Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...
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Capítulo 4. Algunas aplicaciones <strong>de</strong> la ecuación integral lineal <strong>de</strong> <strong>Volterra</strong>-<strong>Dushnik</strong> 105En virtud <strong>de</strong> la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l operador A h ,∫∫[T(h) − I]A h T(s)xds =h[0,t]= 1 h∫[0,t]T(s)xdsT(h)T(s)xds − 1 h∫T(s)xds= 1 h[0,t]∫[0,t]T(s + h)xds − 1 ∫T(s)xdsh= 1 h[0,t]∫T(s)xds − 1 h∫[0,t]T(s)xds= 1 h[h,t+h]∫T(s)xds − 1 h[0,t]∫T(s)xds.[t,t+h][0,h]Luego,A h∫T(s)xds = 1 h∫T(s)xds − 1 h∫T(s)xds. (4.23)[0,t][t,t+h][0,h]Tomando el límite, cuando h → 0 + , <strong>en</strong> ambos lados <strong>de</strong> (4.23)∫lím Ah→0 + h[0,t]1T(s)xds = límh→0 + h1= límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]1T(s)xds − límh→0 + h∫[0,h]T(s)xdsT(s)xds − x. (por el Teorema 4.2.2)Así,Afirmación 1∫lím Ah→0 + h[0,t]1límh→0 + h1T(s)xds = límh→0 + h∫[t,t+h]∫[t,t+h]T(s)xds = T(t)x t ≥ 0.T(s)xds − x. (4.24)En efecto: Por el Teorema 4.2.1, parte b), resulta que líms→tT(s)x = T(t)x. Esto es, paratodo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que |s − t| < δ implica que ‖T(s)x − T(t)x‖ < ǫ.
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