Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...
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Capítulo 4. Algunas aplicaciones <strong>de</strong> la ecuación integral lineal <strong>de</strong> <strong>Volterra</strong>-<strong>Dushnik</strong> 91F ∗ K [y](t) := ∫[a,t]K(t, s) ∗ dy(t)∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) ∀ t ∈ [a, b],don<strong>de</strong> K(t, s) ∗ ∈ L(X ′ ) es el operador transpuesto <strong>de</strong> K(t, s) ∈ L(X).□Las propieda<strong>de</strong>s que veremos a continuación nos serán <strong>de</strong> ayuda <strong>en</strong> la resolución <strong>de</strong> laecuación adjunta a (K).Teorema 4.1.4 Sean K ∈ G σ · SV u (D; L(X)), F0 K∈ L[G − ([a, b]; X)], el operador <strong>de</strong><strong>Volterra</strong>-<strong>Dushnik</strong> e I ∈ L[G − ([a, b]; X)] operador i<strong>de</strong>ntidad. Entonces,a) I ∗ = I,b) (I + F K) ∗ = I + F ∗,Kc) Si (I + F K) ∈ L[G − ([a, b]; X)] es invertible, <strong>en</strong>toncesc 1 )c 2 )() ∗ ( ) ∗,(I + F K) −1 (I + F K) = (I + FK ) ∗ (I + F K) −1[ ] ∗(I + F K) −1 = (I + F∗)−1 .KDemostración.a) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). T<strong>en</strong>emosI[y](x) = y(x)= y(I[x])= (yI)[x]= I ∗ [y](x).Luego,(I − I ∗ )[y](x) = 0 ∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecu<strong>en</strong>cia, I ∗ = I.b) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). Entonces,