Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 7‖x(s) − x(u)‖ = ‖x(s) − x(t + ) + x(t + ) − x(u)‖≤ ‖x(s) − x(t + )‖ + ‖x(u) − x(t + )‖< ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ.Así, basta tomar δ ∗ = δ > 0 para que‖x(s) − x(u)‖ < ǫ∀ s, u ∈ (t, t + δ ∗ ) ∩ [a, b).(⇐=) Queremos demostrar que para todo t ∈ [a, b)Lo cual es equivalente a demostrar quex(t + ) = límτ↓tx(τ).x(t + ) = límn→∞x(t n ),para todo (t n ) ⊂ [a, b) con t n > t (n ≥ 1) tal que (t n ) n≥1 converge a t.Para esto, sea (t n ) ⊂ [a, b) con t n > t (n ≥ 1) tal queAfirmación 1lím t n = t.n→∞(x(t n )) n≥1 Cauchy en X.En efecto: Dado ǫ > 0, demostremos que existe n ∗ > 0 tal que‖x(t n ) − x(t m )‖ < ǫ ∀ n, m > n ∗ .Para el ǫ > 0 fijado, existe δ > 0 que satisface la condición de la hipótesis. Ahora, porla convergencia de (t n ) n≥1 , para δ > 0, existe n 0 > 0 tal quees decir,0 < t n − t < δ y 0 < t m − t < δ ∀ n, m > n 0 ,t n , t m ∈ (t, t + δ) ∀ n, m > n 0 ,entonces‖x(t n ) − x(t m )‖ < ǫ.