Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 83Así,〈〉ϕ y(α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = F K[α 1 x 1 + α 2 x 2 ], y〈〉= α 1 F K[x 1 ] + α 2 F K[x 2 ], y= y(α 1 F K[x 1 ] + α 2 F K[x 2 ])(por ser F Klineal)= α 1 yF K[x 1 ] + α 2 yF K[x 2 ] (por ser y lineal)= α 1 ϕ y(x 1 ) + α 2 ϕ y(x 2 ). (por la definición de ϕ y)En consecuencia, ϕ yes lineal.ii) Sea x ∈ G − ([a, b]; X),|ϕ y(x)| = |yF K[x]|≤ ‖y‖‖F K[x]‖≤ ‖y‖‖F K‖‖x‖.(por ser y acotada)(por ser F Kacotada)Tomando c y= ‖y‖‖F K‖ > 0 tenemos|ϕ y(x)| ≤ c y‖x‖ ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).Se sigue que, ϕ yes acotada.Ahora, definimos F ∗ : BV Ka([a, b]; X ′ ) −→ BV a ([a, b]; X ′ ) porF ∗ [y] = ϕ K y∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ).Lo cual es equivalente ao bien equivalente a(yF K)[x] = ϕ y(x) ∀ x ∈ G − ([a, b]; X),(yF K)[x] = F ∗ K [y](x) ∀ y ∈ BV a([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X), (4.1)o equivalente a〈 〉 〉F K[x], y =〈x, F ∗ [y] K∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).El operador F ∗ K recibe el nombre de operador adjunto de F K .Los siguientes resultados son consecuencia del Teorema de Hahn-Banach.