Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 75(I + F K)S n = (I − (−F K))S nDe donde,= (I − (−F K))(I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n)K K= I − F K+ F (2) − F (3)K K· · · + (−1) n F (n)KK )+ · · · + (−1)n F (n)K + F K − F (2)− (−1)(n+1) F (n+1)KK − · · ·= I − (−1) n+1 F (n+1)K= (I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n) )(I − (−F ))K KK K= S n (I + F K).(I + F K)S n = I − (−1) n+1 F (n+1)K= S n (I + F K). (3.16)Ahora, pasando el límite, cuando n → ∞, en (3.16), y utilizando (3.15)(I + F K) lím S n = I − lím (−1) n+1 F n+1 = lím Sn→∞ n→∞ Kn (I + Fn→∞K)Así,(I + F K)S = I = S(I + F K).S = (I + F K) −1 =∞∑n=0(−1) n F (n)K . □El siguiente resultado establece las condiciones para que el operador (I + F K), linealacotado, sea una aplicación abierta y tenga inverso acotado.Teorema 3.4.2 (Kreyszig [13] Teorema 4.12-2)Sean G([a, b]; X) un espacio de Banach y (I + F K) ∈ L[G([a, b]; X)]. Entonces,a) Si (I + F K) es sobreyectiva, entonces (I + F K) es abierta.b) Si (I + F K) es biyectiva, entonces (I + F K) −1 es continua (y por lo tanto acotada).El siguiente resultado nos proporciona un método de resolución de la ecuación (K) através de la resolvente. Aporte significativo para la teoría de ecuaciones integrales linealesde Volterra-Dushnik.