Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 19En consecuencia, x es acotada.□Observación 1.41) De la Proposición 1.3.1 resultaG σ ([a, b]; L(W, X)) ⊂ B([a, b]; L(W, X)).El funcional ‖ ‖ : G σ ([a, b]; L(W, X)) −→ R dado por‖x‖ := sup ‖x(t)‖t∈[a,b]∀ x ∈ G σ ([a, b]; L(W, X)),en virtud de la Proposición 1.3.1, está bien definido y es una norma en G σ ([a, b]; L(W, X)).()Teorema 1.3.1 El espacio G σ ([a, b], L(W, X)); ‖ ‖ es un espacio de Banach.Demostración. Sea (α n ) n≥1 ⊂ G σ ([a, b]; L(W, X)) una sucesión de Cauchy, esto es, paratodo ǫ > 0, existe n o > 0 tal queEn consecuencia,‖α n − α m ‖ = sup ‖α n (t) − α m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n 0 . (1.9)t∈[a,b]‖α n (t) − α m (t)‖ < ǫ ∀ n, m > n o , ∀ t ∈ [a, b], (1.10)es decir, para cada t ∈ [a, b], (α n (t)) n≥1 es Cauchy en L(W, X), el cual es un espaciocompleto. Por lo tanto, existe F ∈ L(W, X) tal queF = límn→∞α n (t)Ahora, definimos F = α(t), para el cual∀ t ∈ [a, b].α(t) = límn→∞α n (t)∀ t ∈ [a, b],de esta manera podemos considerar α : [a, b] −→ L(W, X) definido porLa cual verificaα(t) = límn→∞α n (t)∀ t ∈ [a, b].a) α está bien definida.b) límn→∞α n (t) = α(t)en G σ ([a, b]; L(W, X)).