Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 70Así, existe M > 0 tal queAdemás,‖Φ[K]‖ ≤ MSV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )).‖Φ[K]‖ = ‖F K‖ = ‖F ˜K‖= SV u [ ˜K] = sup SV [a,t][K t ] = SV u [K].t∈[a,b]De modo que, ‖Φ[K]‖ = SV u [K] ∀ K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X, Y )).Finalmente, si F ∈ L[G − ([a, b], X); G([a, b], Y )] es un operador causal, entoncesF = F K, por el Teorema 3.2.3, parte ii).□Teorema 3.2.5 (Hönig [10], Teorema 2.4) Sean α ∈ SV ([a, b]; L(X, Z)),K ∈ G σ ·SV u ([c, d]×[a, b]; L(X, Y )) y x ∈ G([a, b]; X) [ x ∈ G σ ([a, b]; L(W, X) ] definimos∫F α[K](s) := dα(t) ◦ K(t, s) a ≤ s ≤ b.F K[x](t) :=[c,d]∫d s K(t, s)x(s) c ≤ t ≤ d.Entonces,[a,b]a) F α[K] ∈ SV ([a, b]; L(X, Z)) con SV [F α[K]] ≤ SV [α]SV u [K].[]b) F K[x] ∈ G([c, d], Y ) F K[x] ∈ G σ ([c, d]; L(W, Y )) con ‖F K[x]‖ ≤ SV u [K]‖x‖.c)∫d s[∫]dα(t) ◦ K(t, s) x(s) =∫[∫dα(t)]d s K(t, s)x(s) .[a,b][c,d][c,d][a,b]3.3. Existencia y unicidad de (K)La ecuación (K) podemos escribirla como Hx = x con H : G([a, b]; X) −→ G([a, b]; X)el operador definido porHx = u − F K[x], (3.7)donde F K∈ L[G([a, b]; X)] es compacto (ver J. Quintero [16] Teorema 2.3.2), dado por