Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 2. Integral de Dushnik 40Lema 2.2.1 Dado que (E([a, b]; X), ‖ ‖) es un espacio normado. Entonces, la integralI : E([a, b]; X) −→ X dada por∫I[s] := s(t)dt ∀ s ∈ E([a, b]; X),es una aplicación que verificai) I está bien definida.[a,b]ii) I es lineal, acotada y ‖I‖ ≤ (b − a).Demostración. i) sea s ∈ E([a, b]; X), demostraremos que I[s] es independiente de laescogencia de la partición P ∈ P[a, b] tal que s es constante en los subintervalos abiertosgenerados por P. Sea Q una partición más fina que P, es decir, Q = P ∪ {t} ∈ P[a, b].Así,x 1 (t 1 − t 0 ) + ... + x i (t − t i−1 ) + x i (t − t i ) + ... + x n (t n − t n−1 ) == x 1 (t 1 − t 0 ) + ... + x i (t i − t i−1 ) + ... + x n (t n − t n−1 )n∑= x i (t i − t i−1 ).i=1En consecuencia, I[s] no cambia. De modo que, I[s] es el mismo para todos los refinamientosde P.ii) I es lineal.En efecto: Sean s 1 , s 2 ∈ E([a, b]; X), demostraremos que I[s 1 + s 2 ] = I[s 1 ] + I[s 2 ].Como s 1 , s 2 ∈ E([a, b]; X), existen P 1 , P 2 ∈ P[a, b] tales que s 1 y s 2 son constantes en lossubintervalos abiertos generados por P 1 y P 2 , respectivamente.Basta tomar Q = P 1 ∪ P 2 ∈ P[a, b] tal que s 1 + s 2 es constante en cada subintervarloabierto generado por Q y definiendo I[s 1 ] y I[s 2 ], usando la partición Q,I[s 1 ] + I[s 2 ] =∫s 1 (t)dt +∫s 2 (t)dt[a,b] [a,b]= S(s 1 , Q) + S(s 2 , Q) =n∑x i (t i − t i−1 ) +i=1n∑= (x i + x ′ i )(t i − t i−1 ) = S(s 1 + s 2 , Q)i=1∫= [s 1 (t) + s 2 (t)]dt = I[s 1 + s 2 ].n∑x ′ i(t i − t i−1 )i=1[a,b]