Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 14Demostración. Sea (x n ) n≥1 ⊂ G − ([a, b]; X) una sucesión de Cauchy. Por hipótesis,G − ([a, b]; X) ⊂ G([a, b]; X), así que (x n ) n≥1 es una sucesión de Cauchy en G([a, b]; X), elcual es un espacio completo, por lo tanto, existe x 0 ∈ G([a, b]; X), tal queAfirmación 1x 0 (t) = límn→∞x n (t) ∀ t ∈ [a, b]. (1.7)x 0 un punto de acumulación de G − ([a, b]; X).En efecto: Por (1.7), para todo ǫ > 0, existe n 0 > 0 tal que x n ∈ B(x 0 , ǫ) ∀ n > n 0 . Demodo que(B(x 0 , ǫ) − {x 0 }) ∩ G − ([a, b]; X) ≠ ∅,esto, prueba que x 0 es un punto de acumulación de G − ([a, b]; X). Y comoG − ([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) por hipótesis, tenemos que x 0 ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, G − ([a, b]; X) es un espacio de Banach.□Definición 1.2.2 Definimos Ω 0 ([a, b]; X) { el conjunto de todas}las funciones x ∈ G([a, b]; X)tales que, para todo ǫ > 0, el conjunto t ∈ [a, b] : ‖x(t)‖ ≥ ǫ es finito.Proposición 1.2.1 (Hönig [6], Teorema I.3.9) El espacio Ω 0 ([a, b]; X) es un subespaciocerrado de G([a, b]; X).Definición 1.2.3 Para cada x ∈ G([a, b]; X), definimos{ x(t − ), si t ∈ (a, b],I −[x](t) :=0, si t = a.Teniendo en cuenta esta definición, consideremos el siguiente resultado.Proposición 1.2.2i) I −es una proyección continua de G([a, b]; X) sobre G − ([a, b]; X).ii) El Kernel de I −es Ω 0 ([a, b]; X).iii) G − ([a, b]; X) ∩ Ω 0 ([a, b]; X) = {0}y G([a, b]; X) = G − ([a, b]; X) + Ω 0 ([a, b]; X).Demostración. Primero demostremos que I −[x] ∈ G([a, b]; X) ∀ x ∈ G([a, b]; X). Seax ∈ G([a, b]; X), veamos que