Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 57Así,n(P)∑∥‖S P,ξ ∗(x, α)‖ = ∥ [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ∥∥ ) ≤ SV [α]‖x‖.i=1‖límP∈P[a,b]iii) Queremos probar que F α [x] = 0S P,ξ ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]‖x‖ =⇒ ‖F α [x]‖ ≤ SV [α]‖x‖.∀ x ∈ Ω 0 ([a, b]; X).Sea x ∈ Ω 0 ([a, b]; X). Entonces, por la Definición 2.1.2, para todo ǫ > 0, existeP ǫ ∈ P[a, b] tal que{t ∈ [a, b] : ‖x(t)‖ >ǫ }⊂ P ǫ .SV [α]Ahora, sea P ∈ P[a, b] con P ≥ P ǫ , y como ξ ∗ i ∉ P ǫ con ‖x(ξ ∗ i )‖ 0.∀ x ∈ Ω 0 ([a, b]; X).Por otro lado, para ¯P ≥ P,Así,esto es,∫∥[a,b]‖‖S ¯P, ξ ¯∗(x,α) − S P,ξ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]ω (x). ·PlímP∈P[a,b]S ¯P, ξ ¯∗(x,α) − S P,ξ∗(x, α)‖ ≤ SV [α]ω (x), ·Pn(P)∑∥dα(t)x(t) − [α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ∥∥ ) ≤ SV [α]ω ·P (x).i=1b) Definimos Φ : SV a ([a, b]; L(X, Y )) −→ L[G − ([a, b], X); Y ] porΦ[α]x := F α [x]