Ecuaciones Integrales Lineales de Volterra-Dushnik en Espacios de ...

Capítulo 3. Existencia y unicidad de la ecuación integral lineal de Volterra-Dushnik 74Teorema 3.4.1 Sea K ∈ G σ 0 · SV u (D; L(X)). Consideremos F K∈ L[G([a, b]; X)], comoen (3.8), tal que existe l ∈ R con 0 < l < 1 ySV u [K] ≤ l.Entonces,(I + F K) −1 =∞∑n=0(−1) n F (n)K ,la cual converge absolutamente en L[G([a, b]; X)].Demostración. TenemosAsí,‖(−1) n F (n) ‖ ≤ ‖F KK ‖n< l n ∀ n ∈ N.‖(−1) n F (n)K ‖ < ln ∀ n ∈ N, (3.14)tomando el límite, cuando n → ∞, a ambos lados de (3.14), lím ‖(−1) n F (n) ‖ = 0. Lon→∞ Kcual es equivalente aDe modo que, la serie∞∑n=0límn→∞ (−1)n F (n) = 0. (3.15)K‖(−1) n F (n)K∞ ‖ es convergente. Luego, la serie ∑(−1) n F (n)converge absolutamente en L[G([a, b]; X)] y, siendo este último un espacio de Banach,existe S ∈ L[G([a, b]; X)] tal queS =∞∑n=0(−1) n F (n)K .Para cada n ≥ 0, formemos las sumas parcialesentonces S = límn→∞S n .Por otro lado, para cada n ≥ 1,S n = I − F K+ F (2) − F (3) + · · · + (−1)n F (n) ,K KKn=0K