Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 101Demostración. Sean x ∈ X y ǫ > 0, queremos demostrar que existe δ > 0 tal que∫10 ≤ t ≤ δ =⇒T(s)xds − x∥ t∥ < ǫ.[0,t]Por la continuidad fuerte de T(t) y para el ǫ > 0 fijado, escojamos un τ > 0, tal que‖T(t)x − x‖ ≤ ǫBasta tomar δ = τ > 0, tal que para t ∈ [0, δ]∀ t ∈ [0, τ].∫1∥ t[0,t]∥ ∥∥∥∥ ∫T(s)xds − x∥ = 1[T(s)x − x]dst∥[0,t]≤ 1 ∫‖T(s)x − x‖dst≤ 1 t[0,t]∫ǫds = ǫ.Así, ∥ ∥∥∥∥ ∫1t[0,t][0,t]T(s)xds − x∥ < ǫ∀ t ∈ [0, s].En consecuencia,1límt→0 + t∫[0,t]T(s)xds = x.□{ }Teorema 4.2.3 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X con generador infinitesimal A. Entonces,i) D(A) es un subespacio vectorial de X.ii) Para cada x ∈ D(A) y para todo t ≥ 0, T(t)x ∈ D(A).iii) Para cada x ∈ D(A) y para todo t ≥ 0, T(t)x es fuertemente diferenciable y,además,d[ ]T(t)x = AT(t)x = T(t)Ax.dt