Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 2. Integral de Dushnik 36i) Diremos que x es Dushnik integrable sobre [a, b] con respecto a la función α, siel límite∑[α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξi ∗ ) donde ξi ∗ ∈ (t i−1 , t i )n(P)límP∈P[a,b]i=1existe, y lo denotaremos∫[a,b]dα(t)x(t).Y escribiremos x ∈ D α ([a, b]; X).ii) Diremos que x es Riemann-Stieltjes integrable sobre [a, b] con respecto a lafunción α, sin(P)lím‖P‖→0i=1∑[α(t i ) − α(t i−1 )]x(ξ i ) donde ξ i ∈ [t i−1 , t i ]existe, y lo denotaremos∫(R-S)[a,b]dα(t)x(t).Y escribiremos x ∈ RS α ([a, b]; X).Observación 2.11) Si α(t) = t, entonces la integral de Riemann-Stieltjes coincide con la integral deRiemann.El siguiente resultado nos indica que la integral de Dushnik generaliza la integral deRiemann-Stieltjes.∫Teorema 2.1.1 (Hönig [7], Teorema I.1.1) Si existe (R-S)dα(t)x(t), entonces existe∫[a,b]∫dα(t)x(t) = (R-S)[a,b][a,b]dα(t)x(t).A continuación daremos, un ejemplo donde se demuestra que el recíproco del Teorema2.1.1 no es cierto.