Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 117Por otro lado, sea u ∈ G([0, r]; X). Entonces, por el Teorema 1.1.2, parte ii) existe(u n ) n≥1 ⊂ E([0, r]; X) tal que (u n ) n≥1 converge uniformemente a u.De modo que,∫[] ∫T(t − s)u n (s) − u n (s) ds =[ ∫d s T(τ − s)u n (s)]dτ 0 ≤ t ≤ r,[0,t][0,t][0,τ]tomando el límite, cuando n → ∞, en ambos lados de la igualdad anterior y por lacontinuidad de ambas integrales, resulta que∫[]T(t − s)u(s) − u(s) ds =∫[ ∫d s T(τ − s)u(s)]dτ 0 ≤ t ≤ r,[0,t][0,t][0,τ]para todo u ∈ G([0, r]; X).Por otro lado, de la ecuación (4.33), y de las propiedades de la integral de Cauchy-Riemann, resulta∫T(t − s)u(s)ds =∫[ ∫] ∫d s T(τ − s)u(s) dτ +u(s)ds[0,t]∫T(t − s)u(s)ds =[0,t]∫[0,τ]A[ ∫[0,t]] ∫T(τ − s)u(s)ds dτ +u(s)ds (Lema 4.2.2, parte ii))[0,t]v(t) =[0,t]∫[0,τ]∫Av(τ)dτ +[0,t]u(s)ds (Por la definición de v)[0,t]∫v(t) = A[0,t]∫v(τ)dτ +u(s)ds(Por el Teorema 4.2.3, parte iv))[0,t][0,t]Queremos demostrar que para todo t ∈ [0, r) existe d+dt v(t).