Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 100c) Para todo t ≥ 0,1límρ→0 ρ∫[t,t+ρ]T(s)ds = T(t).4.2.3. El generador infinitesimal de un semigrupo fuertementecontinuoDefinición 4.2.3 Sea{ }T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X. Para todo t > 0 definimos el operador lineal A t porConsideremos el subespacioA t x := 1 [T(t) − I]x ∀ x ∈ X.tD(A) :={}x ∈ X : lím A tx existe ,t→0 +y definamos el operador lineal (no necesariamente continuo) A : D(A) −→ X medianteAx := límt→0 + A tx.El operador A es { llamado } el Generador infinitesimal del semigrupo fuertementecontinuo T(t) .Observación 4.1t≥01) En la definición anterior, es un abuso decir que A es un operador, pues no sabemosque D(A) sea denso en X, propiedad que demostramos más adelante.2) La definición de generador infinitesimal A de un semigrupo fuertemente continuoproporciona una manera de calcular A.Ejemplo 4.2 (Curtain and Zwart [2], Ejemplo 2.1.9) En el semigrupo fuertemente continuoT(t) = e At , del Ejemplo 4.1, A ∈ L(X) es el generador infinitesimal de T(t).{ }Teorema 4.2.2 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre X con generadorinfinitesimal A. Entonces, para todo x ∈t≥0X,1límt→0 + t∫[0,t]T(s)xds = x.