Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

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Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 105En virtud de la definición del operador A h ,∫∫[T(h) − I]A h T(s)xds =h[0,t]= 1 h∫[0,t]T(s)xdsT(h)T(s)xds − 1 h∫T(s)xds= 1 h[0,t]∫[0,t]T(s + h)xds − 1 ∫T(s)xdsh= 1 h[0,t]∫T(s)xds − 1 h∫[0,t]T(s)xds= 1 h[h,t+h]∫T(s)xds − 1 h[0,t]∫T(s)xds.[t,t+h][0,h]Luego,A h∫T(s)xds = 1 h∫T(s)xds − 1 h∫T(s)xds. (4.23)[0,t][t,t+h][0,h]Tomando el límite, cuando h → 0 + , en ambos lados de (4.23)∫lím Ah→0 + h[0,t]1T(s)xds = límh→0 + h1= límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]1T(s)xds − límh→0 + h∫[0,h]T(s)xdsT(s)xds − x. (por el Teorema 4.2.2)Así,Afirmación 1∫lím Ah→0 + h[0,t]1límh→0 + h1T(s)xds = límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]T(s)xds = T(t)x t ≥ 0.T(s)xds − x. (4.24)En efecto: Por el Teorema 4.2.1, parte b), resulta que líms→tT(s)x = T(t)x. Esto es, paratodo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que |s − t| < δ implica que ‖T(s)x − T(t)x‖ < ǫ.
Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 106Así, para el fijado ǫ > 0 y δ > 0 tal que 0 < |t + h − t| = |h| = h < δ, resulta∥ 1 ∫(T(s)x − T(t)x)ds∥ ≤ 1 ∫‖T(s)x − T(t)x‖ds < ǫ.hh[t,t+h]1En consecuencia, límh→0 + h∫[t,t+h][t,t+h]T(s)xds = T(t)x.Por otro lado, de (4.24) y la Afirmación 1,∫A T(s)xds = T(t)x − x.[0,t]Ahora, sean t ≥ 0, x ∈ D(A) y h > 0. Entonces, las funciones[T(h)x − x][0, t] ∋ s ↦→ T(s)hconvergen uniformemente a la función [0, t] ∋ s ↦→ T(s)Ax ∈ X, cuando h → 0 + . Así,∈ X[T(h) − I]límh→0 + h∫[0,t]∫T(s)xds = límh→0 +=∫[0,t]T(s)T(s)Axds,[T(h) − I]xdsh[0,t]de donde,∫AT(s)xds =∫T(s)Axds = T(x) − x.[0,t][0,t]□Con ayuda de este Teorema 4.2.3 demostremos que el generador infinitesimal, introducidoen la Definición 4.2.3, aunque en general no es acotado, tiene otras propiedades:{ }Teorema 4.2.4 Sea T(t) un semigrupo fuertemente continuo sobre un espacio det≥0Banach X con generador infinitesimal A. Entonces,i) D(A) es denso en X.ii) A es un operador lineal cerrado.
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAU
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Índice generalIntroducciónIII1. N
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IntroducciónivIntroducciónConside
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Introducciónviiix u(t) = u(t) −
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Capítulo 1. Notaciones y resultado
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