Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 59esto es,‖Φ[α]‖ =supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖≤ SV [α],‖Φ[α]‖ ≤ SV [α] ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )). (3.1)En consecuencia, Φ es acotada.3) Afirmación 1SV [α] ≤supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).En efecto: Por la definición de supremo, para todo ǫ > 0, existe x ǫ ∈ G − ([a, b], X) conx ǫ ≠ 0 tal queTomando x 1 = xǫ‖x ǫ‖ . Entonces, x 1 ≠ 0 y así,De donde,supx∈G − ([a,b],X)x̸=0supx∈G − ([a,b],X)x̸=0‖Φ[α]x‖‖x‖‖Φ[α]x‖‖x‖SV [α] − ǫ ≤ ‖Φ[α]x ǫ‖. (3.2)‖x ǫ ‖≥ ‖Φ[α]x 1 ‖x ǫ= ‖Φ[α]‖x ǫ ‖ ‖= ‖Φ[α]x ǫ‖‖x ǫ ‖≥ SV [α] − ǫ. (por (3.2))≥ SV [α] − ǫ ∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )) ∀ ǫ > 0.Del hecho de que la desigualdad anterior sea válida, para todo ǫ > 0, tenemos queSV [α] ≤supx∈G − ([a,b],X)x̸=0Así, de la Afirmación 1, resulta‖Φ[α]x‖‖x‖∀ α ∈ SV a ([a, b]; L(X, Y )).