Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 126de donde,n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥ ∥ T(t i ) − T(t i−1 ) x i ≤i=1≤n(P)∑i=1n(P)∑i=1∞∑k=0∞∑k=0|t k i − t k i−1|‖A‖ k ‖x i ‖k!Como A ∈ L(X), entonces existe M > 0 tal que ‖A‖ ≤ M.Así,supsupx i ∈XP∈P[0,r]‖x i ‖≤12r k n(P)| ∑k! ‖A‖k = 2e r‖A‖ = 2n(P)e r‖A‖ .i=1n(P)∑[ ] ∥ ∥∥∥ ∥ T(t i ) − T(t i−1 ) x i ≤ 2n(P)e rM .i=1En consecuencia, T ∈ SV ([0, r]; L(X)).ii) =⇒ i)Por hipótesis C 0 (N) no está incluido en X. Entonces, por el Teorema 4.2.6, el generadorinfinitesimal A : D(A) ⊂ X −→ X de un semigrupo fuertemente continuo es acotado.Queremos probar que D(A) = X y A ∈ L(X).Por la Definición 4.2.2, parte c), resulta∫1lím T(s)ds = I,ρ→0 ρ[0,ρ]es decir, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal quesi |ρ| < δ, entonces ‖I − 1 ρ∫T(s)ds‖ < 1.[0,ρ]Así,∫T(s)ds‖ < 2, (ya que ‖I‖ = 1),entonces 1 ρ∫‖ 1 ρ[0,ρ]T(s)ds es invertible en L(X) y, por lo tanto,∫T(s)ds también es invert-[0,ρ]ible en L(X).[0,ρ]