Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

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Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 91F ∗ K [y](t) := ∫[a,t]K(t, s) ∗ dy(t)∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) ∀ t ∈ [a, b],donde K(t, s) ∗ ∈ L(X ′ ) es el operador transpuesto de K(t, s) ∈ L(X).□Las propiedades que veremos a continuación nos serán de ayuda en la resolución de laecuación adjunta a (K).Teorema 4.1.4 Sean K ∈ G σ · SV u (D; L(X)), F0 K∈ L[G − ([a, b]; X)], el operador deVolterra-Dushnik e I ∈ L[G − ([a, b]; X)] operador identidad. Entonces,a) I ∗ = I,b) (I + F K) ∗ = I + F ∗,Kc) Si (I + F K) ∈ L[G − ([a, b]; X)] es invertible, entoncesc 1 )c 2 )() ∗ ( ) ∗,(I + F K) −1 (I + F K) = (I + FK ) ∗ (I + F K) −1[ ] ∗(I + F K) −1 = (I + F∗)−1 .KDemostración.a) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). TenemosI[y](x) = y(x)= y(I[x])= (yI)[x]= I ∗ [y](x).Luego,(I − I ∗ )[y](x) = 0 ∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, I ∗ = I.b) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X). Entonces,
Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 92(I + F K) ∗ [y](x) = (y(I + F K))[x]= (yI + (yF K))[x]= (yI)[x] + (yF K)[x]= I ∗ [y](x) + F ∗ [y](x) K= I[y](x) + F ∗ [y](x) ( ya que I∗ = I)K= (I + F ∗ )[y](x).KLuego,((I + F K) ∗ − (I + F ∗ K ) )[y](x) = 0∀ y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ), ∀ x ∈ G − ([a, b]; X).En consecuencia, (I + F K) ∗ = (I + F ∗ K ).c) c 1 ) Sean y ∈ BV a ([a, b]; X ′ ) y x ∈ G − ([a, b]; X).〈〉)[ ](I + F K) −1 (I + F K)[x]; y =(y(I + F K) −1 (I + F K)[x]) ∗[y] ( )=((I + F K) −1 (I + F K)[x]〈) ∗[y] 〉= (I + F K)[x];((I + F K) −1(( ) ∗[y](I )= (I + F K) −1 + FK ) [x][( ) ∗[y]= (I + F K) ∗ (I + F K)][x]−1) ∗[y](x),= (I + F K)((I ∗ + F K) −1de donde,〈〉 ( ) ∗[y](x).(I + F K) −1 (I + F K)[x]; y = (I + F K) ∗ (I + F K) −1 (4.4)Por otro lado,〈〉 ()(I + F K) −1 (I + F K)[x]; y = y(I + F K) −1 (I + F K) [x](∗[y](x).= (I + F K) −1 (I + F K))
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAU
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Capítulo 1. Notaciones y resultado
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