Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

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Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 119Afirmación 2∫i) A T(r − s)u(s)ds existe.[0,r]∫ii) AT(r − s)u(s)ds es continua en u ∈ G([0, r]; X).[0,r]En efecto: i) Como v(t) ∈ D(A) resulta que v(t) es diferenciable y existe Av(t).ii) Sea u 0 ∈ G([0, r]; X), demostremos que∫∫lím A T(r − s)u(s)ds = Au→u 0[0,r][0,r]T(r − s)u 0 (s)ds.Como,∫∥ A[0,r]∫T(r − s)u(s)ds − A[0,r]T(r − s)u 0 (s)ds∥[ ∫]∥ ∥∥∥∥=∥ A T(r − s)(u(s) − u 0 (s))ds[0,r]∫≤ K∥[0,r]T(r − s)(u(s) − u 0 (s))ds∥∫≤ K ‖T(r − s)‖‖u(s) − u 0 (s)‖ds[0,r]≤ KMr‖u − u 0 ‖.Se sigue que,∫∥ A[0,r]∫T(r − s)u(s)ds − A[0,r]T(r − s)u 0 (s)ds∥ ≤ KMr‖u − u 0‖,tomando el límite, cuando u → u 0 , en ambos lados de la desigualdad anterior, resulta∫∫lím A T(r − s)u(s)ds = A T(r − s)u 0 (s)ds.u→u 0[0,r][0,r]
Capítulo 4. Algunas aplicaciones de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 120∫Esto prueba que AT(r−s)x(s)ds es continua en u 0 ∈ G([0, r]; X). Entonces, existeC > 0 tal que[0,r][0,r]∫∥ A T(r − s)x(s)ds∥ ≤ C‖u‖∀ u ∈ G([0, r]; X).Por el Lema 4.2.2, parte ii), y lo anterior,∫d∥ s T(r − s)u(s)∥ ≤ C‖u‖[0,r]∀ u ∈ G([0, r]; X).∫Pero, como SV [0,r] [T] es la menor de las cotas superiores del operador,d s T(r − s)u(s), resulta que SV [0,r] [T] ≤ C, esto es, T es de semivariación acotada.[0,r]□Definición 4.2.4 Sea C 0 (N) el espacio vectorial de todas las sucesiones x = (x n ) n≥1 ⊂ Ctal que para todo ǫ > 0, existe n 0 ≥ 1 con |x n | < ǫ ∀ n ≥ n 0 . Es claro que,‖x‖ = sup |x n | es una norma sobre C 0 (N).n∈NEl siguiente ejemplo ilustra un generador infinitesimal de un semigrupo fuertementecontinuo que no es continuo.[ ]Ejemplo 4.3 La aplicación [0, ∞) ∋ t ↦→ T(t) ∈ L C 0 (N)verifica)T(t)x =(e −nt x ni) T está bien definida.{ }ii) T(t) es un semigrupo fuertemente continuo.t≥0( [ ])iii) T ∈ SV [0, r]; L C 0 (N) .iv) El generador infinitesimal de{ }T(t)t≥0∀ x ∈ C 0 (N),no es continuo.definida por
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Índice generalIntroducciónIII1. N
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IntroducciónivIntroducciónConside
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IntroducciónviEstudiar la ecuació
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Introducciónviiix u(t) = u(t) −
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Capítulo 1. Notaciones y resultado
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