Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 87b) y(F K[x 0 ]) = d.En consecuencia, y(F K[x 0 ]) = ‖F K[x 0 ]‖.□Teorema 4.1.2 Sean K ∈ G σ o · SV u (D; L(X)) y F K∈ L[G − ([a, b]; X)]. Entonces,F ∗ K ∈ L[BV a([a, b]; X ′ )] y ‖F ∗ K ‖ = ‖F K ‖.Demostración. Veamos en primer lugar que F ∗ Kes lineal y acotado.F ∗ Kes lineal.En efecto: Sean y 1 , y 2 ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y λ 1 , λ 2 ∈ F, queremos demostrar queF ∗ K [λ 1y 1 + λ 2 y 2 ](x) = λ 1 F ∗ K [y 1](x) + λ 2 F ∗ K [y 2]Sea x ∈ G − ([a, b]; X),∀ x ∈ G − ([a, b]; X).F ∗ [λ K1y 1 + λ 2 y 2 ](x) = (λ 1 y 1 + λ 2 y 2 )F K[x]= λ 1 y 1 F K[x] + λ 2 y 2 F K[x]= λ 1 (y 1 F K)(x) + λ 2 (y 2 F K)(x)= λ 1 F ∗ [y K1](x) + λ 2 F ∗ [y K2](x).F ∗ Kes acotado.En efecto: Por definicióndonde ‖F ∗ K [y]‖ =supx∈G − ([a,b];X)‖x‖=1‖F ∗ K ‖ =‖F ∗ K [y](x)‖ =‖y(F K[x])‖ ≤ ‖y‖‖F K[x]‖ ≤ SV [K]‖x‖supy∈BV a([a,b];X ′ )‖y‖=1supx∈G − ([a,b];X)‖x‖=1‖F ∗ K [y]‖,‖y(F K[x])‖ ≤ SV [K] ∀x ∈ G − ([a, b]; X) con ‖x‖ = 1.‖y(F K[x])‖, y como∀x ∈ G − ([a, b]; X) con ‖x‖ = 1, resulta quePor lo tanto, ‖F ∗ K [y]‖ ≤ SV [K] ∀y ∈ BV a([a, b]; Y ′ ) con ‖y‖ = 1, de donde‖F ∗ ‖ ≤ SV [K] = ‖F ‖. Así, ‖F K K∗ K ‖ ≤ ‖F K ‖.En consecuencia, F ∗ es lineal y acotado.K