Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 68Teorema 3.2.3i) Si K ∈ G σ 0 ·SV u (D; L(X; Y )), entonces el operador F K∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )],definido como en (3.6), es causal.ii) Si F ∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )] es un operador causal, entonces existeK ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )) tal que F = F K.Demostración. i) Sean x ∈ G([a, b]; X) y para cada t ∈ [a, b] con x| [a,t]= 0. Queremos∣demostrar que F K[x] = 0.∣[a,t]Por hipótesis K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X; Y )), entonces por el Lema 3.2.1, parte i),˜K ∈ G σ 0 · SV u ([a, b] × [a, b]; L(X; Y )).Así,F ˜K[x](t) =∫d s ˜K(t, s)x(s)=[a,b]∫d s K(t, s)x(s) = 0 (ya que x| [a,t]= 0)∣es decir, F K[x]∣[a,t]= 0.[a,t]= F K[x](t),En consecuencia, F Kes causal.ii) Si F ∈ L[G − ([a, b]; X); G([a, b]; Y )] es causal, demostremos queˆK ∈ G σ · SV u (D; L(X; Y )) tal que F = F0 ˆK.Por el Teorema 3.2.1, existe K ∈ G σ · SV u([a, b] × [a, b]; L(X; Y )) tal quea∫F[x](t) = d s K(t, s)x(s) t ∈ [a, b],[a,b]donde K(t, s)x = F[χ [a,s]x](t) para (t, s) ∈ [a, b] × [a, b] y x ∈ X, con x ≠ 0.Como F es causal, para s ≥ t tenemos que F[χ [a,s]x](t) = F[χ [a,t]x](t), es decir,K(t, s)x = K(t, t)x =⇒ [K(t, s) − K(t, t)]x = 0 =⇒ K(t, s) − K(t, t) = 0 si s ≥ t.Consideremos ˆK : D −→ L(X, Y ) definida por