Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 76Teorema 3.4.3 Sea u ∈ G([a, b]; X). Si K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)) y existe l ∈ R con0 < l < 1 tal que SV u [K] ≤ l, entonces existe una única R ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X))(la resolvente de (K)) tal que toda solución x ude (K) puede ser expresada como∫x u(t) = u(t) −donde el operador resolvente se determina mediante la serieR(t, s) =[a,t]d s R(t, s)u(s) a ≤ t ≤ b (3.17)∞∑(−1) (n) K (n+1) (t, s) (t, s) ∈ D, (3.18)n=0con K (n) ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)), llamados núcleos iterados y los cuales se obtienen recursivamentede la relación⎧⎪⎨⎪⎩K (1) (t, s)K (n+1) (t, s) == K(t, s),∫[s,t]Además, la solución x use puede escribir comod σ K(t, σ) ◦ K (n) (σ, s) ∀ n ≥ 1.x u= (I − F R)[u],donde F Restá dado por una serie de Neumann.Demostración. Por hipótesis, para cada u ∈ G([a, b]; X) la ecuación (K) tiene solución.Definiendo F K∈ L[G([a, b]; X)], como en (3.8), éste es un operador compacto. Así, laecuación (K) la podemos escribir(I + F K)[x] = u, (3.19)para todo x ∈ G([a, b]; X), donde (I + F K) : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X).Afirmación 1(I + F K) es biyectivo.En efecto: i) Veamos que (I + F K) es inyectivo.Sean x 1 , x 2 ∈ G([a, b]; X) tales que