Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 1. Notaciones y resultados fundamentales 33tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.16) resulta que para todo t ∈ [a, b]lím (K n) s x(t) = lím K n (t, s)xn→∞ n→∞= K(t, s)x= K s x(t)= K s x(t).De modo que,lím (K n ) s x(t) = K s x(t)n→∞∀ t ∈ [a, b].Afirmación 8( )(K n ) s xn≥1En efecto: Sabemos queconverge a K s x en G([a, b]; X).‖(K n ) s x − K s x‖ = sup ‖(K n ) s x(t) − K s x(t)‖, (1.17)t∈[a,b]tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.17),lím ‖(K n) s x − K s x‖ = 0.n→∞( )Así, para cada s ∈ [a, b] y para todo x ∈ X, (K n ) s xn≥1converge a K s x, y porser G([a, b]; X) un espacio de Banach, resulta que para cada s ∈ [a, b] y para todo x ∈ X,la función K s x ∈ G([a, b]; X).En consecuencia, K verifica (G σ ) y K(t, s) = 0 para s ≥ t.(i) Queremos demostrar que SV u [K] < ∞.Por hipótesis, para cada n ≥ 1, K n verifica (SV u ), es decir, sean t ∈ [a, b], P ∈ P[a, b]y x i ∈ X con ‖x i ‖ ≤ 1 (i ∈ {1, 2, ..., n(P)}), tenemos que existe M > 0 tal que∥ n(P)∑ [] ∥∥∥∥ Kn t ∥(s i) − Kn t (s i−1) x i < M ∀ n ≥ 1, (1.18)i=1tomando el límite, cuando n → ∞, en (1.18), resulta∥ n(P)∑ [] ∥∥∥∥ K t (s∥ i ) − K t (s i−1 ) x i < M.i=1