funcionesL(X; Y ) pág 1B([a, b]; X) pág 1E([a, b]; X) pág 2G([a, b]; X) pág 2G − ([a, b]; X) pág 12G σ ([a, b]; L(W, X)) pág 17SV ([a, b]; L(X, Y )) pág 23SV a ([a, b]; L(X, Y )) pág 23BV ([a, b]; X ′ ) pág 25BV a ([a, b]; X ′ ) pág 25G σ · SV u ([c, d] × [a, b]; L(X, Y )) pág 26aG σ · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X, Y )) pág 260F K[x](t) pág 63F K[x](t) pág 67129

Anexo A. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 130A.3. Principales normas‖x‖ = sup ‖x(t)‖ ∀ x ∈ G([a, b]; X)t∈[a,b]‖x‖ = sup ‖x(t)‖t∈[a,b]∀ x ∈ G σ ([a, b], L(W, X))‖α‖ = SV [α] = sup SV [α; P] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y ))P∈P[a,b]donde SV [α; P] = supx i ∈X‖x i ‖≤1n(P)∑i=1‖[α(t i ) − α(t i−1 )]x i ‖‖α‖ = V [α] = sup V [α; P]P∈P[a,b]∀ x ∈ BV a ([a, b]; L(X, R))donde V [α; P] =n(P)∑i=1‖α(t i ) − α(t i−1 )‖‖F K‖ = SV u [K] = sup SV [K t ] ∀K ∈ G σ · SV u ([c, d] × [a, b]; L(X, Y ))0t∈[c,d]donde SV [K t ] = sup SV [K t ; P].P∈P[a,b]A.4. Teorema de Hahn-Banach y Teorema de Banach-SteinhausEn esta sección enunciaremos el teorema de Hahn-Banach en espacios normados, elcual da una extensión para funcionales lineales e ilustraremos una consecuencia del teoremade Hahn-Banach sobre el espacio G − ([a, b]; X) y el Teorema de Banach-Steinhaus,que proporciona un críterio para determinar cuándo una familia de operadores lineales yacotados está acotada uniformemente.

Anexo A. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 131Teorema A.4.1 (Kreyszig [13], Theorem 4.3-2). Sean (X; ‖ ‖) un espacio de normado yM un subespacio de X. Si f : M −→ F es un funcional lineal, acotado, entonces existe˜f ∈ L[X; F] tal quei) ˜f extiende a f.ii) ‖ ˜f‖ = ‖f‖.Corolario A.4.1 Sean (G − ([a, b]; X); ‖ ‖) un espacio de Banach y M un subespacio deG − ([a, b]; X). Si J : M −→ F es un funcional lineal, acotado, entonces existe y ∈L[G − ([a, b]; X); F] tal quei) y extiende a J.ii) ‖y‖ = ‖J‖.Teorema A.4.2 (Kreyszig [13], Theorem 4.7-3) Sean (X; ‖ ‖) y (Y ; ‖ ‖) espacios deBanach y ( )T i una familia de operadores en L(X; Y ). Si sup ‖T i x‖ < ∞ para todoi∈Ii∈Ix ∈ X, entonces sup ‖T i ‖ < ∞.i∈I

Bibliografía[1] S.E. Arbex. Equações integrais de Volterra-Stieltjes com núcleos descontínuos. PhDthesis, IME-USP, Brasil, 1976.[2] R. F. Curtain and H. J. Zwart. An Introduction to Infinite Dimensional Linear SystemsTheory. Lecture Tex in Applied Mathematics, Vol. 21. Springer Verlag, NewYork, 1995.[3] M. Ferderson and R. Bianconi. Linear Voterra-Stieltjes integral equations in the senseof the Kurzweil-Henstock integral. Archivum Mathematicum Tomo 37 pages 307-328,2001.[4] M. Ferderson., R. Bianconi., L. Barbanti. Linear Volterra integral equations. ActaMath-Appl. Sinica Vol. 18, N o . 4, pages 553-560, 2002.[5] C.S. Hönig. The abstract Riemann-Stieltjes integral and its applications to lineardifferential equations with generalized boundary conditions. Notas do Instituto deMatemática e Estatística da Universidade de São Paulo, Série Matemática. n o 1, SãoPaulo, 1973.[6] C.S. Hönig. Volterra-Stieltjes integral equations. Mathematics studies 16, North-Holland Publishing Comp., Amsterdan, 1975.[7] C.S. Hönig. Volterra-Stieltjes integral equations with linear constraints and discontinuoussolutions. Bull. Amer. Math. Soc. 81, pages 593-598, 1975.[8] C.S. Hönig. Volterra-Stieltjes integral equations. Functional differential equations andbifucation. Procceedings of the São carlos conference; 1979, Springer lecture notes inmathematics, 799, pages 173-216.[9] C.S. Hönig. Fredholm Stieltjes-integral equations I. IV Escuela Latinoamericana deMatemática Análisis y sus Aplicaciones. Actas, Lima, pages 126-160, 1979.132

Bibliografía 133[10] C.S. Hönig. Equations intégrales généralisées et applications. Publications MathématiquesD’Orsay.(1981-82), n o 5, 1982.[11] C.S. Hönig. Nonlinear Volterra-Stieltjes Integral Equations. In Seminario Brasileirode Análise, volumen 22, pages 483-486, 1985.[12] H. S. Kaltenborn. Linear functional operations on function having discontinuities ofthe first kind. Bull. Amer. Math. Soc. 40, pages 702-708, 1934.[13] E. Kreyszig. Introductory functional analysis with applications. John wiley & Sons,New York, 1978.[14] E. Marquina, J. Quintero y N. Viloria. Expansión de la Solución para Sistemas IntegralesLineales Cuadráticos. Boletin de la Asociación Matemática Venezolana. VolXVIII, N o 2, 2011.[15] A. Pazy. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial DifferentialEquations. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1983.[16] J. Quintero. Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de Banach.Trabajode Ascenso, U.N.A. (2010).[17] N. Viloria. Expansão das soluções de sistemas não lineares no espaço das funçõesregradas a valores en espaços de Banach. Dr. tese, IME-USP, Brasi, 1997.[18] N. Viloria. Integral representation for multilinear causal opertors. Revista notas dematemática. No.209, 2000.[19] N. Viloria y R. Cadenas Integral de Cauchy y funciones regladas. Revista notas dematemática. Vol.3(1), No. 251, 2007, pp.45-71.