Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

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Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 127Por otro lado, para cada h ∈ (0, δ),1[ ] ∫T(h) − Ih[0,ρ]T(s)ds = 1 h= 1 h[ ∫[0,ρ][ ∫∫T(s + h)ds −∫T(s)ds −[0,ρ]T(s)dsT(s)ds]][h,ρ+h][ ∫T(s)ds −[0,ρ]∫T(s)ds −∫T(s)ds −∫T(s)ds]= 1 h= 1 h[h,ρ][ ∫T(s)ds −[ρ,ρ+h]∫]T(s)ds .[0,ρ][h,ρ][ρ,ρ+h][0,h]De donde,[1[ ] ∫T(h) − I = 1 T(s)ds −h h[ρ,ρ+h]∫[0,h]T(s)ds]( ∫[0,ρ]T(s)ds) −1,tomando el límite, cuando h → 0, en ambos lados de la igualdad anterior, y por el Teorema4.2.2 y la Definición 4.2.2, parte c),1[ ]límT(h) − I − 1 [ ∫h→0∥hh[ρ,ρ+h]Hemos probado que (0, δ) ∋ h ↦→ 1 h[ ] ( ∫función (0, δ) ∋ ρ ↦→ T(ρ) −IT(s)ds −∫[0,h]T(s)ds]( ∫[0,ρ]∥ lím 1[ ] [ ] [ ∫T(h) − I − T(ρ) − Ih→0 h[0,ρ]T(s)ds) −1 ∥ ∥∥∥∥= 0T(s)ds] −1 ∥ ∥∥∥∥= 0.[ ]T(h) − I ∈ L(X) converge uniformemente a laT(s)ds) −1∈ L(X) lo que implica que 1 h[ ]T(h) −I xconverge fuertemente a[0,ρ][ ] ( ∫T(ρ) − IT(s)ds) −1x, para todo x ∈ X.[0,ρ]En consecuencia, D(A) = X y el generador infinitesimal del semigrupo uniformemntecontinuo es
Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 128A =[ ] ( ∫T(ρ) − IT(s)ds) −1∈ L(X).ii) =⇒ iii)[0,ρ]Queremos probar que T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y T ∈ C([0, r]; L(X)).Por hipótesis T ∈ SV ([0, r]; L(X)) y como SV ([0, r]; L(X)) ⊂ G([0, r]; L(X)) (verHönig [10], Teorema 7.5), entonces la aplicación [0, ∞) ∋ t ↦→ T(t) ∈ L(X) es continuaen t 0 = 0, por lo que T es continua.iii) =⇒ ii) es inmediato.iii) ⇐⇒ iv) se sigue del Teorema 4.2.5.□
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAU
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Índice generalIntroducciónIII1. N
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IntroducciónivIntroducciónConside
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IntroducciónviEstudiar la ecuació
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Introducciónviiix u(t) = u(t) −
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Capítulo 1. Notaciones y resultado
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