Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

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Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 77Luego,Por otro lado,(I + F K)[x 1 ] = (I + F K)[x 2 ]‖x 1 − x 2 ‖ = ‖F K[x 1 ] − F K[x 2 ]‖∫= ‖ d s K(t, s)[x 1 − x 2 ](s)‖[a,t]= límP∈P[a,b] ‖ n(P)∑[K t (s i ) − K t (s i−1 )][x 1 − x 2 ](ξi ∗ )‖i=1≤ SV u [K]‖x 1 − x 2 ‖.‖x 1 − x 2 ‖ ≤ l‖x 1 − x 2 ‖ =⇒ 0 < (1 − l)‖x 1 − x 2 ‖ ≤ 0.En consecuencia, (I + F K) es inyectivo.ii) Veamos que (I + F K) es sobreyectivo.‖x 1 − x 2 ‖ = 0 ⇐⇒ x 1 = x 2 .En efecto: Sea u ∈ G([a, b]; X), por hipótesis existe un único x ∈ G([a, b]; X) tal quex = Tx =⇒ (I + F K)[x] = u.En consecuencia, (I + F K) es sobreyectivo.De modo que, la aplicaciónG([a, b]; X) ∋ x ↦−→ u = (I + F K)[x] ∈ G([a, b]; X),es continua biyectiva. El Teorema 3.4.2, asegura que existe una correspondencia continuabiyectiva entre la solución x uy la función u, ésta es,G([a, b]; X) ∋ u ↦−→ x u= (I + F K) −1 [u] ∈ G([a, b]; X).Así, podemos expresar la solución de (3.19) comox u= R[u],donde R = (I + F K) −1 : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X),es llamado el operador resolvente de F Ky verifica que1) R es lineal.
Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 782) R es acotado.En efecto: 1) Dados u 1 , u 2 ∈ G([a, b]; X) y α, β ∈ C, demostremos queR[αu 1 + βu 2 ] = αR[u 1 ] + βR[u 2 ].Como u 1 , u 2 ∈ G([a, b]; X), existen x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X) tales que(I + F K)[x 1 ] = u 1(I + F K)[x 2 ] = u 2 .Por otro lado, como αu 1 + βu 2 ∈ G([a, b]; X) y la solución de(I + F K)[x] = αu 1 + βu 2 ,está dada por, R[αu 1 + βu 2 ] = x y x = αx 1 + βx 2 , resulta que2) R es acotado.R[αu 1 + βu 2 ] = αx 1 + βx 2= αR[u 1 ] + βR[u 2 ].En efecto: Se sigue del Teorema 3.4.2, parte b).Por otro lado, la solución de la ecuación (3.13) corresponde al único punto fijo deloperador contráctil H, que obtuvimos como el límite de la sucesión (x n ) n≥0 dada en(3.11), para cualquier x 0 inicial.Si elegimos x 0 = 0, tenemosx 1 = ux 2 = u − F K[u],x 3 = u − F K[u] + F (2) [u], Kx 4 = u − F K[u] + F (2) (3)[u] − F [u],K K· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·x n = u − F K[u] + F (2) (3)[u] − F [u] + · · · + (−1)n−1 F (n−1) [u],K KK· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·por lo tanto, la solución x de (3.13) para u ∈ G([a, b]; X), arbitrario, corresponde al límitede la serie, esto esx =∞∑n=0(−1) n F (n)K[u] = límn∑n→∞m=0(−1) (m) F (m)K[u],
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