Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 2. Integral de Dushnik 50c) =⇒ a)∫Sea y ∈ G([a, b]; X). Queremos demostrar que x(t) = x(a) +y(s)ds∀ t ∈ [a, b].Como y ∈ G([a, b]; X), entonces por el Teorema 1.1.2 existe (y n ) n≥1 ⊂ E([a, b]; X) talquelím y n(t) = y(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Ahora, para cada n ≥ 1, definimos x n : [a, b] −→ X por∫x n (t) = x(a) + y n (s)ds ∀ t ∈ [a, b] (2.8)[a,t]la cual verifica:[a,t]i) (x n ) n≥1 converge uniformemente a ˜x.ii) ˜x, x ∈ C([a, b]; X) tal que ˜x = x y ˜x es una primitiva de y.En efecto: i) Tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (2.8) y aplicandoel Teorema 2.2.5,∫lím x n(t) = x(a) + límn→∞ n→∞∫lím x n(t) = x(a) +n→∞[a,t][a,t]y(s)dsy n (s)ds∀ t ∈ [a, b].∀ t ∈ [a, b].Definimos ˜x : [a, b] −→ X por∫˜x(t) = x(a) +y(s)ds∀ t ∈ [a, b].[a,t]Así, (x n ) n≥1 converge uniformemente a ˜x y, por la hipótesis c), x es continua y∫˜x(a) = x(a) + y(s)ds =⇒ ˜x(t) = x(a).[a,a]Además, por el Teorema 1.1.2 y la parte ii) =⇒ i), resulta que ˜x ∈ G([a, b]; X) y comoa) =⇒ b) =⇒ c), tenemos que ˜x es la primitiva de y, es decir, ˜x ′ (t) = y(t) = x ′ (t) fuerade un conjunto numerable de [a, b]. En consecuencia, ˜x = x.□