Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 80de esto, y de la ecuación (3.19), resultadonde F (n)Kx u= (I + F K) −1 [u], (3.20)∞∑x u(t) = (−1) (n) F (n) [u](t),Kn=0x u(t) = u(t) +∞∑n=1(−1) (n) F (n)K[u](t), (3.21)es compacto (ver J. Quintero [16] Teorema 2.3.5), está definido por∫F (n) [u](t) = K[a,t]d s K (n) (t, s)u(s) = FK[u](t). (3.22)(n)Tal operador está asociado a K (n) ∈ G σ o · SV u (D; L(X)), donde⎧⎪⎨⎪⎩K (1) (t, s) = K(t, s),K (n) (t, s) =∫[s,t]d σ K(t, σ) ◦ K (n−1) (σ, s) ∀ n ≥ 2.Luego, sustituyendo (3.22) en (3.15), la solución podemos escribirla en la formax u(t) = u(t) +[a,t]∞∑∫(−1) (n)n=1[a,t]d s K (n) (t, s)u(s).Ahora, por el Teorema 2.1.4, parte ii),∫ [ ∞]∑x u(t) = u(t) − d s (−1) (n−1) K (n) (t, s) u(s), (3.23)y la función R(t, s) está determinada porR(t, s) =n=1∞∑(−1) (n) K (n+1) (t, s). (3.24)n=0La cual llamaremos Resolvente de la ecuación integral (K), siendo la serie en (3.24)convergente en G σ 0 · SV u (D; L(X)).Sustituyendo la resolvente de (3.24) en (3.23),