Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3Existencia y unicidad de la ecuaciónintegral lineal de Volterra-DushnikEn los capítulos precedentes hemos desarrollado las condiciones necesarias para abordarel estudio de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik∫(K) x(t) + d s K(t, s)x(s) = u(t) t ∈ [a, b],[a,t]por lo que, en este capítulo definimos el operador integral de Volterra-Dushnik, demostramosque es causal, damos un teorema de representación para éste, y estudiamos laexistencia y la unicidad de la solución de (K).3.1. Teorema de representación integral para F αTeorema 3.1.1a) Dados α ∈ SV ([a, b]; L(X, Y )) y x ∈ G([a, b]; X),∫i) existe F α [x] = dα(t)x(t) ∈ Y,[a,b]ii) ‖F α [x]‖ ≤ SV [α]‖x‖.iii) Dado P ∈ P [a,b] tenemos∫∥[a,b]n(P)∑dα(t)x(t) − [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ )∥ ≤ SV [α]ω (x), ·Pi=1donde F α [x] depende solamente de la clase de equivalencia de x yF α [x] = 0 si x ∈ Ω o ([a, b]; X).55