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UNIVERSIDAD DE M´ALAGA TESIS DOCTORAL

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<strong>UNIVERSIDAD</strong> <strong>DE</strong> MÁLAGAESCUELA TÉCNICA SUPERIOR <strong>DE</strong> INGENIERÍA <strong>DE</strong> TELECOMUNICACIÓN<strong>TESIS</strong> <strong>DOCTORAL</strong>MODULACIÓN ADAPTATIVA NO I<strong>DE</strong>AL ENCANALES CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSAUTOR:JOSÉ FRANCISCO PARIS ÁNGELDIRECTOR:JOSÉ TOMÁS ENTRAMBASAGUAS MUÑOZ


ic<strong>UNIVERSIDAD</strong> <strong>DE</strong> MÁLAGA<strong>DE</strong>PARTAMENTO <strong>DE</strong>INGENIERÍA <strong>DE</strong> COMUNICACIONES———–E.T.S. INGENIERÍA <strong>DE</strong> TELECOMUNICACIÓNCampus Universitario de Teatinos, E-29071 Málaga (SPAIN)Tlf.: +34 952131440 - Fax: +34 952132027Informe del DirectorEn la Tesis Doctoral de título Modulación Adaptativa No Ideal en Canales conDesvanecimientos realizada por D. José Francisco Paris Ángel bajo mi dirección,se han propuesto aportaciones originales sobre los siguientes temas: esquemasde modulación adaptativa con variación discreta de constelación y potencia quepermiten aproximarse a las prestaciones de los esquemas con variación continua;análisis del efecto de la adaptación no ideal en las prestaciones de lossistemas de modulación adaptativa. Estas aportaciones han dado lugar a variaspublicaciones nacionales e internacionales. Por todo ello, considero que esta Tesises apta para su presentación a trámite de lectura.Málaga a de delFdo.: Dr. D. José Tomás Entrambasaguas Muñoz


AgradecimientosMi primer agradecimiento es, sin duda alguna, para Mari Carmen AguayoyTomás Entrambasaguas. Cuando empecé a trabajar con ellos allá por 1999,mis conocimientos sobre comunicaciones digitales eran mínimos. De los dos heaprendido muchísimo y no sólo contenidos meramente técnicos. Gracias a MariCarmen conseguí ubicarme en este campo y obtener los primeros resultados enun breve espacio de tiempo. La increíble visión global de Tomás y su sentidode lo práctico han servido de líneas maestras para todo el trabajo de tesis.Tanto Mari Carmen como Tomás no sólo son brillantísimos profesionales sinoque poseen una agudeza y una capacidad inusuales para descubrir las clavesde cualquier problema. Esto es precisamente lo más valioso que he aprendidode ellos. En nuestras numerosas reuniones, muy enriquecedoras a pesar delos formulones y de su duración, casi siempre me sorprendía cualquiera delos dos con ese fino detalle o ese matiz que me desmontaba parte o todo el kiosko.Quiero dedicar algunas palabras especiales de agradecimiento a mis compañerosde despacho. Eduardo Martos, el máquina de las señales tambiénreconocido como el Dr. Sincro, me ha hecho ver la luz en numerosas ocasiones.Tanto él como Unai Fernández han conseguido algo muy difícil como es el quete encuentres en tu despacho más entretenido y a gusto que en tu propia casa,además de aguantar mis no pocas brasas.Agradezco también al resto de compañeros de Ingeniería de Comunicacionesel haber encontrado siempre su ayuda y colaboración, en especial a FernandoRuiz, por ayudarme a desvelar algunos de los misterios del canal.Finalmente, quiero concluir afirmando que todo proyecto profesional esinfinitamente más sencillo cuando se está bien en el terreno personal. En estesentido agradezco el apoyo de mi hermana Ángela y de mi madre que, a lo largode toda mi vida, me ha ofrecido todo lo que ha podido y algunas veces más de loque ha podido. Por esta razón, le quiero de dedicar este trabajo a mi madre, porsu amor absolutamente incondicional.Jose Paris


ÍndiceResumen.............................................................................................Abstract..............................................................................................Acrónimos..........................................................................................Tabla de Símbolos................................................................................VIIIXXIXIII1. Introducción 11.1. Estado Actual de las Redes de Acceso Inalámbricas . . . . . . . . . 11.2. Transmisión Digital en el Canal Radio Móvil . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Características del Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Técnicas de Transmisión ..................... 71.3. Fundamentos de la Modulación Adaptativa . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Ámbitos de Aplicación....................... 121.4. Objetivos y Organización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Organización de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Modulación Adaptativa en Canales Planos con Desvanecimientos 172.1. Introducción ................................ 172.2. Modelo de Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1. Desvanecimientos por Propagación Multicamino . . . . . . . 192.2.2. Inclusión de la AtenuaciónaGranEscala ........... 232.3. Descripción General de los Sistemas AQAM . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1. Modelo de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2. Formulación y Modelo de Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3. Definición Formal del Esquema AQAM . . . . . . . . . . . . . 373. Análisis de los Esquemas de Adaptación con Variación Continua 413.1. Introducción ................................ 413.2. Esquemas AQAM con Variación Continua CC-I y CC-A ....... 43III


IVÍNDICE3.2.1. Optimización del Esquema CC-I ................. 433.2.2. Optimización del Esquema CC-A ................ 443.2.3. Cálculo de la SNR de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Prestaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1. Eficiencia Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2. Probabilidad de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573-A. Expresiones Cerradas para las Leyes de Variación del EsquemaCC-A ............................... 573-B. Aproximaciones Analíticas para la SNR de Corte de los EsquemasCC-I con Desvanecimiento Rayleigh . . . . . . . . . 614. Aproximación Discreta a los Esquemas con Variación Continua 654.1. Introducción ................................ 654.2. Esquemas AQAM Discretos DD-I-L y DD-A-L ............. 674.2.1. Descripción General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2. Optimización del Esquema DD-I-L ............... 694.2.3. Optimización del Esquema DD-A-L ............... 764.3. Prestaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.1. Eficiencia Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2. BER Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.3. Información de Señalización ................... 854.3.4. Probabilidad de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5. Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954-A. Umbrales de Conmutación y Niveles de Potencia Óptimos delEsquema DD-I-L .......................... 954-B. Umbrales de Conmutación y Niveles de Potencia Óptimos delEsquema DD-A-L ......................... 1034-C. Ecuación No Lineal que Permite Obtener una Solución Inicialpara el Esquema DD-I con L>1 ................. 1115. Efecto de la Adaptación Imperfecta en las Prestaciones del Sistema 1155.1. Introducción ................................ 1155.2. Modelo de Subsistema de Estimación de Canal . . . . . . . . . . . . 1195.2.1. Descripción General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.2. Estimación de la SNR Instantánea................ 1215.2.3. Estimación de la SNR Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3. Análisis de los Errores de Variación Rápida . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.1. Eficiencia Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


ÍNDICEV5.3.2. BER Instantánea Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3.3. Potencia Transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.4. Probabilidad de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.5. Interpretación de los Resultados Analíticos . . . . . . . . . . 1285.3.6. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4. Inclusión del Error de Variación Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.4.1. Eficiencia Espectral . . . . . . . . . . . ............. 1355.4.2. BER Instantánea Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4.3. Potencia Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4.4. Probabilidad de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4.5. Interpretación de los Resultados Analíticos . . . . . . . . . . 1375.4.6. Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.6. Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435-A. Obtención de la PDF Condicional de la Estimación de la SNRInstantánea............................. 1436. Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación 1456.1. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2. Líneas Futuras de Investigación..................... 147Referencias 149


VIÍNDICE


ResumenEl canal radio comienza a utilizarse de forma masiva para la transmisióndigital a alta velocidad en las redes de acceso. La naturaleza variante de este mediode transmisión aconseja el uso de técnicas adaptativas para aprovechar lacapacidad del canal. Una técnica concreta, la modulación adaptativa, se está introduciendoprogresivamente para mejorar las redes inalámbricas actuales y ala vez se vislumbra como técnica básica para las futuras.En esta tesis se estudia la transmisión digital mediante modulación adaptativaen canales radio que sólo sufren desvanecimientos temporales (canalesplanos). Los sistemas considerados modifican la constelación y la potencia transmitidaen función de cierta información disponible sobre el estado del canal. Elsubsistema de adaptación situado en el receptor estima el canal, decide la constelacióny potencia y, finalmente, envía esta información a través de un canalde señalización preestablecido desde el receptor hacia el transmisor. Idealmente,se asume que el canal de señalización posee capacidad ilimitada y que el procesode adaptación se realiza de forma perfecta (estimación perfecta de canal yadaptación instantánea).La motivación de esta tesis es precisamente abordar algunos aspectos clavesobre el empleo de modulación adaptativa en condiciones no ideales. Se tratanfundamentalmente dos temas: la propuesta y análisis de esquemas de adaptacióncompletamente discretos, característica necesaria si el canal de señalizaciónes de capacidad limitada, y el análisis del efecto de la adaptación imperfecta (estimaciónimperfecta de canal y adaptación no instantánea).Se comienza describiendo en detalle el modelo de sistema considerado, incluidoel modelo de canal y, para facilitar su análisis, se propone una formulaciónbasada en tres escalas de tiempo. Se estudian las prestaciones de los esquemasde variación continua propuestos por Goldsmith et al. Aunque dichos esquemasVII


no son implementables en un sistema real, al suponer la existencia de un canalde señalización con capacidad ilimitada, establecen una cota superior en lasprestaciones que pueden alcanzar los esquemas discretos.A continuación se proponen esquemas completamente discretos que empleanM posibles constelaciones y L posibles niveles de potencia para cada constelación.Los parámetros de estos esquemas son optimizados para alcanzar la máximaeficiencia espectral considerando: limitación en la potencia media transmitiday dos restricciones alternativas en la BER según la escala de tiempo de referencia.Las prestaciones de dichos esquemas (eficiencia espectral, BER, informaciónde señalización y probabilidad de bloqueo) se analizan mediante expresionescerradas y simulaciones. Los resultados demuestran que las prestaciones de losesquemas discretos propuestos pueden aproximarse a las de los continuos conun número reducido de constelaciones y niveles de potencia por constelación.Las prestaciones de cualquier esquema de modulación adaptativa son muysensibles al proceso de adaptación asociado. En un sistema no ideal suelen existirdos fuentes de error principales. Por un lado, la constelación y la potencia seeligen con una estimación ruidosa del canal y, por otro, la transmisión a travésdel canal de señalización y la reconfiguración del transmisor pueden acumularun considerable retardo. En esta tesis se realiza el análisis del impacto de laadaptación imperfecta sobre las prestaciones del sistema cuando se emplea unesquema de adaptación continua de constelación y potencia. La sensibilidad dela eficiencia espectral, BER instantánea, potencia transmitida y probabilidad debloqueo a las diferentes fuentes de error se describe mediante un conjunto denuevas fórmulas analíticas en forma de expresiones cerradas o fáciles de evaluarnuméricamente. Los resultados obtenidos demuestran que la BER es especialmentesensible al ruido de estimación y al retardo de adaptación.


AbstractRadio channels are intensively being used for high-speed digital transmissionin service access networks. Time-varying nature of these channels leads to theutilization of adaptive techniques to exploit its potential capacity. One specifictechnique is adaptive modulation, which is being proposed to improve currentwireless networks and as basic constituent of future networks.In this thesis, adaptive modulation over flat fading radio channels is studied.The considered adaptive modulation systems perform rate-power adaptationaccording to certain channel state information. The adaptation subsystem estimatesthe channel at the receiver, selects the appropriate rate-power and finallysends back this signaling information via certain preestablished signalingchannel from the receiver towards the transmitter. Ideally, unlimited capacityis assumed for the signaling channel and the adaptation process is supposedperfect (perfect channel estimation and instantaneous adaptation).The motivation of this thesis is to tackle some key issues on adaptive modulationunder non ideal conditions. Two main aspects are addressed: new proposalsand analysis of discrete-rate discrete-power adaptive modulation schemes, requiredby capacity-limited signaling channels, and the analysis of the impact ofimperfect adaptation on the system performance (imperfect channel estimationand non-instantaneous adaptation).In the first place, the considered system model is described including thechannel model and, to enable further analysis, a new formulation based onthree different temporal scales is proposed. Then, the adaptive modulation schemesformerly proposed by Goldsmith et al. based on continuous adaptation areanalyzed. Although these schemes are not directly implementable in practicalsystems, since they requiere a signaling channel with unlimited capacity, itsanalysis allows to establish performance upper bounds for the discrete schemes.IX


At this point discrete-rate discrete-power adaptive modulation schemes areproposed, which employ M different constellations and L different power levelsper constellation. The parameters of these schemes are optimized to maximizethe system spectral efficiency considering: transmitted power limitation and twopossible BER restrictions for different temporal scales. The performance of suchschemes (spectral efficiency, average BER, signaling information rate and outageprobability) is evaluated via close-form expressions and simulations. Analyticaland simulation results show that the proposed discrete-rate discrete-powerschemes performance is close to that of continuous adaptation using a reducednumber of constellations and power levels per constellation.Adaptive modulation performance strongly relies on the associated adaptationprocess. In non ideal systems, two main error sources can be identified insuch process. First, rate-power selection is performed with noisy channel estimationand, secondly, the signaling channel limitations and the transmitterreconfiguration capabilities may cause certain adaptation delay. The impact ofboth error sources on adaptive modulation performance is analyzed in this thesisfor continuous rate-power adaptation. A set of new analytical expressions isobtained, close-form or simple to compute numerically, to evaluate the sensibilityof the different performance parameters (spectral efficiency, instantaneousBER, transmit power and outage probability) to imperfect adaptation. Numericalresults show that the BER exhibits high sensitivity to estimation noise andadaptation delay.


Acrónimos2G3G3GPP4GA-BERAQAMAWGNBERBPSKCAGCC-ACC-ICDMACK-ACK-IDD-ADD-IDD-A-LDD-I-LDFEDK-ADK-IEDGEFFTFIRSegunda generaciónTercera generaciónThird Generation Project PartnershipCuarta generaciónAverage BER (BER media)Adaptive QAM (QAM adaptativa)Additive White Gaussian Noise (ruido blanco gaussiano y aditivo)Bit Error Rate (tasa de error binaria)Binary Phase Shift KeyingControl Automático de Gananciaadaptación continua total, restricción A-BERadaptación continua total, restricción I-BERCode Division Multiple Access (acceso múltiple por división de código)adaptación de constelación continua, restricción A-BERadaptación de constelación continua, restricción I-BERadaptación discreta total, restricción A-BERadaptación discreta total, restricción I-BERadaptación discreta total, restricción A-BER, L niveles de potenciaadaptación discreta total, restricción I-BER, L niveles de potenciaDecision Feedback Equalization (ec. por realimentación de decisión)adaptación discreta de constelación, restricción A-BERadaptación discreta de constelación, restricción I-BEREnhaced Data rates for GSM EvolutionFast Fourier Transform (transformada rápida de Fourier)Finite Impulse Response (respuesta al impulso finita)XI


GERANGPRSGSMHSDPAI-BERIMTIPITUKC-AKC-IKD-AKD-IKK-AKK-ILCRLOSMACMANMMSENLOSNOTXOFDMPAMPANPDCPDFPSAMQAMSMSSNRTDMAUMTSVAWANWAPWCDMALANWSSGSM/EDGE Radio Access NetworkGeneral Packet Radio ServiceGlobal System for Mobile CommunicationsHigh-Speed Downlink Packet AccessInstantaneous BER (BER instantánea)International Mobile TelecommunicationsInternet ProtocolInternational Telecommunications Unioncontrol de potencia continuo, restricción A-BERcontrol de potencia continuo, restricción I-BERcontrol de potencia discreto, restricción A-BERcontrol de potencia discreto, restricción I-BERQAM no adaptativa, restricción A-BERQAM no adaptativa, restricción I-BERLevel Crossing Rate (tasa de cruces por nivel)Line Of Sight (línea de visión directa)Medium Access Control (control de acceso al medio)Metropolitan Area Network (Red de Área Metropolitana)Minimum Mean Square Error (mín. error cuadrático medio)Non Line Of Sight (sin línea de visión directa)Non Transmission (sin transmisión)Orthogonal Frequency Division Multiplexing(multiplexación por división en frecuencia ortogonal)Pulse Amplitude ModulatedPersonal Area Network (red de ámbito personal)Personal Digital CellularProbability Density Function (función densidad de probabilidad)Pilot Symbol Assisted Modulation (modul. asistida por símbolos pilotos)Quadrature Amplitude ModulationShort Message ServiceSignal-to-Noise Ratio (relación señal a ruido)Time Division Multiple Access (acceso múltiple por división en el tiempo)Universal Mobile Telecommunications SystemVariable AleatoriaWide Area Network (red de ámbito global)Wireless Application ProtocolWideband CDMALocal Area Network (red de ámbito local)Wide Sense Stationary (estacionario en sentido amplio)


Tabla de Símbolosα(t) Amplitud del canal debida a la propagación multicaminoχ MMSE de estimaciónδ Error relativo de estimación a gran escalaδ(τ) Delta de Dirac∆ Desviación típica del error de estimación a gran escalaDistancia relativa entre umbrales de conmutación∆ iε Error relativo del CAGΦ(m, x) Función asociada a la SNR de corteΦ(x) Función asociada a la SNR de corte para m =1γ SNR instantánea, escala de invarianzaγ 0 SNR de corteγ τ SNR instantánea dentro de τ segundoŝγ Estimación de γ para el algoritmo AQAM˜γ SNR media, escala mediâ˜γ Estimación de ˜γ para el algoritmo AQAMΓ(a, x) Función gamma incompletaΓ(·) Función gamma˜η Capacidad del canal˜κ Sobrecarga de señalizaciónλ Parámetro asociado a τ D con adaptación no idealθ(t) Fase del canalρ Coeficiente de correlación de α(t) 2ρ G Coeficiente de correlación de G(t)σ a Potencia de los símbolos a kσ D Ensanchamiento temporal del canal debido al retardo (delay spread)σ i Potencia asociada al i-ésimo intervalo de un esquema discretoτ Retardo de adaptaciónXIII


τ D˜ν̂˜νωΩΨ 0Ψ ′ 0ΨΨ iζ(t)a ka PABBB CB WBER TBER(γ)˜BER̂˜BER 0c kc(τ; t)c(t)c oC TDeΣ 〈·〉Σ ·E[·]E pE 1 (x)ff if Df(t)f SFg(t)Retardo de adaptación normalizadoEficiencia espectral a escala mediaEficiencia espectral con señalización no idealVariable frecuencia angular continuaGanancia media de potencia del canal debida a la prop. multicaminoSNR de corte normalizadaSNR de corte normalizada del esquema CC-ASNR instantánea normalizadaUmbral de conmutación i-ésimo de un esquema discretoAmplitud del canalSímbolos complejos transmitidosSímbolo piloto prefijadoSNR de corte efectiva con señalización no idealParámetro asociado a BER T con señalización no idealAncho de banda radio de la señal transmitidaAncho de banda de coherencia del canalAncho de banda radio equivalente de ruidoBER objetivoBER instantánea, escala de invarianzaBER media, escala mediaBER instantánea promedio con señalización no idealEnvolvente compleja discreta del canal estimada por el CAGRespuesta al impulso del canal variante en el tiempoEnvolvente compleja del canalVelocidad de la luz en el vacíoConstante asociada a la BER T en los esquemas DD-A-LN o de símbolos de la trama PSAMEl número ’e’Promedio temporal a escala de invarianzaPromedio temporal medio a escala mediaEsperanza matemáticaEnergía del pulso transmitidoFunción exponencial-integral de primer ordenVariable frecuencia continuaConstante asociada a los R i de los esquemas DD-A-LEnsanchamiento Doppler (Doppler spread)Respuesta al impulso del filtro receptorFrecuencia de símboloNúmero de coeficientes del filtro de estimaciónFluctuación de la ganancia de potencia del canal a gran escala


T ST Zu(·)vW kX cIntervalo de símboloIntervalo de señalización normalizadoFunción escalón unitarioVelocidad relativa transmisor-receptorPotencia instantánea de señal recibidaDistancia de correlación efectiva de G(t)


Capítulo1Introducción1.1 Estado Actual de las Redes de Acceso InalámbricasLa difusión que a principios del siglo XXI han llegado a alcanzar las comunicacionesinalámbricas es realmente notable. Particularmente relevante resulta eldespliegue de las redes de telefonía celular que han llegado a conseguir unos milmillones de terminales a nivel mundial y un uso casi generalizado en los paísesmás desarrollados [Fro01].Los terminales celulares analógicos de primera generación eran básicamenteteléfonos dotados de movilidad. Sin embargo, la introducción a principio de los90 de la segunda generación (2G) de terminales digitales ha convertido las redesmóviles celulares en un punto de acceso ideal a multitud de servicios. De entrelos servicios de datos añadidos a la función básica de telefonía destacan losque ya proporcionan las redes móviles 2G, como mensajes cortos (SMS) y accesoa internet (WAP), y los que se están implementando en las redes de tercerageneración (3G) como videotelefonía o descarga de video/música.Además de las redes celulares de ámbito global (WAN, Wide Area Network), lascomunicaciones inalámbricas han recibido el impulso del importante desarrollode las redes de ámbito metropolitano (MAN, Metropolitan Area Network), local(LAN, Local Area Network) y personal (PAN, Personal Area Network). Las MAN1


2 INTRODUCCIÓN© ¡¢£¤¥¦§¨ ¡¢£¤¥¦§¨TERMINALMÓVIL Figura 1.1: Integración de los diferentes tipos de redes de comunicacionesinalámbricas.facilitan el acceso a servicios de banda ancha mediante enlaces de radio fijosde alta velocidad dentro del ámbito metropolitano. Las LAN permiten la interconexióna alta velocidad entre terminales de un mismo entorno, substituyendoa las redes locales cableadas que interconectan los ordenadores de edificios yoficinas. El objetivo de las PAN es el de proporcionar interconexión inalámbricade corto alcance entre el ordenador, el terminal celular y otros periféricos comoimpresoras. Particularmente relevante es la tendencia a la integración de todasestas tecnologías de forma que el usuario posea una conexión de alta velocidad,transparente para él, con la que accede a multitud de servicios [Fro01]. Como seilustra en la fig. 1.1 las WAN, MAN, PAN y LAN se complementan de forma queel usuario siempre esté conectado de la mejor forma posible.En los últimos años se ha realizado un intenso trabajo de estandarización ydifusión de sistemas inalámbricos MAN, LAN y PAN [Fro01], [Hon02], [Ekl02],[PAN03], [Dia03]. En cuanto a las MAN, existen dos sistemas: el europeo Hiper-MAN y el norteamericano IEEE 802.16. De nuevo otros dos estándares, el europeoHiperLAN2 y las diversas modalidades del norteamericano IEEE 802.11,parecen protagonizar el futuro inmediato de los sistemas LAN. Por último, en lasPAN se usa actualmente el sistema Bluetooth y se esta desarrollando el sistemaIEEE 802.15.La evolución histórica y perspectiva futura de las redes móviles WANse ilustra en la fig. 1.2, donde aparecen los sistemas y estándares más


ESTADO ACTUAL <strong>DE</strong> LAS RE<strong>DE</strong>S <strong>DE</strong> ACCESO INALÁMBRICAS 3 2 Mb/sGSM15 Kb/sTDMA43 Kb/sPDC14 Kb/sCDMAONEGPRS170 Kb/sCDMA20001X307 Kb/sEDGE473 Kb/sWCDMAFDD2Mb/sEDGE PH2GERAN473 Kb/sCDMA20001XEVWCDMATDDWCDMAHSDPA5.4 Mb/s2Mb/s10 Mb/s77 Kb/s2000 2001 2002 2003>2010Figura 1.2: Evolución de los sistemas y estándares para las redes celulares, estableciendosu fecha de implantación aproximada.importantes [Hon02]. Actualmente, el panorama geográfico de los sistemas 2Gó 2G evolucionados (2.5G) es diverso. El sistema europeo GSM (Global Systemfor Mobile Communications) se usa prácticamente en todo el mundo excepto enJapón donde se usa el sistema PDC (Personal Digital Cellular). En Estados Unidoscoexisten junto al GSM otros dos sistemas, TDMA y cdmaOne, este últimobasado en CDMA (Code Division Multiple Access). Como ejemplo de sistema 2.5Gdestaca el GPRS (General Packet Radio Service) que, evolucionado a partir delGSM, permite aumentar la velocidad de transmisión de datos con moderadasinversiones de los operadores al mantener las características básicas de la caparadio.En cuanto a las redes móviles de tercera generación (3G) y sus evoluciones(3.5G), existen varias propuestas encuadradas dentro del sistema internacionalIMT-2000 que coordina la ITU (International Telecommunications Union). En Europa,el sistema UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) proponeuna nueva capa radio denominada WCDMA (Wideband CDMA) que permite ofreceral usuario una acceso de hasta 2 Mb/s. Como transición hasta el completodesarrollo e implantación de WCDMA, el sistema GERAN (GSM/EDGE 1 RadioAccess Network) surge como una evolución de la capa radio de GPRS que utilizala estructura de la red UMTS. Para WCDMA existen varias mejoras aprobadas1 EDGE≡ Enhaced Data GSM Environment


4 INTRODUCCIÓNpor el 3GPP (Third Generation Project Partnership) de entre las que destaca eluso de modulación adaptativa para el canal descendente, denominada HSDPA(High-Speed Downlink Packet Access) [Mot00]. Por otro lado, en Estados Unidosla propuesta radio para IMT-2000 es el sistema cdma2000 y sus posterioresevoluciones [Prr02],[Hon02]; mientras que en el importante mercado chino se haestablecido el estándar propio TS-SCDMA [Liu03].Actualmente se están realizando diversas propuestas para los futuros sistemasde cuarta generación (4G). Aunque no está claro si la capa radio será unaevolución de los sistemas 3G, lo que si parece estar claro es que emplearán,entre otras técnicas, algún tipo de modulación adaptativa [Cla02].


TRANSMISIÓN DIGITAL EN EL CANAL RADIO MÓVIL 51.2 Transmisión Digital en el Canal Radio MóvilLas técnicas empleadas para aumentar las prestaciones de los sistemas decomunicaciones móviles están fuertemente relacionadas con la naturaleza delcanal.1.2.1 Características del CanalLa respuesta del canal radio móvil presenta fuertes variaciones en el tiempocomo consecuencia del movimiento relativo entre el transmisor y el receptor[Rap96]. La señal transmitida alcanza el receptor a través de distintos caminosvariables cuyas contribuciones se superponen, ocasionando desvanecimientosen la señal recibida según lo constructiva o destructiva que sea la interferenciaresultante. Además, si el retardo relativo de dichas contribuciones abarcavarios intervalos de símbolo se observará una dependencia de la ganancia delcanal con la frecuencia dentro del ancho de banda de transmisión. Debido a losdos fenómenos anteriores puede afirmarse que, en general, el canal experimentadesvanecimiento temporal con selectividad en frecuencia.En la fig. 1.3 se representa la respuesta en amplitud del canal en función deltiempo y la frecuencia [Agu01, pág. 5]. El desvanecimiento temporal puede cuantificarsemediante el intervalo de coherencia del canal T C que mide el intervalo detiempo en el que la respuesta de amplitud del canal permanece prácticamenteinvariante. El intervalo de coherencia T C es la magnitud dual del ensanchamientoDoppler f D (Doppler spread), y por ello T C ∝ 1/f D [Rap96, pág. 170]. Por otraparte, la selectividad en frecuencia del canal puede cuantificarse con el ancho debanda de coherencia B C que representa la región del espectro dentro de la cualla respuesta en frecuencia del canal es aproximadamente plana. El ancho debanda de coherencia es la magnitud dual del ensanchamiento temporal debidoal retardo σ D (Delay spread) por lo que B C ∝ 1/σ D [Rap96, pág. 169].Considérese un sistema de comunicaciones digitales que emplea un intervalode símbolo T S y por tanto un ancho de banda B ∼ 1/T S . Para dicho sistema, eldesvanecimiento temporal del canal se considera lento si T S ≪ T C , es decir si enun intervalo de símbolo el canal es prácticamente invariante. En caso contrario,se dice que el desvanecimiento temporal del canal es rápido. Por otra parte,respecto a la selectividad en frecuencia el canal se considera plano o no selectivosi B ≪ B C o, lo que es lo mismo, si en el ancho de banda del sistema el canal


Frecuencia 6 INTRODUCCIÓN ! "Respuesta[dB]Tiempo !Figura 1.3: Respuesta general de la ganancia del canal radio: desvanecimientotemporal y selectividad en frecuencia.presenta una respuesta en frecuencia prácticamente plana.Esta tesis se centra en sistemas de comunicaciones digitales en los que sepuede suponer que el desvanecimiento temporal es lento y no existe selectividaden frecuencia. En tal caso, se hablará simplemente de canales planos condesvanecimientos.Para analizar los canales planos con desvanecimientos conviene observar lavariación temporal completa de la respuesta de amplitud del canal. Además deldebido a la propagación multicamino, el canal experimenta otro tipo de desvanecimientode variación más lenta que se denomina desvanecimiento a granescala. Éste se produce por los cambios bruscos en el entorno de la comunicación,como variaciones significativas de la distancia transmisor-receptor o de lascaracterísticas de la obstrucción del enlace [Sim00, pág. 23].La variación temporal completa del canal plano con desvanecimientos semuestra en la fig. 1.4. Por un lado se distinguen variaciones rápidas relacionadascon la propagación multicamino y, por otro, variaciones lentas debidas ala atenuación a gran escala.


Tiempo $TRANSMISIÓN DIGITAL EN EL CANAL RADIO MÓVIL 7$ ' Amplitud%[dB]Variaciones Rápidas:Propagación MulticaminoVariaciones Lentas:Atenuación a Gran EscalaFigura 1.4: Variación temporal del canal plano con desvanecimientos.1.2.2 Técnicas de TransmisiónLas técnicas de transmisión adecuadas para los canales con desvanecimientosson considerablemente más sofisticadas que las usadas en los canales limitadosen banda con ruido gaussiano, blanco y aditivo, denominados canalesAWGN (Additive White Gaussian Noise). Curiosamente, ambos tipos de canalestienen prácticamente la misma capacidad aunque las técnicas para acercarse aésta requieren mucha mayor complejidad en los canales con desvanecimientos[Agu01, pág. 7].Para garantizar una cierta tasa de error binaria BER (Bit Error Rate) enuncanal AWGN basta con emplear una potencia suficientemente grande o una velocidadbinaria suficientemente pequeña, que consiga una energía por símboloadecuada. En un canal con desvanecimiento temporal esta técnica tambiénpuede emplearse, pero si se transmite con una velocidad y potencia fijas quegaranticen una BER objetivo durante una fracción elevada de tiempo se desaprovecharáuna parte importante de la capacidad del canal [Gol97].Se ha realizado un esfuerzo notable en el desarrollo de técnicas apropiadaspara los canales planos con desvanecimientos [Rap96]. La fig. 1.5 muestra cómocada una de estas técnicas incide en un aspecto diferente del sistema de comu-


GHIH8 INTRODUCCIÓNTransmisorCanal RadioReceptor8 ) + 4 ; 4 3 1 3 4 6 7+ =8 1 7 1 /( ) + - / 1 3 4 6 7DesvanecimientoPlanoJ = C ) + - / 1 3 4 6 7J = 3 ) + 4 ; 4 3 1 3 4 6 7+ = 8 1 7 1 /? 4 @ A = C 1 + =? 4 @ A = C 1 + =F 7 A = 7 1 @F 7 A = 7 1 @Figura 1.5: Diferentes técnicas para canales planos con desvanecimientos.nicaciones digitales, por lo que en principio todas ellas pueden combinarse.Una de las posibles técnicas que permite combatir el efecto de los desvanecimientossobre la BER es la diversidad temporal que introduce la codificaciónde canal [Lee94, cap. 13], [Cla02]. Al flujo binario a transmitir se le añade ciertaredundancia que permite corregir errores en recepción provocados por el ocasionaldesvanecimiento del canal. Este tipo de técnicas implican un cierto retardo,al requerir longitudes de bloque de codificación mayores que la separación entredichos desvanecimientos temporales.Otro grupo de técnicas tratan de mitigar los desvanecimientos mediante lautilización de múltiples antenas tanto en el transmisor como en el receptor[Rap96, cap. 6], [Zho03]. La transmisión/recepción por diversidad espacial empleasistemas de antenas suficientemente separadas entre sí como para que elconjunto de canales equivalentes estén mutuamente incorrelacionados. Es decirque, aunque entre una determinada pareja de antenas transmisora-receptorase produzca un desvanecimiento, existe una alta probabilidad de que entre otrapareja el canal esté en una situación mucho más favorable. Esta redundanciaespacial produce grandes mejoras en las prestaciones del canal plano aunquecon un considerable aumento de la complejidad del sistema.En las técnicas anteriores se trata de mitigar el efecto de los desvanecimientosdel canal sobre una transmisión con velocidad y potencia constantes. Unenfoque alternativo es adaptar la velocidad y potencia de la señal transmitidaa las variaciones temporales del canal para aprovechar mejor su capacidad


TRANSMISIÓN DIGITAL EN EL CANAL RADIO MÓVIL 9potencial [Gol97]. Estas técnicas permiten además mantener fácilmente ciertosobjetivos preestablecidos para la BER del sistema. El uso de modulación adaptativasólo es posible si el transmisor y el receptor conocen el esquema de modulaciónapropiado en cada momento en función del estado del canal, para lo queserá necesario un sistema de señalización entre ambos.


10 INTRODUCCIÓN1.3 Fundamentos de la Modulación Adaptativa1.3.1 Principio de FuncionamientoDe entre todas las posibles técnicas aplicables a los canales planos con desvanecimientos,esta tesis se centra en la modulación adaptativa. Concretamente,se analizarán sistemas que adapten de forma óptima la velocidad de transmisióny la potencia transmitida a las condiciones del canal, sin considerar la posibleadaptación de la codificación de canal.En la fig. 1.6 se ilustra la idea que subyace bajo el concepto de modulaciónadaptativa. El ejemplo muestra un esquema muy simple que varía la velocidadde transmisión mediante el uso de dos posibles constelaciones QAM (QuadratureAmplitude Modulation). Se supone que todas las constelaciones se transmitencon la misma potencia, aunque cabe la posibilidad de no transmisión (NOTX) silas condiciones del canal son demasiado adversas. El algoritmo de adaptaciónnecesita una magnitud que describa la calidad del canal en todo instante y, eneste ejemplo, se usa la relación señal a ruido SNR (Signal-to-Noise Ratio) en funcióndel tiempo. A partir de la monitorización de la SNR, el algoritmo adaptativodecide emplear una u otra constelación mediante la comparación de esta magnitudcon un par de umbrales. Un criterio habitual para fijar estos umbrales deconmutación es que la tasa de error binaria no supere un valor límite prefijado.Por lo tanto, cuando el canal sufre un desvanecimiento importante que no permitamantener la BER por debajo del límite admisible lo mejor es no transmitir. Latransmisión comienza cuando las condiciones del canal permiten alcanzar eseobjetivo con la constelación 4-QAM. Si el estado del canal fuese muy favorablese podría usar una constelación 16-QAM, lo que lograría duplicar la velocidadbinaria.Los esquemas de modulación adaptativa más avanzados se basan en variarsimultáneamente la velocidad binaria y la potencia, con el objetivo de maximizarla velocidad binaria media y no superar cierta BER [Chu01]. Las leyes deadaptación óptimas responden cualitativamente al comportamiento del ejemploanterior, resumiéndose en las dos claves siguientes:a) Puesto que la potencia media transmitida está prefijada, existe una SNRpor debajo de la cuál lo mejor es no transmitir. Este primer umbral deconmutación recibe el nombre de SNR de corte y por debajo de este valorno merece la pena malgastar potencia.


Tiempo OFUNDAMENTOS <strong>DE</strong> LA MODULACIÓN ADAPTATIVA 11NOTX4-QAM16-QAMO P SNRN[dB]Figura 1.6: Principio de funcionamiento de la modulación adaptativa.b) La variación de la velocidad binaria se hace siempre de forma que a mayorSNR deben emplearse constelaciones cada vez más densas. La filosofía estransmitir con la mayor velocidad binaria posible en cada instante.El funcionamiento de cualquier esquema de modulación adaptativa requiereque el transmisor y el receptor conozcan en todo momento la modulación queestán empleando. Este requisito exige una comunicación entre ambas partes quedebe realizarse mediante un canal de señalización. Una posible forma de llevarloa cabo es que el receptor estime la SNR, decida qué constelación y potencia debeemplear, codifique esta información y la envíe al transmisor a través del canalde señalización. Obviamente, en una situación ideal la estimación de la SNRsería perfecta y el retardo de adaptación despreciable. Cuando esto no ocurre lasprestaciones de la modulación adaptativa pueden verse seriamente degradadas.


12 INTRODUCCIÓN1.3.2 Ámbitos de AplicaciónLa modulación adaptativa es una técnica muy eficiente de transmisión paracanales planos con desvanecimientos, fácil de integrar con la codificación decanal o los sistemas de antenas, como se comentó en la sección 1.2.2. Otra importanteventaja de la modulación adaptativa es que resulta directamente trasladablea canales que, además de desvanecimiento temporal, experimenten selectividaden frecuencia.La ecualización de canal y la transmisión OFDM (Orthogonal Frequency DivisionMultiplexing) son dos de las técnicas más comúnmente empleadas para combatirla selectividad en frecuencia de los canales radio. La ecualización intentatransformar la respuesta en frecuencia selectiva del canal en una respuesta plana.Este proceso debe ser también adaptativo debido a la variación temporal delcanal radio [Pro91]. La ecualización se realiza habitualmente en el receptor mediantela técnica DFE (Decision Feedback Equalization) [Rap96, cap. 6], aunquese han propuesto otras técnicas como la precodificación Tomlinson-Harashimaque realizan la ecualización en el transmisor [Bad99], [Par00]. La técnica OFDMcombate la selectividad frecuencial dividiendo el ancho de banda de transmisiónen otros más pequeños de forma que, dentro de cada sub-banda el canal seaplano y la transmisión entre sub-bandas sea ortogonal [Cim85]. Su implementaciónpuede ser muy eficiente mediante el uso del algoritmo FFT (Fast FourierTransform).Tanto la ecualización como la trasmisión OFDM son perfectamente compatiblescon la modulación adaptativa, encontrándose numerosas propuestas en laliteratura. Algunos ejemplos son: modulación QAM adaptativa con DFE [Won00],modulación QAM adaptativa con precodificación Tomlinson-Harashima [Par01a]y modulación OFDM adaptativa [Czy96], [Agu97], [Agu98].Finalmente cabe decir que, debido a su idoneidad para el canal radio móvil, lamodulación adaptativa ya ha sido propuesta para las redes móviles 3G [Hon02],y parece casi segura su utilización en los sistemas 4G [Cla02].


OBJETIVOS Y ORGANIZACIÓN <strong>DE</strong> LA <strong>TESIS</strong> 131.4 Objetivos y Organización de la Tesis1.4.1 Objetivos de la TesisDesde hace casi una década se han ido proponiendo esquemas de modulaciónadaptativa que permiten acercarse a la capacidad del canal radio móvil[Ue95], [Gol97], [Kos00], [Chu01]. En la actualidad la modulación adaptativaes una técnica madura que se vislumbra como una pieza básica más de laspróximas generaciones de sistemas de comunicaciones móviles [Cla02]. Elobjetivo general de esta tesis es la profundización en la modulación adaptativabajo determinadas condiciones de no idealidad impuestas por los sistemasreales. A partir de este punto se marcan dos grandes objetivos más concretos:a) Propuesta y análisis de esquemas con adaptación discreta para canales deseñalización con capacidad limitada:En [Chu01] puede encontrarse un excelente trabajo que resume todos losposibles esquemas de modulación que combinan adaptación de constelacióno potencia, obteniendo las leyes de variación óptimas en cada caso. Losesquemas más avanzados presentados en ese trabajo son los que adaptansimultáneamente la constelación y la potencia. Concretamente, la adaptaciónde constelación se hace de forma discreta y la de potencia de formacontinua. Sin embargo, la implementación de un esquema de adaptaciónen un sistema real requiere una completa discretización tanto de la constelacióncomo de la potencia, ya que de lo contrario se requeriría una tasa deinformación infinita en el canal de señalización. La propuesta y el análisisde esquemas discretos que aproximen sus prestaciones a las alcanzadaspor los esquemas de variación continua de constelación y potencia es unproblema sólo resuelto parcialmente, por ello es el primer objetivo de estatesis [Kos00], [Byo03].b) Análisis del comportamiento de la modulación adaptativa cuando la adaptaciónno es perfecta:A la vista de los principios en los que se basa la modulación adaptativa esfácil asumir que cualquier imperfección en el proceso de adaptación entretransmisor y receptor puede degradar gravemente sus prestaciones. Lostrabajos que abordan este tema, aunque son escasos y en general muyaproximados, anticipan la importancia del efecto de la adaptación no ideal[Gol97], [Alo98], [Lon03]. Por ello, éste es el segundo objetivo de esta tesis.


14 INTRODUCCIÓN1.4.2 Organización de la TesisEn la fig. 1.7 se representa de forma gráfica la organización de esta tesis.Tras esta introducción, a lo largo del capítulo 2 se presenta el modelo generalde sistema y de análisis que servirá de plataforma para alcanzar los objetivosmarcados. Además de describir en detalle el modelo de sistema de modulaciónadaptativa, en este capítulo se propone un modelo para su análisis basado enla definición de tres escalas de tiempo. Finalmente, se realiza una clasificacióngeneral de los diferentes esquemas de adaptación de la modulación. El capítulo 3describe y analiza las prestaciones de los esquemas de adaptación con variacióncontinua de constelación y potencia, sirviendo dicho análisis de referencia paralos capítulos siguientes.Sobre la base de los tres primeros capítulos, los capítulos 4 y 5 abordan porseparado los dos grandes objetivos marcados en esta tesis.En el capítulo 4 se propone una familia general de esquemas de modulaciónadaptativa completamente discretos. Posteriormente se optimizan los parámetrosde estos esquemas para maximizar la velocidad binaria media, analizandofinalmente sus prestaciones en relación con las de los esquemas continuos.CAPÍTULO 4Modulación Adaptativa DiscretaCAPÍTULO 1IntroducciónCAPÍTULO 2Modelode Sistemay AnálisisCAPÍTULO 3ModulaciónAdaptativa ContinuaCAPÍTULO 6Conclusionesy LíneasFuturasCAPÍTULO 5Impacto de la Adaptación ImperfectaFigura 1.7: Organización de la Tesis.


OBJETIVOS Y ORGANIZACIÓN <strong>DE</strong> LA <strong>TESIS</strong> 15El análisis del efecto de la adaptación imperfecta en las prestaciones de lossistemas de modulación adaptativa se aborda en el capítulo 5. En la adaptaciónno ideal se incluyen los errores cometidos en la estimación del estado del canaly el efecto del retardo en el proceso completo de adaptación de la modulación.Por último en el capítulo 6 se presentan las conclusiones más relevantes deesta tesis, así como las posibles líneas de investigación propuestas para su continuación.


16 INTRODUCCIÓN


Capítulo2Modulación Adaptativa en CanalesPlanos con Desvanecimientos2.1 IntroducciónLAS técnicas basadas en modulación adaptativa intentan adecuar las característicasde la señal transmitida al estado del canal. El canal plano condesvanecimientos experimenta variaciones rápidas por efecto de la propagaciónmulticamino superpuestas a variaciones lentas causadas por la atenuación agran escala. Los esquemas de modulación adaptativa se diseñan para seguir lasvariaciones rápidas del canal, a la vez que son periódicamente reconfiguradospara ir adaptándose a las variaciones lentas de éste.Generalmente el objetivo de los esquemas de modulación adaptativa es maximizarla eficiencia espectral, definida como la velocidad binaria media por unidadde ancho de banda radio (bits por segundo y Hz). No obstante, se han propuestootros posibles objetivos como reducir la probabilidad de bloqueo, es decir,aumentar la probabilidad de que la SNR instantánea esté por encima de la SNRde corte [Goe01].17


18 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSAdmitiendo que el objetivo es maximizar la eficiencia espectral, existen variosgrados de libertad para realizar la adaptación [Chu01]:a) Nivel de potencia transmitida: aunque la potencia media trasmitida es constante,es posible adaptar de forma óptima la potencia instantánea.b) Velocidad de transmisión de la información: variando el tamaño de la constelaciónempleada o el tiempo de duración de los símbolos.c) Codificación de canal: jugando con el compromiso entre redundancia(robustez del código) y la pérdida de eficiencia espectral asociada.En la literatura se han propuesto numerosas técnicas que suelen combinar másde uno de estos grados de libertad [Ue95], [Web95], [Gol97], [Kos00] y [Chu01].Esta tesis se centra en esquemas de modulación adaptativa sin codificaciónde canal que varían la potencia instantánea trasmitida y el tamaño de la constelaciónempleada. La forma más sencilla de variar la velocidad binaria para alcanzaraltas eficiencias espectrales es usar diferentes constelaciones ya que, variarel tiempo de duración de los símbolos incrementa considerablemente la complejidaddel sistema [Gol97]. En principio se considerarán constelaciones QAM queresultan especialmente eficientes y fáciles de implementar, de forma que talessistemas serán denominados a partir de ahora QAM adaptativos o simplementeAQAM (Adaptive QAM).El objetivo de este capítulo es doble. En primer lugar establecer un modelo decanal y de sistema general que permita estudiar todos los aspectos relacionadoscon las técnicas AQAM sobre canal plano. A continuación, proponer un modelode análisis de tales sistemas basado en las escalas de tiempo involucradas enel problema. Los modelos de canal, de sistema y de análisis presentados en estecapítulo sirven de punto de partida para los capítulos que siguen.El resto del capítulo se organiza como se describe a continuación. En la sección2.2 se describe con detalle el modelo de canal plano. La descripción generaldel modelo de sistema AQAM y la formulación mediante diferentes escalas detiempo se presentan en la sección 2.3.


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> CANAL 192.2 Modelo de CanalEn esta sección se describe el modelo de canal plano considerado en estatesis. A continuación se presenta el modelo paso bajo complejo del canal radioy en las siguientes secciones los modelos estadísticos de la respuesta al impulso.En la sección 2.2.1 se caracterizan los desvanecimientos rápidos asociadosa la propagación multicamino en las comunicaciones móviles terrestres, con osin línea de visión directa. Posteriormente, en la sección 2.2.2 se completa elmodelo incluyendo los desvanecimientos lentos producidos por el efecto de laatenuación a gran escala cuando se modifica el entorno físico implicado en lacomunicación (p.ej. variación significativa de la distancia transmisor-receptor ode las características de la obstrucción del enlace).Las señales paso banda transmitida x(t) y recibida y(t) admiten la siguienterepresentación en función de las envolventes complejas s(t) y r(t){ √ { }x(t) = 2 · Re s(t)ej2πf C ty(t) = √ 2 · Im { r(t)e } j2πf (2.1)Ctdonde f C es la frecuencia de la portadora radio y el factor √ 2 se incluye para quela potencia de las envolventes complejas sea la misma que la de las señales pasobanda [Lee94, pág. 19].En la fig. 2.1 se muestra un esquema del modelo paso bajo complejo delcanal, formado por la respuesta al impulso del canal variante en el tiempo c(τ; t)y el ruido n(t) de tipo AWGN con densidad espectral de potencia N o (W/Hz). Laenvolvente compleja recibida r(t) queda expresada como [Jer00, pág. 188]r(t) =c(τ; t) ⊗ s(t)+n(t) =∫ ∞−∞c(τ; t)s(t − τ) dτ + n(t) (2.2)2.2.1 Desvanecimientos por Propagación MulticaminoCuando se considera el desvanecimiento producido por la superposición decontribuciones que alcanzan el receptor a través de diferentes caminos, la respuestaal impulso paso bajo compleja del canal plano se puede modelar comoc(τ; t) =(C + z(t)) δ(τ) =c(t)δ(τ) =α(t)e θ(t) δ(τ) (2.3)


W20 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSCanal Radioa Y Z \^ Y Z \Q R S T U Vb c d e f g i f j ck l m l n o j cX Y Z \Figura 2.1: Modelo de canal paso bajo complejo.donde C es una constante compleja que representa la respuesta según la líneade visión directa (LOS, Line of Sight) yz(t) es un proceso gaussiano complejoque representa la superposición de las componentes multicamino producto delas sucesivas reflexiones. Tales reflexiones se consideran aquí indistinguibles dela respuesta según la línea de visión directa ya que son simultáneas en el tiempo.Así mismo, α(t) =|c(t)| y θ(t) =∢c(t) representan la envolvente y fase de larespuesta del canal, siendo c(t) la envolvente compleja. Todos estos procesos estocásticosse pueden suponer ergódicos y estacionarios en sentido amplio (WSS,Wide Sense Stationary), por lo que se omitirá su dependencia temporal cuandopor razones de simplicidad sea conveniente.El factor de Rice K = |C| 2 /σ 2 z con σ 2 z =E[|z(t)| 2 ] debe interpretarse como larelación entre la potencia de la componente LOS de la respuesta del canal y lapotencia de las componentes multicamino no distinguibles. El rango de valoresde la constante de Rice abarca desde K =0que representa la inexistencia delínea de visión directa (NLOS, Non Line of Sight), coincidiendo con el modeloRayleigh, hasta K = ∞ que se corresponde con el caso de una componenteprincipal sin componentes multicamino apreciables, coincidiendo en este casocon el modelo de canal AWGN.Para evaluar las prestaciones de los sistemas de comunicaciones digitalesresulta fundamental la caracterización estadística de la envolvente α(t). Segúnel modelo dado en (2.3), α(t) sigue una distribución de Rice que tiene comoparámetros K y la ganancia en potencia media del canal Ω . =E[α(t) 2 ].Lafuncióndensidad de probabilidad (PDF, Probability Density Function) deα viene dada


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> CANAL 21por [Sim00, pág. 21]p α (α) =2(1 + K)αe K Ωexp(−((1 + K)α2)I 0Ω2α √ )K(1 + K), α ≥ 0 (2.4)Ωque incluye la distribución de Rayleigh (K =0) para el caso particular NLOS.Por otro lado, se ha comprobado que el modelo de desvanecimientoNakagami-m suele proporcionar el mejor ajuste a medidas reales en la propagaciónmulticamino, tanto en entornos urbanos como interiores, eligiendo apropiadamenteel valor del parámetro m [Sim00, pág. 23], [Pro95, pág. 768]. Su PDFviene dada por( )p α (α) = 2mm α 2m−1Ω m Γ(m) exp − mα2 , α ≥ 0 (2.5)Ωcon Γ(·) la función gamma. Al igual que la distribución de Rice, la distribuciónNakagami-m incluye como casos especiales la distribución de Rayleigh (m =1)ycuando m ≥ 1 se puede aproximar a la de Rice realizando una correspondenciaunívoca entre m y el factor K [Sim00, pág. 23]√m2 − mK(m) =m − √ m 2 − m , m ≥ 1 (2.6)El parámetro m puede interpretarse de forma sencilla como una indicador delnivel de desvanecimiento, que tiene una correspondencia con K dada por (2.6)y visualizada en la fig. 2.2-(a). Se puede comprobar que K ∼ 2m cuando m →∞.En la fig. 2.2-(b) aparecen las PDFs de la distribuciones de Nakagami-m y Ricepara varios valores de m, observándose la gran similitud entre ambas cuando seestablece la correspondencia de (2.6).Además de ajustarse mejor a las medidas empíricas del canal, en general, ladistribución Nakagami-m permite un tratamiento analítico más sencillo que laRice. En esta tesis se usará la distribución Nakagami-m como modelo general deanálisis del desvanecimiento por propagación multicamino.A veces no basta con caracterizar el canal mediante la distribución marginalde α, sino que se requiere conocer la PDF conjunta de dos valores de la envolventedel canal en diferentes instantes de tiempo. Sea α el valor de la envolventeen un instante dado y α τ en un instante posterior separado τ segundos. La PDFconjunta del modelo Nakagami-m es [Sim00, pág. 142](4m m+1 (αα τ ) mp α,ατ (α, α τ )=Γ(m)Ω 2 (1 − ρ)(Ω √ ρ) exp −mm−1 (1 − ρ)Ω( ) )α 2 + ατ2 , α,α τ ≥ 0 (2.7)


p qp sxp wsuwqy¢ ¥ –¢ ¦ –‡22 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOS…†Ž ‘ ’ ” – — š › š š Ÿ Ž¡ –‚„z { |}ˆ‰Š ‹ Œ– ¢ £~ †~ „~ …~~ ‚(a)(b)p q r s t u v~ ~ € € ‚ ‚ € ƒ ƒ € „Figura 2.2: Comparación de las distribuciones Rice y Nakagami-m con K(m) dadoen (2.6). (a) Relación entre m y K. (b) Funciones de densidad de probabilidad de αcuando Ω=E[α 2 ]=1.donde ρ es el coeficiente de correlación de α 2 y α 2 τρ . =E[(α 2 − Ω)(α 2 τ − Ω)]√E[(α2 − Ω) 2 ]E[(α 2 τ − Ω) 2 ] = E[α2 α 2 τ] − Ω 2E[α 4 ] − Ω 2 (2.8)El coeficiente de correlación ρ ∈ [0, 1) es una representación normalizada dela autocovarianza de la ganancia en potencia del canal α(t) 2 . No existe ningunaevidencia que permita asignar una determinada función de autocovarianza almodelo de desvanecimiento Nakagami-m, aunque es habitual suponer que éstaes la misma que para el caso de desvanecimiento Rayleigh [Alo98], [Bea01]. A suvez, para el desvanecimiento Rayleigh se suele asumir que se produce dispersiónisotrópica de las componentes especulares (modelo de Clarke [Rap96, pág. 177])de forma que la autocorrelación de z(t) esE[z(t)z(t + τ) ∗ ]=σ 2 zJ 0 (2πf D τ) (2.9)donde J 0 (·) es la función de Bessel de orden cero y f D es el desplazamiento Doppler.El valor de f D (Hz) se obtiene como f D = v · f C /c o , donde v (m/s) es lavelocidad relativa transmisor-receptor y c o =3· 10 8 m/s. A partir de (2.9) se llegaa que el coeficiente de correlación de la ganancia en potencia α(t) 2 es [Alo98]ρ =J 2 0(2πf D τ) (2.10)que será el supuesto para el modelo de desvanecimiento Nakagami-m.


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> CANAL 23En la fig. 2.3-(a) se representa el coeficiente de correlación del canal calculadocon (2.10) sobre una escala de tiempo normalizada al desplazamiento Doppler.Se puede comprobar que para f D τ


Á ¼ »Ã½Ä·¸¹º»¼ »¹ËÊø ùó òúôî ïðñòó òðÙÚ24 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSÑ Ò Ó Ô Õ Õ ÖË ÌÎÙ ÜßÏРϾ¹½¿¹·¸ÀÀ¹õðôö ðî ï÷÷ðÑ Ò Ó Ô Õ ÖË ÌÍÙ ÜÞË ÌÇÙ ÜÝË ÌÉÙ ÜØ× Ø Ù × Ú Û × Ú Ù × Û Ù Û Ú Ù Ú Û Ø Ù(a)(b)à á â Ö ã ä å ä æ Ö ç è á é ç ê ä ë ì í¨ © ª « ¬ ® ¬ ¯ ª ° ± ¨ ² ° ³ ¬ ´ µ Å Æ Å Ç Å È Å É Å Ê Ë Ê É È Ç Æ§Figura 2.3: Coeficientes de correlación para los distintos tipos de desvanecimientostemporales en función del tiempo normalizado a la frecuencia Doppler.(a) Desvanecimiento multicamino ρ. (b) Comparación entre desvanecimiento multicaminoρ y atenuación a gran escala ρ G .El proceso G(t) es típicamente de variación mucho más lenta que la de losprocesos asociados al desvanecimiento multicamino. Para caracterizar su correlacióntemporal se suele emplear un modelo autoregresivo de primer orden conel siguiente coeficiente de correlación [Gud91]ρ G =E[G(t)G(t + τ)]σ G (dB) 2=exp(− f D|τ|X c) (2.14)donde X c es la distancia de correlación efectiva, habitualmente entre 10-100 metros.Este modelo autoregresivo de primer orden es equivalente a suponer queel proceso G(t) se genera mediante un proceso blanco y gaussiano coloreado porun filtro paso bajo con un solo polo. A la vista de (2.14) es inmediato inferirque la constante de tiempo asociada a la respuesta al impulso de ese filtro esprecisamente X c en una escala de tiempo normalizada por el desplazamientoDoppler.En la fig. 2.3-(b) se muestra la comparación entre el coeficiente de correlacióndebido al desvanecimiento a gran escala ρ G y el asociado al desvanecimientomulticamino ρ. Puede observarse como el desvanecimiento multicamino varíamucho más rápidamente que el desvanecimiento por atenuación a gran escala,poniéndose de manifiesto que cada tipo de desvanecimiento se encuadra dentrode una escala de tiempo diferente.


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 252.3 Descripción General de los Sistemas AQAM2.3.1 Modelo de SistemaEl diagrama de bloques del modelo banda base complejo asociado a un sistemaAQAM general se muestra en la fig. 2.4. El modelo de canal radio se ajusta alo descrito en la sección 2.2 mientras que el funcionamiento general del sistemase describe a continuación.En el sistema AQAM presentado, el transmisor recibe la información sobrela adaptación de la modulación del receptor a través de un canal de señalizacióna tal efecto. El algoritmo de adaptación se ubica en el receptor y decidequé combinación constelación-potencia debe emplearse en cada momento segúnla calidad del canal. Para el modelo de canal considerado, los descriptores de calidadnecesarios son las SNRs en diferentes escalas de tiempo y el nivel de LOSdado por m. Una vez que el transmisor y el receptor conocen que modulaciónse debe emplear, la utilizan para la transmisión de información entre ambos. Ladescripción detallada del transmisor y del receptor se presenta en las seccionesque siguen.A. TransmisorLos datos transmitidos en formato binario b k son codificados como símboloscomplejos QAM. Como se comentó anteriormente, el transmisor conoce qué tamañode constelaciónQAMyqué potencia debe usar, puesto que ha sido previamentenotificada por el receptor a través del canal de señalización. Una constelaciónQAM de M símbolos permitirá transmitir una cantidad de bits por símbolo,no necesariamente entera, dada por R =log 2 M .La secuencia de símbolos fuente a k procedente de la codificación QAM esconvertida en la señal PAM s(t) (PAM, Pulse Amplitude Modulated), consistenteen una secuencia de pulsos cuya amplitud está determinada por los símboloscomplejos a k . La forma de los pulsos se corresponde con la respuesta alimpulso p(t) del filtro transmisor, resultandos(t) =∞∑a k p(t − kT S ) (2.15)k=−∞


? =ý þ ÿ ¡ £ ÿ ¥ ¦ ¨ ü¡ ¦ ¡ 26 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSDatosTransmitidosÿ þ ¡ ¦ ý ÿ ý £ þ ¨ ÿ ) ÿ £ ¡ £ ÿ ¥ ¦802 4: 0 2 4< = 8 = > =+# * CanalRadiox/ 0 2 4 6 0 2 4 ÿ þ ! ý þ x& þ £ £ ÿ ¥ ¦DatosRecibidos # $Constelación-PotenciaElegidas¨ ¡ þ ¡ £ ÿ ¥ ¦ # ¡ ¨Información sobrela Calidad del Canal(SNR, û , ..)TransmisorCanal deSeñalizaciónReceptor ¨ ! ¡ £ ÿ ¥ ¦Figura 2.4: Diagrama de bloques general del sistema AQAM.donde T S es el periodo de símbolo y el filtro transmisor p(t) se diseña junto con elfiltro receptor f(t) para cumplir el criterio de Nyquist. Suponiendo que la secuenciade símbolos a k está incorrelacionada, la potencia transmitida por la señalPAM es [Pro95, pág. 573]˜S = E pσa 2 (2.16)T Sdonde E p representa la energía del pulso transmitido y σa 2 =E[|a k | 2 ], la potenciade la secuencia de símbolos fuente.B. ReceptorTras la propagación por el canal radio, la señal recibida de formacoherente r(t) pasa a través del filtro receptor de respuesta al impulso f(t) yposteriormente es muestreada a frecuencia de símbolo f S =1/T S . De esta forma,se obtiene la siguiente secuencia discretar k = r(t) ⊗ f(t) | t=kTS=(c(t)s(t)) ⊗ f(t)| t=kTS+ n(t) ⊗ f(t)| t=kTS(2.17)siendo ⊗ el operador convolución. En (2.17) el sumando de la izquierda representala secuencia de símbolos transmitidos con el desvanecimiento producidopor el canal y el de la derecha el ruido del canal que se introduce a través delfiltro receptor.


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 27Se parte de que el desvanecimiento del canal es lento T S ≪ T C ∝ 1/f D , es decirque las variaciones del canal son mucho más lentas que el periodo de símbolo.De ahí se desprende que las variaciones de c(t) van a ser despreciables en lasduraciones efectivas de las respuestas al impulso de los filtros transmisor p(t) yreceptor f(t). En tal caso y suponiendo sincronización perfecta en el muestreo,se puede comprobar que la secuencia dada en (2.17) queda como√Epr k = c k · s(t = kT S )+n k = c k a k + n k (2.18)T Ssiempre que p(t) ⊗ f(t) cumpla el criterio de Nyquist y se escalen apropiadamentep(t) y f(t). En (2.18), c k = c(t = kT S ) es la envolvente compleja discreta del canaly n k = n(t) ⊗ f(t)| t=kTSla secuencia de ruido recibido.c k para obtener la secuencia de símbolos recibidos correctamente reescalada.Antes de realizar la detección es necesario compensar el desvanecimiento delcanal para reescalar correctamente la rejilla de decisión. El subsistema encargadode realizar esta operación es el Control Automático de Ganancia (CAG). ElCAG debe lograr una estimación muy precisa de la envolvente compleja del canalDividiendo r k por c √k Ep /T S , de la ecuación (2.18) se obtiene la secuencia√q k = ε a k + ε n k T Sc kE p(2.19)donde ε = . c k / c k representa el error relativo del CAG. A lo largo de esta tesisse asumirá compensación perfecta de amplitud y fase en el CAG, por lo que sepuede suponer que ε =1. Finalmente, los símbolos recibidos q k son detectadoscon la misma constelación QAM y la misma potencia empleadas en el transmisor.Retomando la fig. 2.4, resta describir dos subsistemas: la estimación de canaly la adaptación de la modulación.La estimación del canal proporciona la información necesaria para poder realizarla adaptación constelación-potencia. Clásicamente se han usado dos descriptoresde la calidad canal: la SNR instantánea γ y la SNR media ˜γ. Estos dosdescriptores son suficientes para el modelo de desvanecimiento Rayleigh, pero sise considera un modelo de desvanecimiento Nakagami-m se requiere un terceroque proporcione información sobre el nivel de LOS, que podría ser una estimacióndel parámetro m. Cada descriptor está asociado a una escala de tiempodeterminada, lo cual es analizado en detalle en la próxima sección. En principiose considerará que las estimaciones de estos descriptores son perfectas, ̂γ = γ,̂˜γ = ˜γ y ̂m = m, dejando para el capítulo 5 el estudio del efecto de la estimaciónimperfecta del canal en las prestaciones del sistema AQAM.


28 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSOBJETIVO(MAXIMIZAR LAEFICIENCIAESPECTRAL)CONJUNTO <strong>DE</strong> RESTRICCIONES(POTENCIA,BER,..)(CONSTELACIONES,POTENCIAS)ESQUEMA AQAMCONJUNTO <strong>DE</strong><strong>DE</strong>SCRIPTORES<strong>DE</strong>L CANAL(SNR,m,..)LEYES <strong>DE</strong> ADAPTACIÓNCONSTELACIÓN-POTENCIAFigura 2.5: Concepto de esquema AQAM.A partir de la descripción de la calidad del canal, el subsistema de adaptaciónde la modulación decide cuál es la pareja constelación-potencia más apropiadao incluso puede optar por no transmitir, situación que se suele denominarbloqueo de transmisión (Outage). Para notificar al transmisor la parejaconstelación-potencia elegida, el receptor le envía cierta información sobre laadaptación a través del canal de señalización. En teoría el canal de señalizaciónpodría ser de cualquier naturaleza y no necesariamente un canal radio. Sin embargo,admitiendo que habitualmente los sistemas de comunicaciones móvilesson duplex, una posibilidad es que el canal de señalización para la adaptaciónen sentido descendente se multiplexe en el tiempo con el canal de datos en sentidoascendente, y viceversa.La elección de la constelación y la potencia realizada por el subsistema deadaptación está basada en la adopción de un determinado esquema AQAM. Dichoconcepto se representa en el diagrama de la fig. 2.5.Un esquema AQAM lleva implícitas unas leyes de adaptación de constelacióny potencia que se optimizan en fase de diseño para alcanzar ciertos objetivos yque están sujetas a determinadas restricciones. Las leyes de adaptación utilizancomo entrada un conjunto limitado de descriptores del canal (SNR, m, etc.) y proporcionancomo salida la constelación y potencia que debe emplear el transmisoren cada momento.


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 29Los objetivos de los esquemas AQAM están relacionados con las prestacionesdel sistema, como maximizar la eficiencia o minimizar la probabilidad de bloqueo.En esta tesis se supone que el objetivo siempre es maximizar la eficienciaespectral. En relación con ese objetivo se pueden imponer una serie de restriccionesque, normalmente, establecen que la potencia media y la BER no superenunos valores preestablecidos. Además, también se puede restringir el conjuntode posibles valores de constelación o potencia, por ejemplo imponiendo el uso decierto conjunto de constelaciones QAM o cierto número de posibles valores depotencia.Durante el funcionamiento del sistema, las leyes de adaptación previamentediseñadas dictan qué constelación y qué potencia deben emplearse en cadainstante a partir del conjunto de estimaciones de los descriptores del canal.


30 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOS2.3.2 Formulación y Modelo de AnálisisA. Escalas de TiempoPara analizar el sistema AQAM general, descrito en la sección anterior, puedenestablecerse tres escalas de tiempo asociadas a la variación temporal delcanal. La dinámica de las magnitudes de interés del sistema AQAM está inducidapor la propia evolución del canal en el tiempo, por lo que las mismas escalastemporales serán observables en la potencia, velocidad binaria, SNR, etc.En la descripción que sigue a continuación cualquier magnitud del sistemao la propia envolvente del canal se representan mediante el proceso aleatoriocontinuo X(t) ó discreto X k . En general, dichas magnitudes son funciones decuatro procesos estocásticos que varían en escalas de tiempo muy diferentes: lafuente binaria (b k ), el ruido AWGN (n k ), α k y g k ; por ejemplo para el caso discretoesta relación puede expresarse como X k = X k (b, n, α, g).De acuerdo con la fig. 2.6 las tres escalas de tiempo son:a) Escala de Invarianza: es suficientemente pequeña como para poder considerarque la envolvente del canal es prácticamente constante. Sea 〈t〉un entorno de tiempo alrededor de un instante dado t dentro del cual secumple esta condición, típicamente este entorno es < 10 −2 f −1D , entoncesα(〈t〉) ≃ Constante. La escala de invarianza es por tanto muy pequeña enrelación con los desvanecimientos rápidos que experimenta el canal porefecto de la propagación multicamino. En el tiempo discreto puede definirseun entorno de invarianza equivalente de la siguiente forma 〈k〉 = . 〈t = kT S 〉.Dado el proceso aleatorio discreto X k , la esperanza matemática condicionadaal intervalo de invarianza se define como [Pap91, pág. 172]E 〈X k 〉 . =E[X k (b, n, α, g)| α = α k ,g= g k ] (2.20)y de forma análoga para un proceso continuo. Obsérvese que el resultadode (2.20) es una función de las realizaciones α k y g k consideradas, que a suvez permanecen constantes en cualquier intervalo de invarianza 〈k〉.b) Escala Media: es muy grande en relación con los desvanecimientos rápidosmulticamino y todavía demasiado pequeña como para apreciar las variacioneslentas de la atenuación del canal a gran escala g(t). Por ello, en unentorno t alrededor de t se cumple que g(t) ≃ Constante. La duraciónde t es ∼ 10 −1 X c f −1Dsegún se desprende de (2.14). De forma análoga se


L I M KO P Q NI<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 31..]Escala Global@ A C D E G IEscalaMedia]Escala MediaEscalaInvarianzaFigura 2.6: Escalas de tiempo asociadas al desvanecimiento del canal.definen el intervalo a escala media discreto k . = t = kT S y la esperanzacondicionadaE X k . =E[X k (b, n, α, g)| g = g k ] (2.21)que es análoga para el caso continuo. A escala media, el resultado de (2.21)es función de la realización considerada g k cuyo valor permanece constanteen el intervalo de tiempo k.c) Escala Global: es la escala temporal absoluta en la que se manifiestantodas las variaciones posibles, por lo tanto la esperanza matemática secalcula de la forma habitual E[·]. En un sistema real representaría el tiempototal que dura un determinado servicio, por ejemplo una llamada de vozsobre IP en una red de comunicaciones móviles.Conviene señalar que las definiciones (2.20) y (2.21) pueden extenderse aotros parámetros del canal que, como g k , experimenten variaciones lentas: m(nivel de LOS), f D (desplazamiento Doppler), etc.En términos estrictos de teoría básica de conjuntos, las escalas de invarianzay media permiten realizar particiones aproximadas a escala global de cualquierrealización de X k [Pap91, pág. 18]. Es decir, la escala global se divide en una seriede intervalos a escala media no solapados y cuya unión dan lugar a la escalaglobal. De la misma forma cada intervalo a escala media, es dividido en unaserie de intervalos a escala de invarianza. Se pueden establecer las siguientes


32 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSrelaciones entre las esperanzas condicionadas definidas. La esperanza a escalaglobal { y media cumplen que:E Xk =EE 〈X k 〉E[X k ]=E[E〈X k 〉]=E[EX k ]=E[EE 〈X k 〉]lo que significa que la operación esperanza en una escala determinada se puedeir realizando de forma parcial a partir de las esperanzas en las escalas inferiores.Mediante las escalas de tiempo ahora definidas se analizan en las siguientessecciones las potencias transmitidas y recibidas, las diferentes definiciones deSNR, tamaños de constelación y eficiencia espectral, así como las definicionesde BER. Suponiendo que X k es cualquiera de estas magnitudes que no varía aescala de invarianza, se establecerá la siguiente de notación salvo excepcionespuntuales. La magnitud X k a escala de invarianza se representa como E 〈X k 〉o simplemente X k , la misma magnitud a escala media podrá aparecer comoE X k o simplemente ˜X k , y, la magnitud a escala global como E[X k ] o de formasimplificada ¯X k .B. Potencia Transmitida y RecibidaDe forma consistente con (2.16) se define la ’Potencia Instantánea Transmitida’como. E pS k = E 〈 |a k | 2〉 (2.22)T SCuando no se realiza ningún tipo de control de potencia en el transmisor, la potenciainstantánea es constante. En caso contrario, S k irá continuamente cambiandocada vez que haya variaciones en la ganancia del canal y según dicteel subsistema de adaptación del receptor. La potencia media transmitida ¯S seconsidera un parámetro nominal constante del sistema y normalmente debecoincidir con E[S k ]. Los esquemas AQAM tratados en esta tesis imponen comorestricción que la potencia transmitida a escala media, denominada ˜S =ES . k ,sea constante e igual a ¯S .De acuerdo con (2.18) se define la ’Potencia Instantánea de Señal Recibida’,justo después del muestreo comoW kE p. E p = E 〈 |c k a k | 2〉 = g k αk2 E 〈 |a k | 2〉 = g k αT S TkS 2 k (2.23)SLa interpretación es la siguiente: a escala de invarianza la potencia recibida trasel muestreo es la potencia instantánea transmitida multiplicada por la ganancia


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 33de potencia actual del canal. A partir de la potencia instantánea recibida sedefinen la ’Potencia Media Recibida’ como˜W k. =EWk = g k E α 2 kS k(2.24)Obsérvese en (2.24) que, con adaptación de potencia, los procesos α k y S k puedenestar fuertemente correlacionados.Finalmente, la ’Potencia Media Recibida a Escala Global’ se define comoW . =E[˜W k ] . La potencia media recibida ˜W k sólo coincidirá con el valor global Wcuando el canal no experimente desvanecimientos por atenuación a gran escala,es decir cuando σ G (dB)= 0y por tanto ∀k → g k =ḡ =1, como se puede deducirde (2.13).C. SNR Instantánea y MediaLa ’SNR Instantánea Recibida’ justo después de muestrear se define a partirde (2.23) como. W kϱ k =E 〈 |n k | 2〉 = g kαk 2S k(2.25)N o B Wdonde B W es el ancho de banda radio equivalente de ruido del filtro receptor f(t)[Car86, pág. 177]. Se considera que la potencia de ruido es constante e igual entodas las escalas de tiempo siendo su valor igual a N o B W . La magnitud dadaen (2.25) representa la SNR que a escala de invarianza se observa después delmuestreo. Sin embargo, esta magnitud resulta poco útil de cara a la adaptaciónde la modulación ya que no es una medida exclusiva del estado del canal alincluir la adaptación de potencia que realiza el transmisor.Para obtener una magnitud que mida exclusivamente la variación instantáneade la calidad del canal se define la ’SNR Instantánea’ como la ’SNR InstantáneaRecibida’ suponiendo que siempre se transmite con la potencia media S k = ¯Sγ k. =g k α 2 k ¯SN o B W(2.26)Sobre γ k conviene puntualizar que describe cuantitativamente la calidad instantáneadel canal independientemente de la variación de potencia que puedarealizar el transmisor. Es decir que, como se verá enlapróxima sección, γ k no vaa coincidir con la SNR en recepción ϱ k cuando se realiza algún tipo de control depotencia en el sistema. Por esto y a la vista de (2.26) se puede decir que, a escalade invarianza, γ k describe las fluctuaciones rápidas debidas a la propagación


34 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSmulticamino que experimenta el canal a través de α k independientemente de latécnica de transmisión empleada.Por otro lado, se define la ’SNR Media’ como.˜γ k =Eγk = g kΩ ¯S(2.27)N o B Wy la ’SNR media global’ ¯γ =E[˜γ . k ]=ḡΩ ¯S/(N o B W ) . Como puede deducirse de (2.25),la SNR media ˜γ k no coincide en general con la esperanza de ϱ k a escala media,.es decir con ˜ϱ k =Eϱk .De˜γ k puede decirse que describe, a escala media, lasfluctuaciones de la atenuación a gran escala a través de g k .Las SNR instantánea y media definidas en (2.26) y (2.27) son dos descriptoresdel canal usados por el subsistema de adaptación de la modulación. La SNR instantáneaγ k es constante a escala de invarianza, mientras que la SNR media ˜γ k loes a escala media. A estos dos descriptores de la SNR se podría añadir el parámetrom que describe el nivel de LOS del canal. Puede suponerse que las condicionesde LOS varían a escala global, según lo cual el parámetro m se modela comoun proceso aleatorio m k que no varía a escala media. Cuando no haya lugar aconfusión los tres descriptores de la calidad del canal, uno para la escala de invarianzay dos para la escala media, se denominarán respectivamente 1 γ, ˜γ y m.El análisis de los esquemas AQAM que se presenta en las próximas seccionesycapítulos se basa en la caracterización estadística de γ, ˜γ y m. Normalmente,basta con caracterizar la SNR instantánea γ condicionada a unos ciertos valoresde ˜γ y m. Cuando se fijan los valores de ˜γ y m se está estableciendo un determinadoescenario a escala media. Por ejemplo, una situación con ˜γ(dB)= 5y m =1representa un canal en condiciones muy desfavorables con mucho ruido relativoy NLOS, mientras que, con ˜γ(dB)= 20y m =4el nivel de ruido es relativamentebajo y además existe una fuerte componente LOS. A lo largo de un mismo servicioque abarque la escala global pueden sucederse diferentes escenarios de estetipo a escala media.La caracterización estadística de γ, condicionada a unos valores determinadosde ˜γ y m, puede obtenerse mediante transformaciones de variable aleatoria apartir de su relación con α dada en (2.26). Considerando (2.5) la PDF marginalde γ para el modelo Nakagami-m resulta ser(p γ (γ) = mm γ m−1˜γ m Γ(m) exp − mγ )(2.28)˜γ1 Para ser más coherente con la notación establecida, el parámetro m podría denominarse ˜m.


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 35Por otra parte, mediante (2.7) se obtienen la PDF conjunta de γ en dos instantesde tiempos separados τ segundos( ) m − 1 (m m+1√ ) (γγτ 2 2m ργγτp γ,γτ (γ,γ τ )=I(1 − ρ)˜γ m+1 m−1 exp − m(γ + γ )τ)Γ(m) ρ(1 − ρ)˜γ(1 − ρ)˜γ(2.29)donde I m−1 (·) es la función de Bessel modificada de primera especie y orden m−1,mientras que ρ es el coeficiente de correlación entre γ y γ τ que coincide con elcoeficiente de correlación entre α y α τ calculado en (2.10).D. Leyes de AdaptaciónConforme a lo expuesto en la sección 2.3.1-(B), el esquema AQAM establecelas leyes de variación del tamaño de la constelación QAM empleada y de lavariación de la potencia instantánea transmitida en función de los descriptoresde calidad del canal γ, ˜γ y m. Eltamaño de la constelación (número de bits porsímbolo complejo) empleado en la secuencia transmitida a escala de invarianzase denomina R(t) o R k = R(t = kTS ), según el tiempo se considere de forma.continua o discreta. Siguiendo el mismo criterio, la potencia instantánea transmitidase denomina S(t) o S k = S(t = kTS ). Las leyes de variación instantánea.son funciones de la SNR instantánea γ k y tienen como parámetros ˜γ y m, es decirR k = R(γ k ; ˜γ,m) ≥ 0 y S k = S(γ k ; ˜γ,m) ≥ 0, por lo que abreviadamente se podrándenominar R(γ) y S(γ) .E. Eficiencia EspectralEl objetivo de los esquemas AQAM que se van a estudiar en esta tesis es maximizarla eficiencia espectral cumpliendo simultáneamente ciertas restricciones.La ’Eficiencia Espectral’ debe entenderse a escala media y se define como la velocidadbinaria media por unidad de ancho de banda radio (bits por segundoy Hz)∫. E R k ∞˜ν k =T S B≈ E R(γ) = R(γ)p γ (γ)dγ (2.30)0donde se supone que B ≈ 1/T S es el ancho de banda radio de la señal transmitida.En un sistema real el valor de B será un poco mayor que el mínimo 1/T Sestablecido por el criterio de Nyquist, en función del exceso relativo de ancho debanda empleado. Puesto que ˜ν k varía cuando cambia el estado del canal a escalamedia, depende tanto de ˜γ como de m y, cuando no haya lugar a confusión, se


36 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSdenotará simplemente como ˜ν . Finalmente, a partir de ˜ν se define la ’EficienciaEspectral Global’ como ¯ν . =E[˜ν k ].F. BER Instantánea y MediaLos esquemas AQAM además de maximizar la eficiencia espectral deben cumpliruna serie de restricciones. Por un lado la potencia media transmitida debemantenerse igual al valor nominal ¯S y por otro deben cumplirse ciertos requisitosde calidad en los datos transmitidos preservando de alguna forma la BER.Para la BER se suelen usar dos formas de restricción alternativas: ’BER Instantánea’constante (I-BER) o ’BER Media’ constante (A-BER) [Chu01]. En términosde escalas de tiempo, la restricción tipo I-BER expresa el cumplimiento deuna BER objetivo BER T a escala de invarianza, mientras que la A-BER trata deconseguir ese mismo objetivo a escala media. Las restricciones del tipo I-BERse suelen imponer cuando la comunicación es de datos o mixta (voz y datossimultáneamente) y se requieren bajas tasas de error, mientras que la A-BERpuede ser más apropiada para las comunicaciones de voz donde se pueden tolerartasas de error peores que sólo hace falta cumplir en una escala de tiemporelativamente mayor.La BER instantánea BER k y la media ˜BER k se definen comoBER k. = Probabilidad de error de bit/α= αk ,g= g k (2.31)˜BER k. = Probabilidad de error de bit/g = gk (2.32)y de forma simplificada se podrán denominar como BER(γ) y ˜BER. La restricciónI-BER impone que, cuando hay transmisión, la BER instantánea sea inferior oigual a un objetivo prefijado BER(γ) ≤ BER T . En cambio, la restricción A-BERestablece que ˜BER ≤ BER T .Para constelaciones QAM cuadradas, cuando R(γ) ≥ 2 y BER(γ) ≤ 10 −3 ,laBER instantánea se puede aproximar mediante [Chu01]BER(γ) ≃ 1 (5 exp − 8 γS(γ)/ ¯S )(2.33)5 2 R(γ) − 1Para realizar una aproximación continua del análisis de la modulación adaptativa,la expresión (2.33) puede extenderse a valores de R(γ) reales [Chu01]. La


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 37ventaja de esta expresión frente a la fórmula exacta dada en [Pro95, pág. 280] esque se puede invertir tanto para S(γ) como para R(γ), lo cual facilitará la obtenciónde resultados analíticos. De acuerdo con [Chu01, fig. 2], esta aproximaciónsigue siendo aceptable para tasas de error más altas BER(γ) ≤ 2 · 10 −2 pero ental caso la constelación más densa considerada debería ser la 256-QAM, es decirque 2 ≤ R(γ) ≤ 8 .A partir de la BER instantánea se puede obtener la BER media como [Chu01]˜BER = E BER(γ)R(γ)E R(γ)=∫ ∞0BER(γ)R(γ)p γ (γ)dγ∫ ∞0R(γ)p γ (γ)dγ(2.34)2.3.3 Definición Formal del Esquema AQAMEl primer objetivo de esta tesis, que se desarrollará a lo largo de los capítulos 3y 4, consiste en el análisis y en la propuesta de nuevos esquemas AQAM. Conayuda de la formulación de la sección anterior 2.3.2 se puede concretar másel concepto de esquema AQAM que se introdujo de manera cualitativa en lafig. 2.5. La definición formal de los esquemas AQAM que se estudian en estatesis se representa en la fig. 2.7.Un esquema AQAM está definido mediante unas leyes de variación de la constelacióny la potencia, R(γ) =R(γ; ˜γ,m) y S(γ) =S(γ; ˜γ,m) respectivamente, enfunción de los siguientes descriptores del canal: γ (para la escala de invarianza),˜γ y m (para la escala media). Las leyes de adaptación se obtienen en fase dediseño como consecuencia de un proceso de optimización basado en un ciertoobjetivo y sujeto a determinadas restricciones.El objetivo considerado es maximizar la eficiencia espectral a escala media ˜νy las restricciones posibles se describen en detalle a continuación.Las restricciones se pueden dividir en dos grupos: las que limitan la potenciamedia y la BER, y las que fijan el conjunto de constelaciones y el número deniveles de potencia por constelación.El primer grupo de restricciones establece que la potencia media y la BER nosuperen unos determinados valores máximos. La potencia a escala media debeser menor o igual que el valor nominal ¯S, es decir ˜S . =ES k ≤ ¯S . Además, laBER debe cumplir la restricción I-BER (BER(γ) ≤ BER T ) o la restricción A-BER


lniƒksk fjmo s‚‡lnd{keomŒ• — ˜ ’ V ˜ T •• — ˜ Ž ’ T ˜ ’ ‘ šŒ• — ˜ ’ V ˜ T •• — ˜ Ž ’ T ˜ ’ ‘ šdree38 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOSOBJETIVOOPTIMIZACIÓNT U V W V Y T [ \ ] _ a b g g h i jSCONJUNTO <strong>DE</strong> RESTRICCIONESg gLEYES <strong>DE</strong> ADAPTACIÓNCONSTELACIÓN-POTENCIA] _ a b r e r \u t v x y z u| } ~ | } ~ € t„ … \ † bˆ ‰ d ˆ ‰ d ‹ ]_ a b g gk ]• — ˜ œ ˜ ’ — ‘ • — ˜ Ž ’ ‘ T V — ˜ ‘ Ž ¢ £Œ V Ž [ ‘ ’ T_ a b g gk ]¤ V ¥ — ‘ ¦ T [ V T V § ˜ ‘ d ] ¨ bŒ V Ž [ ‘ ’ T¤ V ¥ — ‘ ¦ T [ V T V § ˜ ‘ r ] ¨ bFigura 2.7: Definición formal del esquema AQAM.( ˜BER ≤ BER T ). El valor de la BER objetivo BER T , al igual que ¯S, se especificanen la fase de diseño del esquema AQAM.El segundo grupo de restricciones están relacionadas con el conjunto de posiblesconstelaciones C R y el conjunto de posibles niveles de potencia por constelaciónC S . Normalmente las restricciones sobre C R se refieren al conjunto completo,por ejemplo estableciendo la utilización de las siguientes constelaciones{4-QAM, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM}. Por otra parte las restricciones sobre C Sse refieren sólo al orden o número de elementos del conjunto, por ejemplo permitiendoúnicamente 1 nivel de potencia por constelación o equivalentementeOrden (C S )=1. En cualquier caso, las restricciones sobre Orden (C R ) y Orden (C S )determinan el tipo de variación permitida en R(γ) y S(γ) respectivamente. Enambos casos se consideran tres tipos de variación: discreta (D), continua (C) oconstante (K). La variación discreta (D) significa que la magnitud en cuestiónR(γ) ó S(γ) es seleccionada de un conjunto finito y discreto preestablecido devalores, por tanto orden finito. Por otra parte, la variación continua (C) suponeque se puede elegir un valor real cualquiera, lo cual implica orden infinito.Cuando un esquema especifica el valor constante (K) en la constelación o la potencia,la magnitud referida es constante sea cual sea el estado del canal. Elvalor constante (K) puede considerarse un caso especial de orden 1.La clasificación de los esquemas AQAM representados en la fig. 2.7 se realiza


<strong>DE</strong>SCRIPCIÓN GENERAL <strong>DE</strong> LOS SISTEMAS AQAM 39Tabla 2.1: Clasificación y denominación de los esquemas AQAM.<strong>DE</strong>NOMINACIÓN <strong>DE</strong>SCRIPCIÓN N O <strong>DE</strong> GRADOS INFORMACIÓN<strong>DE</strong> LIBERTAD<strong>DE</strong> ADAPTACIÓNCC-I, CC-A Adaptación continua total 2 ∞KC-I, KC-A Control de potencia continuo 1 ∞CK-I, CK-A Adapt. de constelación continua 1 ∞DD-I, DD-A Adaptación discreta total 2 FinitaKD-I, KD-A Control de potencia discreto 1 FinitaDK-I, DK-A Adapt. de constelación discreta 1 FinitaKK-I, KK-A QAM no adaptativa 0 0especificando el tipo de restricciones que utiliza. Un esquema genérico AQAMse podrá denominar XY-Z, donde X e Y representan el tipo de variación en laconstelación y potencia respectivamente, y Z, el tipo de restricción en la BER.X e Y pueden ser: variación discreta (D), variación continua (C) o constante (K),mientras que Z puede ser instantánea (I) o media (A) según el tipo de restriccióncorrespondiente en la BER. En la tabla 2.1 aparecen los esquemas más interesantesagrupados en diferentes familias, donde, además de la descripción, seindican el número de grados de libertad de la adaptación y la información quese requeriría a través del canal de señalización. Cuando un esquema tiene algúntipo de variación continua, la cantidad de información necesaria para la adaptaciónsería infinita. Por lo tanto, puede afirmarse que la discretización en losesquemas de modulación adaptativa es indispensable para su implementación.En el capítulo 3 se estudian las características y prestaciones de los esquemasAQAM con variación continua, lo cual servirá de referencia para la propuesta deesquemas AQAM discretos desarrollada en el capítulo 4. Además, un esquemade variación continua también será el punto de partida para el análisis delcapítulo 5 donde se evalúa el efecto de la adaptación no ideal en las prestacionesdel sistema AQAM.


40 MODULACIÓN ADAPTATIVA EN CANALES PLANOS CON <strong>DE</strong>SVANECIMIENTOS


Capítulo3Análisis de los Esquemas deAdaptación con Variación Continua3.1 IntroducciónEL primer paso para analizar la adaptación óptima de la modulación en losesquemas AQAM es suponer que tanto el tamaño de la constelación comola potencia pueden variarse de forma continua. La aproximación continua enlas leyes de variación permite vislumbrar las prestaciones potenciales de losesquemas AQAM y sirve de referencia para valorar los esquemas discretos.En [Chu01] se presenta un excelente trabajo sobre la optimización de los esquemasAQAM con variación continua. Este trabajo incluye los resultados previosde [Gol97] donde Goldsmith y Chua obtienen las leyes de adaptación óptimasconstelación-potencia con el objetivo de maximizar la eficiencia espectraldel sistema.Todos los esquemas AQAM optimizados en [Chu01] y [Gol97] permiten variacióncontinua de al menos uno de los dos grados de libertad posibles: tamaño dela constelación y potencia instantánea. Esto supone que no podrían ser implementadosdirectamente en un sistema real, al requerir algún tipo de discretizaciónque limite la cantidad de información en el canal de señalización.41


42 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAEl objetivo fundamental de este capítulo es analizar en detalle los esquemasAQAM con variación continua CC-I y CC-A. Ambos esquemas servirán paraanalizar las prestaciones de la familia de esquemas discretos propuesta en elcapítulo 4. Además, el esquema CC-I se utilizará enelcapítulo 5 para evaluarel efecto de la adaptación no ideal en las prestaciones del sistema AQAM.El resto del capítulo se organiza como se describe a continuación. En la sección3.2 se presentan las leyes de adaptación óptimas de los esquemas CC-Iy CC-A. Posteriormente, en la sección 3.3 se estudian las prestaciones que sealcanzan con estos esquemas mediante el análisis de la eficiencia espectral yla probabilidad de bloqueo. Finalmente, las conclusiones más importantes delcapítulo se enumeran en la sección 3.4.


ESQUEMAS AQAM CON VARIACIÓN CONTINUA CC-I Y CC-A 433.2 Esquemas AQAM con Variación Continua CC-I yCC-ALos esquemas con variación continua CC-I y CC-A pueden considerarse losmás generales al poseer dos grados de libertad funcionales: constelación y potencia.Por lo tanto, las leyes de variación R(γ) y S(γ) de los esquemas CC-I yCC-A permiten alcanzar la mayor eficiencia espectral posible con los esquemasAQAM considerados (véase la tabla 2.1).Las leyes de adaptación para el esquema CC-I se obtienen en forma de expresionesanalíticas cerradas en [Chu01]. En este mismo trabajo, se obtienenlas leyes de adaptación del esquema CC-A mediante métodos numéricos. En laspróximas secciones se deducirán expresiones analíticas cerradas que se aproximanconsiderablemente a las leyes de los esquemas CC-A obtenidas con métodosnuméricos en [Chu01]. El parámetro más importante que aparece en lasleyes de adaptación óptimas de los esquemas CC-I y CC-A es la SNR de corte.La organización de las secciones que siguen se explica a continuación. Enlas secciones 3.2.1 y 3.2.2 se presentan las leyes de adaptación óptimas de losesquemas CC-I y CC-A, estableciendo un análisis comparativo entre ellas. Posteriormente,la sección 3.2.3 se dedica al estudio detallado de la SNR de corte encada uno de los dos esquemas.3.2.1 Optimización del Esquema CC-IDesde un punto de vista matemático, la optimización de cualquier esquemacon variación continua es un problema variacional, ya que no se trata deoptimizar variables sino funciones. Dentro de los problemas variacionales, losaquí planteados son del tipo isoperimétricos por la forma integral de algunas desus restricciones [Els77, Capítulo IX].Sean f R (γ) y f S (γ) una pareja de posibles leyes de adaptación constelaciónpotencia,y F ν (f R ,f S ) la eficiencia espectral alcanzada. Las leyes de adaptaciónóptimas f R (γ) =R(γ) y f S (γ) =S(γ) son las que permiten alcanzar la máximaeficiencia espectral F ν (R, S) =˜ν.


44 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAEl planteamiento formal del problema variacional para el esquema CC-I esEsquema CC-IMaximizar el funcional ⇒ F ν (f R ,f S )=Ef R (γ) =⎧Restricciones isoperimétricas:⎪⎨E f S (γ) =∫ ∞0f S (γ)p γ (γ)dγ ≤ ¯S(Potencia media)∫ ∞0f R (γ)p γ (γ)dγRestricciones funcionales:1⎪⎩(−5 exp 8 γf S (γ)/ ¯S )≤ BER5 2 f T (BER instantánea, véase (2.33))R(γ)− 1sujeto a(3.1)En el esquema CC-I la BER objetivo BER T debe cumplirse de forma instantáneay por tanto se establece una ligadura directa entre f R (γ) y f S (γ). La soluciónde este problema variacional proporciona las leyes de adaptación óptimaspara el esquema CC-I que aparecen en la tabla 3.1, cuya deducción detalladapuede encontrase en [Chu01]. La solución óptima impone, como es de esperar,que ambas restricciones deben estar activas (es decir, se verifican en forma deigualdad). La SNR de corte γ 0 es el parámetro más importante de estas leyes yestablece que cuando γ


ESQUEMAS AQAM CON VARIACIÓN CONTINUA CC-I Y CC-A 45Tabla 3.1: Leyes de adaptación constelación-potencia óptimas para los esquemasAQAM con variación continua y dos grados de libertad funcionales.ESQUEMA LEYES <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN ÓPTIMAS †CC-ICC-AR(γ) =log 2( γγ 0)u(γ − γ 0 )S(γ) = ¯S 5K (T 1− 1 )u(γ − γ 0 )8 γ 0 γ( ) γR(γ) =log 2γ 0′ u(γ − γ 0)′⎛ ( ) ⎞8 γS(γ) = ¯S 5 8 log ⎜25 log 2γ 0′ ( ⎝( 1Cγ 0′ − 1 ) ⎟ 1⎠ γ ′ − 1 )u(γ − γ0 γ0)′γγ 0 es la SNR de cortey se obtiene de larestricción de potenciamediaγ 0 ′ y C se obtienende las restriccionesde potencia y BERmedias† K T = − log(5BER T ) y u(·) es la función escalón unitarioComo puede observarse, la única diferencia con el planteamiento del esquemaCC-I es la restricción asociada a la BER.El problema para el esquema CC-A impone una restricción en la BER mediamucho más flexible que debe dar lugar a una solución con la que se alcanzamayor eficiencia espectral. La contrapartida de usar la restricción tipo A-BERes que no se garantiza que en determinadas fases de la transmisión, a escala deinvarianza, la BER no supere BER T . Chung y Goldsmith demuestran en [Chu01]que, sorprendentemente, la eficiencia espectral alcanzada por ambos esquemases prácticamente la misma. De nuevo, todas las restricciones van a estar activaspara las leyes de adaptación óptimas CC-A [Chu01].Las leyes de adaptación óptimas para el esquema CC-A que se presentan enla tabla 3.1 son aproximaciones cerradas obtenidas en esta tesis de la soluciónexacta. En el apéndice 3-A se detalla cómo se obtienen estas expresiones y severifica la bondad de la aproximación comparándola con los resultados obtenidosen [Chu01] mediante métodos numéricos.Obsérvense en la tabla 3.1 las diferencias existentes entre las leyes de variaciónde ambos esquemas. Las leyes del esquema CC-I dependen de la SNRde corte γ 0 y de los parámetros del sistema ¯S y BER T (o equivalentemente K T ).


¿ÁÀ½àáâá ßÞÍÌËçÝ46 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUA» ¼Â  à Äã ä åã ã ä æã  à ÉË ÏÊÅÆÇ Èè é çÌ Ïʪ « ­ ¯ ° ± ² ¯ ± ² ¯ ´ ² µ · ¸ ¹º » ¼ » º ½ ¼ ½ º ¾ ¼¼©(a)(b)Ê Ë Ì Ë Ê Í Ì Í Ê Î ÌÐ Ñ Ò Ó Ô Õ Ö × Ô Ö × Ô Ø ×Ù Ú Û ÜFigura 3.1: Comparación entre las leyes de adaptación óptimas de constelaciónpotenciapara los esquemas CC-I y CC-A para BER T = 10 −4 , ˜γ(dB)= 20 dB ym =1. (a) Ley de adaptación de la velocidad binaria por ajuste del tamaño de laconstelación QAM R(γ). (b) Ley de adaptación de la potencia S(γ).Las leyes del esquema CC-A dependen, además de ¯S (explícitamente) y BER T(implícitamente), de la SNR de corte γ ′ 0 y de la constante C. La obtención de γ 0 ,γ ′ 0 y C se aborda en detalle en la próxima sección 3.2.3.En la fig. 3.1 se representan gráficamente las leyes de adaptación óptimasS(γ) y R(γ) de los esquemas CC-A y CC-I con BER T =10 −4 , ˜γ =20dB ym =1(NLOS). La diferencia entre las leyes de variación de R(γ) para ambos esquemases inapreciable. La causa es que las SNR de corte son prácticamenteiguales, es decir γ 0 ≈ γ ′ 0, tal y como se justifica en la próxima sección. Por otraparte, sí existen pequeñas diferencias en la ley de variación de la potencia S(γ).En el caso del esquema CC-A, la potencia trasmitida es ligeramente menor pordebajo de un cierto valor de γ próximo a ˜γ, y por contra ligeramente mayor porencima de este valor. Por ello, la BER instantánea permanece constante e iguala BER T en el esquema CC-I y experimenta cierta variación en el caso del esquemaCC-A, como se muestra en la fig. 3.2.


þ ÿ ¢ ¤ ¦ ¨ © ¤ ¨ © ¤ ©ESQUEMAS AQAM CON VARIACIÓN CONTINUA CC-I Y CC-A 47ë ì ïñ% ' ) %% ' + %# $"!ó ô õ ö ø ù û ü ýë ì ïð, - . ,ë ì ï òê ë ì ë ê í ì í ê î ì Figura 3.2: Comparación entre la BER instantánea del esquema CC-I yladelCC-A para ˜γ(dB)= 20dB y m =1.3.2.3 Cálculo de la SNR de CorteLa SNR de corte se presenta como un parámetro clave de los esquemas AQAMa la vista de las leyes de adaptación óptimas dadas en la tabla 3.1. Además, comose verá enlaspróximas secciones, la SNR de corte normalizada definida como.Ψ 0 = γ0 /˜γ es prácticamente el único parámetro del que dependen las prestacionesmás importantes del sistema: eficiencia espectral y probabilidad de bloqueo. Porello y por la complejidad que implica su cálculo, merece un análisis detalladoque se realiza a continuación.SNR de Corte del Esquema CC-IEn el caso del esquema CC-I la SNR de corte viene impuesta por el cumplimientode la restricción de potencia media constante en el problema de optimizaciónpresentado en 3.1. Utilizando la ley de potencia óptima S(γ) de latabla 3.1 (CC-I), la PDF para Nakagami-m en (2.28) y definiendo la SNR ins-


BA @<strong>DE</strong>C ?HI GF48 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUA/ 0 49 :


ESQUEMAS AQAM CON VARIACIÓN CONTINUA CC-I Y CC-A 49fórmula iterativa que converge muy rápidamente a la solución, como se demuestraenelapéndice3-B. Una aproximación inicial con un error máximo de 1 dBpara el rango de valores de interés de K T y ˜γ viene dada porΦ(x) ≃ log ( 1 √1+2 (1 + 5 x )) (3.5)2De la aproximación (3.5) se infiere que en el caso Rayleigh Ψ 0 ∼ 5K T /(8˜γ)cuando ˜γ →∞. En consecuencia, si se desnormaliza Ψ 0 se observa como la SNRde corte γ 0 tiende asintóticamente a un valor límite dado por 5K T /8 cuando seaumenta la SNR media.SNR de Corte del Esquema CC-APara el esquema CC-A el cálculo es ligeramente más complejo. En estecaso Ψ ′ 0 se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones resultante de cumplirlas restricciones del esquema conforme al planteamiento dado en (3.2). Recordandoque Ψ=γ/˜γ, el sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas (Ψ ′ 0y C) a resolver es el siguiente (apéndice 3-A)⎧⎪⎨⎪⎩∫ ∞Ψ ′ 0∫ ∞Ψ ′ 0⎛ ( ) ⎞8 Ψ log ⎜25 log 2(Ψ ′ 0⎝(C 1− 1 ) ⎟ 1⎠ − 1 )Ψ m−1 e −mΨ dΨ= 8˜γΓ(m)Ψ ′ 0 Ψ5m m˜γ Ψ ′ 0 Ψ( ( 5 C 1− 1 )( )) Ψ− BER8 ˜γ Ψ ′ T log0 Ψ2 Ψ m−1 e −mΨ dΨ=0Ψ ′ 0(3.6)El sistema de ecuaciones no lineales (3.6) puede abordarse con métodosnuméricos de una forma análoga a como se hizo con el cálculo de la SNR decorte del esquema CC-I. En este caso, debe resolverse de forma iterativa unsistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas donde, en cada iteración,las integrales pueden evaluarse numéricamente. Los detalles del procedimientonumérico empleado se proporcionan en el apéndice 3-A.Como se muestra en la fig. 3.4, dados unos valores de m y x = K T /˜γ, lasolución Ψ ′ 0 de (3.6) es ligeramente inferior, pero prácticamente igual, al valorde Ψ 0 solución de (3.3). Para el rango de valores de interés en K T (BER T )y˜γ ladiferencia entre las dos SNR de corte es inferior a 0.1 dB. Este resultado es clave


XVUL W [ ^ L\ \\ ] \R LMONfab`_50 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAf mn sf mno p qo p rSTf me sY Z [\[Z[ [[f mePQf mf se f gh e f gi e f gj e f k e f j e f ic dFigura 3.4: Comparación entre las SNR de corte de los esquemas CC-I y CC-A.para explicar por qué los esquemas CC-I y CC-A tienen prácticamente la mismaeficiencia espectral.


PRESTACIONES 513.3 PrestacionesA continuación se analizan las prestaciones de los esquemas con variacióncontinua CC-I y CC-A presentados en la sección anterior. Las dos magnitudesmás importantes que describen tales prestaciones son la eficiencia espectral y laprobabilidad de bloqueo.3.3.1 Eficiencia EspectralCapacidad del CanalLa capacidad media del canal plano representa la máxima eficiencia espectral(bits/s/Hz) que puede alcanzarse libre de errores [Agu01, pág. 34]. Dichacapacidad viene dada por˜η =Elog 2 (1 + γ) =∫ ∞0log 2 (1 + γ)p γ (γ)dγ (3.7)Esta magnitud proporciona una referencia sobre la máxima eficiencia espectralque puede obtenerse con un sistema de transmisión concreto en el canal.Con ayuda de la fórmula de integración numérica de Gauss-Laguerre[Dav84, pág. 223], la capacidad dada en (3.7) para el modelo Nakagami-m(véase (2.28)) puede calcularse como˜η ≈ 1Γ(m)N∑ pn=1L xn x m−1n log 2 (1 + ¯γ m x n) (3.8)donde N p es el orden del polinomio de Laguerre L Np (·), x n son los ceros de L Np (·) yL xn = x n /[L Np (x n )] 2 son los pesos asociados al polinomio de Laguerre de orden N p .Habitualmente, N p =32es suficiente para obtener una excelente precisión.Para el caso particular de desvanecimiento Rayleigh (m =1) la integral de (3.7)tiene la siguiente solución analítica( ) ( )˜η =log 2 (e) · exp · E 1 (3.9)1˜γ1˜γcon E 1 (x) la función exponencial-integral de primer orden definida clásicamentecomo [Gra94, pág.xxxiv]E 1 (x) =∫ ∞e −txtdt (3.10)


52 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAResulta particularmente interesante comparar la eficiencia espectral alcanzadapor los esquemas CC-I y CC-A con la capacidad del canal. A lo largo deesta sección se demuestra que ambos esquemas, tal cual y sin codificación decanal, se acercan considerablemente a la capacidad del canal. A continuación seobtienen expresiones que permiten estudiar y comparar la eficiencia espectralasociada a los esquemas CC-I y CC-A.Eficiencia Espectral del Esquema CC-IComenzando por el esquema CC-I, es posible calcular la eficiencia espectralexpresándola de la siguiente forma∫ ∞( )˜ν =ER(γ) =mmγlog˜γ m Γ(m)2 γ m−1 exp(− mγγ 0γ 0 ˜γ )dγ{= x = γ˜γ , Ψ 0 = γ }0 m m γ m ∫ ∞0=log (x) x m−1 exp(− mγ (3.11)0˜γ ˜γ m Γ(m)log(2)˜γ x)dxdonde Ψ 0 = γ 0 /˜γ representa la SNR de corte normalizada. Con ayuda dela función gamma incompleta y las propiedades de su derivada se llega a(véase [Gra94, pág.607])˜ν = log 2(e)Γ(m)(1− log (mΨ 0 )Γ(m, mΨ 0 )+ ∂Γ(x, mΨ 0)∂x)∣x=mcon Γ(a, x) la función gamma incompleta definida como [Gra94, pág. 949]Γ(a, x) . =∫ ∞x(3.12)t a−1 e −t dt con a, x 0 (3.13)La función gamma incompleta engloba como casos particulares la función gammaΓ(a) =Γ(a, 0) y la función exponencial-integral de primer orden E 1 (x) =Γ(0,x).Aunque la expresión (3.12) contiene una derivada parcial no resuelta, tiene lagran ventaja de ser muy fácil de calcular numéricamente, por ejemplo mediantela definición de derivada. En [Alo99] se presenta una expresión alternativa a(3.12) en forma de suma de funciones gamma incompleta pero sólo válida paravalores enteros de m. Como se observa en la expresión (3.12), la eficiencia espectraldel esquema CC-I sólo depende de la SNR de corte normalizada Ψ 0 y delparámetro del canal m.Para el caso concreto NLOS m =1(Rayleigh), la eficiencia espectral dada en(3.12) se reduce a la siguiente expresión analítica cerrada˜ν =log 2 (e) · E 1 (Ψ 0 ) (3.14)Obsérvese el paralelismo existente entre esta expresión y la capacidad en (3.9).


± °² ³ «¡¢£ ¢¤¢¦ £ ¥y{zwvŒPRESTACIONES 53u v | } } ‚ƒ } ƒ „ † ‡| |ˆ ‰„ † ‡| |„ † ‡Š | } } ‚ƒ } ƒ „ † ‹ ˆ| |„ † ‹®¯| |ˆ ‰„ † ‹Š | } } ‚ƒ } ƒ ¿ Á Â Ä ˆ¬­¨§©ª £ ¤¨§¦´ µ · ¹ † ‡ º »½´ µ · ¹ † ‡ º »¾“ • –˜ • œ žŸ ‘Figura 3.5: Capacidad del canal y eficiencia espectral de los esquemas de adaptacióncon variación continua.t u v u t w v w t x vEficiencia Espectral del Esquema CC-ARespecto al esquema CC-A, la tabla 3.1 muestra que su eficiencia espectraltiene la misma forma que en el esquema CC-I pero con otro valor de SNR de cortenormalizada. Por lo tanto, la eficiencia espectral del esquema CC-A tambiénpuede obtenerse mediante la ecuaciones (3.12) y (3.14) usando Ψ ′ 0 = γ ′ 0/˜γ .Resultados NuméricosEn la fig. 3.5 se muestra la capacidad del canal y la eficiencia espectral alcanzadasa escala media por los esquemas CC-I y CC-A, en función de la SNR mediay para distintos valores de BER T y m. Se incluye también, como referencia, lacapacidad del canal AWGN.La eficiencia espectral varía moderadamente con la BER objetivo y la existenciao no de línea de visión directa en el canal, mientras que, como es deesperar, el incremento debido a la mejora de la SNR media del canal es bastanteacusado. Lo más destacable es que no existe ningún incremento en la eficiencia


54 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAespectral por el hecho de emplear el esquema CC-A en vez del esquema CC-I, losresultados son prácticamente idénticos (debido a que Ψ 0 ≈ Ψ ′ 0). Sin embargo, larestricción tipo I-BER permite garantizar la BER objetivo a escala de invarianzaa diferencia de la restricción tipo A-BER que sólo lo puede hacer a escala media.Por otra parte, ambos esquemas se aproximan considerablemente a la capacidaddel canal plano. Los márgenes con respecto a la capacidad son ∼ 3 dB paraBER T =10 −2 y ∼ 7 dB para BER T =10 −4 respectivamente. Obviamente, cuantomás BER residual se permita, más se acerca la eficiencia espectral de los esquemasde modulación adaptativa a la capacidad del canal. La capacidad del canalAWGN está separada 2 dB de la capacidad con desvanecimiento Rayleigh (m =1)y la diferencia entre las capacidades del canal AWGN y el caso m =4es casidespreciable. Este resultado es razonable ya que cuando el LOS se va haciendocada vez más predominante (m →∞) el canal plano tiende a convertirse en uncanal AWGN.3.3.2 Probabilidad de BloqueoEn general, los sistemas de modulación adaptativa, a diferencia de los noadaptativos, no están continuamente transmitiendo. Cuando la SNR instantáneaγ es inferior a la SNR de corte, las leyes de adaptación óptimas dictan que lomejor es interrumpir o bloquear transmisión. La probabilidad de que esto ocurrase puede denominar probabilidad de bloqueo (Outage Probability).Normalmente lo deseable es que la probabilidad de bloqueo sea lo menor posible.La mayor o menor relevancia del valor de la probabilidad de bloqueo dependede consideraciones del sistema más allá delacapafísica. Si ésta es alta la transmisiónse produce predominantemente en forma de ráfagas y, en consecuencia,el retardo medio observado en la transmisión de los datos aumenta. Este efectoresulta más o menos crítico según el tipo de servicio, tamaño de las colas detransmisión/recepción, etc.Desde un punto de vista cuantitativo, la probabilidad de bloqueo para el esquemaCC-I y el modelo de desvanecimiento Nakagami-m resulta (2.28)Pr {Bloqueo} =Pr{γ


òñðãâæìïîí êæëëìÈÎ Î Ï Ð Ñ Ó ÕÎ Î Ï Ö Ñ Ó ÕÔ Ó Ñ Ð Ï Î ÎPRESTACIONES 55Ç È ÈÍ Èóôõö÷øõÎ Î Ï Ö Ñ Ó ÔäåÌ ÈË ÈØ Ù Ú Û Ü Ý Þ ßáäåæçèêééçëèÉ ÈØ Ù Ú Û Ü Ý Þ ßàÆ Ç È Ç Æ É È É Æ Ê È§ ¨ù ú û ü ý þ ÿ ¡ þ £ ¥Figura 3.6: Probabilidad de bloqueo de los esquemas de adaptación con variacióncontinua.La misma expresión es aplicable al esquema CC-A pero con su correspondienteSNR de corte Ψ ′ 0. La probabilidad de bloqueo sólo depende de la SNR de corte delesquema y del parámetro del canal m.La fig. 3.6 representa la probabilidad de bloqueo en función del estadodel canal. De nuevo los resultados son independientes del tipo de esquema,CC-I ó CC-A, pero fuertemente dependientes del estado del canal a través de susdos parámetros m y ˜γ. La existencia de una fuerte línea de visión directa (m =4)reduce considerablemente la probabilidad de bloqueo frente a la inexistencia deésta (m =1). Cuando la SNR media del canal es elevada la transmisión es prácticamentecontinua. Finalmente, una BER objetivo baja aumenta la probabilidadde no transmitir cuando la SNR es baja ya que en estos casos el impacto de losdesvanecimientos sobre la BER es particularmente importante.


56 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUA3.4 ConclusionesEn este capítulo se han analizado dos esquemas AQAM con variación continuade la constelación y de la potencia. El esquema CC-I preserva la BER aescala de invarianza, mientras que el esquema CC-A lo hace a escala media.Las conclusiones y resultados más relevantes de este capítulo son lossiguientes:a) Se ha realizado un estudio detallado de las leyes de adaptación óptimas delos esquemas de variación continua CC-I y CC-A propuestas por Goldsmithet al. Para el esquema CC-A se han deducido nuevas expresiones analíticascerradas que se aproximan a las leyes exactas. Las leyes de adaptación deambos esquemas son muy similares y sólo hay una ligera diferencia en laley de adaptación de potencia.b) El parámetro más importante de las leyes de adaptación de los esquemasCC-I y CC-A es la SNR de corte que determina el umbral por debajo delcual es preferible no transmitir. Para ambos esquemas se han desarrolladoexpresiones analíticas y procedimientos numéricos que permiten calculareste parámetro. En cualquier caso, la SNR de corte difiere menos de 0.1 dBentre ambos esquemas.c) Los esquemas se han evaluado a través del análisis de la eficiencia espectraly la probabilidad de bloqueo. Ambos esquemas, CC-I y CC-A, consiguenprácticamente las mismas prestaciones, sin diferencias apreciables ni en laeficiencia espectral ni en la probabilidad de bloqueo. La eficiencia espectralalcanzada está muy proxima a la capacidad del canal, unos 3 dB cuando laBER objetivo es 10 −2 y unos 7 dB cuando la BER objetivo es de 10 −4 .d) La probabilidad de bloqueo puede llegar a ser particularmente elevada eneste tipo de esquemas cuando las condiciones del canal son desfavorablesy la BER objetivo es baja.


APÉNDICES 573.5 Apéndices3-A Expresiones Cerradas para las Leyes de Variación del EsquemaCC-AEl sistema de ecuaciones que debe cumplir la solución exacta al esquemaCC-A fue obtenido por Chung y Goldsmith, y viene dada por [Chu01]⎧R(γ) = la solución mayor deγ(BER T − 1 ⎛⎞8 C 1)C 158 ¯S C − 2R(γ) − 122C R(γ) R(γ)2 =log γR(γ)⎜ 25 C 2 ⎟R(γ) ⎝ ¯S(2 R(γ) − 1) ⎠1⎪⎨ (R(γ),S(γ) ⇒BER T − 1 ) (2 R(γ) − 1 ) 5 (C 2 R(γ) − 1 ) 2 (3-A-1)1S(γ) =¯S C − 822C R(γ)γR(γ)2 R(γ)1siempre que R(γ) > 0 y S(γ) > 0, y en cualquier⎪⎩otro caso R(γ) =S(γ) =0Además, la BER instantánea BER(γ) resultante esBER(γ) = ¯SC 2 5C 1 82 R(γ) − 1γR(γ)(3-A-2)donde las constantes indeterminadas C 1 y C 2 están fijadas por el cumplimientode las dos condiciones isoperimétricas del esquema CC-A que aparecen en (3.1).En [Chu01] se empleó un procedimiento numérico ciertamente laborioso paradeterminar S(γ) y R(γ) que se describe en el apéndice A de este artículo. Elprocedimiento de búsqueda numérica consiste en encontrar los ceros del sistemade ecuaciones (3-A-1) para todos los valores de γ y aplicar posteriormente lascondiciones isoperimétricas, repitiendo el proceso iterativamente hasta lograrla convergencia. Los resultados numéricos obtenidos permitieron llegar a unaimportante conclusión: la eficiencia espectral alcanzada con el esquema CC-Aes prácticamente la misma que la del esquema CC-I.A partir de este punto se plantea la posibilidad de obtener expresionescerradas aproximadas para las leyes de variación de constelación-potencia delesquema CC-A. Admitiendo que la eficiencia espectral del esquema CC-A esprácticamente la misma que la del CC-I se puede plantear la siguiente hipótesis:


58 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUAHipótesis I La ley de variación de la velocidad binaria R(γ) para elesquema CC-A es la misma que la del esquema CC-I excepto en la SNR decorte γ 0 ′ que es ligeramente diferente.Admitiendo la validez de la hipótesis I, lo cuál se comprobará más tarde, laley de variación de la velocidad binaria viene dada porR(γ) =log 2( γγ ′ 0)(3-A-3)Substituyendo (3-A-3) en (3-A-1) y (3-A-2), se llega a las siguientes expresionespara la ley de potencia y la BER instantánea⎛ ( ) ⎞8 γS(γ) = ¯S 5 8 log ⎜25 log 2(γ 0′ ⎝( 1C − 1 ) ⎟ 1⎠ γ 0′γ 0′ γ)− 1 γ)u(γ − γ ′ 0)(3-A-4)BER(γ) = 5 8 C ( 1γ ′ 0− 1 γ) u(γ − γ 0) ′ (3-A-5)log 2( γγ ′ 0donde tanto γ ′ 0 como C = ¯Sλ 2 /λ 1 son constantes a determinar mediante las doscondiciones isoperimétricas del esquema CC-A que aparecen en (3.1). En concreto,para el caso de desvanecimiento Nakagami-m y definiendo la SNR instantáneanormalizada como Ψ . = γ/˜γ, el sistema no lineal de dos ecuaciones condos incógnitas (Ψ ′ 0 = γ ′ 0/˜γ y C) a resolver es el siguiente⎧⎪⎨⎪⎩∫ ∞Ψ ′ 0∫ ∞Ψ ′ 0⎛ ( ) ⎞8 Ψ log ⎜25 log 2(Ψ ′ 0⎝(C 1− 1 ) ⎟ 1⎠ − 1 )Ψ m−1 e −mΨ dΨ= 8˜γΓ(m)Ψ ′ 0 Ψ5m m˜γ Ψ ′ 0 Ψ( ( 5 C 1− 1 )( )) Ψ− BER8 ˜γ Ψ ′ T log0 Ψ2 Ψ m−1 e −mΨ dΨ=0Ψ ′ 0(3-A-6)Para resolver numéricamente el sistema de ecuaciones (3-A-6), tras realizarel cambio de variable x = m · (Ψ − Ψ ′ 0), las integrales pueden calcularse mediante


APÉNDICES 59la fórmula de integración en cuadratura de Gauss-Laguerre [Dav84, pág. 223]⎧ ⎛ ⎛ x n⎞ ⎞8∑N P25 log ⎝ m +Ψ′ 0⎠2Ψ ′ ⎛⎞0L xn log⎛⎞⎝ 1 1− ⎠ ( x) m−1nn=1 ⎜ C⎝ ⎝ 1 Ψ1− ⎠⎟′ x n0⎪⎨˜γ Ψ ′ x ⎠ m +Ψ′ m +Ψ′ 00n0m +Ψ′ 0⎪⎩∑N Pn=1⎛ ⎛L xn⎝ 5 C⎝ 1 −8 ˜γ Ψ ′ 01x nm +Ψ′ 0⎞⎛ x n⎠ − BER T log 2⎝m +Ψ′ 0Ψ ′ 0= 8˜γΓ(m)exp(mΨ′ 0)5m m−1⎞⎞⎠⎠ ( x) m−1 nm +Ψ′ 0 =0(3-A-7)donde N p es el orden del polinomio de Laguerre L Np (·), x n son los ceros de L Np (·)y L xn = x n /[L Np (x n )] 2 los pesos del polinomio de Laguerre de orden N p . Habitualmenteun valor de N p =32permite obtener una excelente precisión. Finalmente,para resolver el sistema de ecuaciones no lineales (3-A-7) puede usarse MATLAB To cualquier otro paquete matemático con soporte para la resolución de sistemasde ecuaciones no lineales.El único detalle que resta es obtener un par de valores iniciales para Ψ ′ 0 y C.Para Ψ ′ 0 un excelente valor inicial es la SNR de corte del esquema CC-I es decirΨ ′(0)0 =Ψ 0 , mientras que para C puede encontrarse un valor inicial muy cerca dela solución si se observa el parecido entre las leyes de potencia de ambos esquemasdadas en la tabla 3.1. Efectivamente la constante, K T =log(1/(5BER T )) queaparece en el esquema CC-I se corresponde con la función⎛) ⎞(8 γ log ⎜25 log 2γ 0′⎝( 1C − 1 )γ 0′ γ⎟⎠(3-A-8)en el esquema CC-A que, por ejemplo, cerca de la SNR de corte cuando γ → γ 0′vale⎛ ⎞8⎜log ⎝25 γ′ 0⎟⎠(3-A-9)C log(2)Igualando (3-A-9) a K T se obtiene el siguiente valor inicialC (0) = 8 Ψ ′(0)0 ˜γ5 log(2) BER T(3-A-10)


60 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUATabla 3.2: Verificación de la validez de la hipótesis I mediante el error relativo enla eficiencia espectral.ERROR RELATIVO ˜γ =5dB ˜γ =10dB ˜γ =20dBε ∗ (%)m =1BER T =10 −2 1.6 0.7 0.2BER T =10 −4 0.6 0.5 1.0m =4BER T =10 −2 1.3 0.1 < 0.1BER T =10 −4 0.8 0.6 0.6En resumen, las expresiones analíticas aproximadas para S(γ), R(γ) yBER(γ) vienen dadas por (3-A-3), (3-A-4) y (3-A-5) respectivamente. Las constantesindeterminadas γ 0′ y C se obtienen resolviendo numéricamente el sistemade ecuaciones no lineales (3-A-7) con los valores iniciales Ψ ′(0)0 = Ψ 0 yC (0) =8Ψ ′(0)0 ˜γ/(5 log(2))BER T .Finalmente queda comprobar la validez de la hipótesis I. Para ello la mejorfunción de prueba es el error relativo entre la eficiencia espectral alcanzada conla ley de variación exacta de la velocidad binaria R(γ) ∗ y la alcanzada con laaproximación obtenida R(γ) =log 2 (γ/γ 0)′ε ∗ = |ν∗ − ν|ν ∗= | ∫ ∞0(R(γ) ∗ − R(γ)) p γ (γ)dγ|∫ ∞0R(γ) ∗ p γ (γ)dγ(3-A-11)La ley exacta R(γ) ∗ se obtiene mediante el procedimiento numérico que se describeen el apéndice A de [Chu01]. En la tabla 3.2 aparecen los resultados delerror relativo en la eficiencia espectral en diferentes escenarios del canal a escalamedia (˜γ y m) y de la BER objetivo BER T .


APÉNDICES 613-B Aproximaciones Analíticas para la SNR de Corte de los EsquemasCC-I con Desvanecimiento RayleighLa obtención de expresiones analíticas aproximadas para la SNR de corte Ψ 0puede realizarse en dos pasos. Primero se encontrará una aproximación inicialy, posteriormente, se deducirá una ecuación recursiva que permita mejorar iterativamenteesta primera aproximación.Aproximación InicialObsérvese como, para m =1, el miembro izquierdo de la ecuación (3.3) sepuede acotar de la siguiente forma∫ ∞( 1 − 1 ∫ ∞Ψ 0Ψ 0 Ψ ) 1e−Ψ dΨ < e −Ψ dΨ= e−Ψ 0(3-B-1)Ψ 0Ψ 0 Ψ 0por lo que asumiendo que Ψ 0 < 1e −Ψ 0Ψ 0≈ e−Ψ 0e −Ψ 0 − 1se llega a la siguiente aproximación inicialΨ (0)0 =Φ(x)| x=KT /˜γ =log(1 2 (1 + √1+ 5K T2˜γ ))(3-B-2)(3-B-3)Esta aproximación puede usarse como punto de partida para encontrar expresionesmás exactas para Ψ 0 .Fórmula RecursivaCon ayuda de la función integral-exponencial de primer orden E 1 (x) la ecuación(3.3) que determina la SNR de corte se puede expresar de la siguiente formaalternativae Ψ 0− E 1 (Ψ 0 )=8˜γ(3-B-4)Ψ 0 5K TSupóngase que se dispone de una aproximación n-ésima Ψ (n)0 que está muycerca del valor exacto Ψ 0 . En tal caso, la pequeña perturbación ɛ ≪ 1 necesaria


62 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUApara alcanzar el valor exacto puede obtenerse introduciendo Ψ 0 =Ψ (n)0 (1 − ɛ) enla ecuación (3-B-4)e Ψ(n) 0 (1−ɛ)Ψ (n)0 (1 − ɛ) − E 1(Ψ (n)0 (1 − ɛ)) = 8˜γ5K T(3-B-5)De nuevo, el valor exacto de ɛ no puede despejarse de (3-B-5). Sin embargo, comoɛ ≪ 1 esta ecuación puede resolverse si previamente se lineariza, dando lugaruna perturbación aproximada ɛ ≈ ɛ (n) . Teniendo en cuenta que e Ψ(n) 0 ɛ ≈ 1+ɛe Ψ(n) 0y E 1 (Ψ (n)0 (1 − ɛ)) ≈ E 1 (Ψ (n)0 ) − ɛe −Ψ(n) 0 , ɛ (n) puede despejarse de (3-B-5) obteniéndosela siguiente formula recursivaconΨ (n+1)0 =Ψ (n)0 (1 − ɛ (n) ) (3-B-6)ɛ (n) =1− Ψ (n)0 (1 + eΨ(n) 02 ( 8˜γ +E 1 (Ψ (n)0 )))·5K T·(1 −√ e Ψ(n) 01 − (1 +2 ( 8˜γ +E 1 (Ψ (n)0 )))5K −2 (1 + 1TΨ (n)0))Convergencia y ExactitudEl error relativo en la potencia media debido a Ψ (n)0 puede definirse comoΛ (n) =1− 5K Ty el error relativo en la SNR de corte08˜γ (eΨ(n)Ψ (n)0− E 1 (Ψ (n)0 )) (3-B-7)Θ (n) = Ψ(n) 0Ψ 0(3-B-8)de forma que, si Ψ (n)0 =Ψ 0 entonces Λ (n) =0y Θ (n) =1.Los resultados numéricos demuestran que (3-B-6) exhibe una convergenciamuy rápida al valor exacto de Ψ 0 , Λ (n) → 0, para el rango de valores habitual de˜γ y BER T , por ejemplo para ˜γ(dB) ≥−5 y BER T ≥ 10 −10 .Esmás, tal y como semuestra en la fig. 3.7, tan sólo se requiere una iteración para que Θ(dB) < 0.1,considerando que se alcanza la convergencia cuando Λ < 10 −20 . Aunque el errorde la aproximación inicial es como mucho de 1 dB, este error aparentementepequeño puede conducir a errores moderados cuando la SNR de corte se usa


0 -)., !&#"& !" #ZUAPÉNDICES 632 3 =Q R S) #2 3 9


64 ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ESQUEMAS <strong>DE</strong> ADAPTACIÓN CON VARIACIÓN CONTINUA


Capítulo4Aproximación Discreta a los Esquemascon Variación Continua4.1 IntroducciónLOS esquemas AQAM con variación continua CC-I y CC-A no son directamenteimplementables en un sistema real ya que requerirían una informacióninfinita en el canal de señalización. Esta circustancia conduce a la búsqueda deesquemas completamente discretos que aproximen sus prestaciones a las de loscontinuos pero con una cantidad de información de señalización finita.Las primeras propuestas de modulación adaptativa utilizaban diversos esquemasdiscretos, normalmente del tipo DK-I, DK-A 1 o similares, empleando unconjunto discreto de constelaciones todas con idéntica potencia [Ue95], [Web95]y [Tor96]. Posteriormente Kose y Goeckel proponen un esquema más sofisticadoque, además de emplear un conjunto discreto de constelaciones, utiliza unapotencia diferente para cada constelación y el tipo de restricción A-BER [Kos00].La asignación de niveles de potencia diferentes para cada constelación introducegrados de libertad adicionales que permiten mejorar sustancialmente la eficienciaespectral de las primeras propuestas tipo DK.1 D=Discreto, K=Constante.65


66 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAEn esta tesis se propone una familia de esquemas AQAM completamente discretos,que emplean un número finito L de niveles de potencia para cada constelación.Dichos esquemas se denominarán a partir de ahora DD-I-L y DD-A-Lsegún el tipo de restricción impuesta en la BER, I-BER o A-BER respectivamente.Concretamente, en este capítulo se proponen y analizan las familias de esquemascompletamente discretos DD-I-L y DD-A-L. La familia de esquemasDD-I-L coincide con la propuesta de [Par01b] extendida a canales con desvanecimientoNakagami-m. La familia DD-A-L es análoga a la DD-I-L pero conrestricciones del tipo A-BER e incluye como caso particular la propuesta de Kosey Goeckel [Kos00] que puede denominarse DD-A-1. Se mostrará que con un valorreducido de L dichos esquemas alcanzan una eficiencia espectral cercana ala de aquellos basados en la variación continua de la constelación y la potencia.El resto del capítulo se organiza como se describe a continuación. En la sección4.2 se detalla la estructura de las familias de esquemas propuestos y seoptimizan de forma que alcancen la máxima eficiencia espectral posible. Posteriormente,en la sección 4.3 se analizan sus prestaciones de forma comparadacon las de los esquemas continuos CC-I y CC-A. Estos parámetros son la eficienciaespectral, BER media, información de señalización y probabilidad de bloqueo.En todos los casos, los resultados analíticos se contrastan con simulaciones. Finalmentelas conclusiones del capítulo se resumen en la sección 4.4.


ESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 674.2 Esquemas AQAM Discretos DD-I-L y DD-A-L4.2.1 Descripción GeneralEstos esquemas tratan de aproximarse de forma práctica a los esquemas devariación continua CC-I y CC-A. Según el tipo de restricción considerada parala BER, I-BER o A-BER, se definen dos subfamilias de esquemas con variaciónde constelación-potencia completamente discreta: DD-I-L y DD-A-L respectivamente.En cualquier caso el objetivo de ambos tipos de esquemas es maximizarla eficiencia espectral del sistema.En la fig. 4.1 se muestran las leyes de adaptación constelación-potencia delos esquemas discretos propuestos. Para reducir la complejidad de los sistemasAQAM, se considerarán esquemas que usen constelaciones BPSK o QAM cuadradas.En principio se emplean M constelaciones cuadradas QAM, empezandopor la 4-QAM, con tamaños R (r) =4 r+1 {r =0, .., M − 1} símbolos complejos porconstelación. Típicamente M =4de forma que las constelaciones empleadas son4-QAM, 16-QAM, 64-QAM y 256-QAM. Sin embargo, en algunos casos puede serinteresante añadir una constelación BPSK, como se verá más adelante, de formaque el esquema de partida se modificaría con M =5. Además de las mencionadasconstelaciones, se considerará el posible bloqueo de la transmisión (NOTX).Considérese la SNR normalizada Ψ . = γ/˜γ. Por debajo de un cierto umbral decorte Ψ 0 el canal será tan desfavorable que lo mejor será no transmitir. A medidaque mejora Ψ, se optará por emplear constelaciones más densas según la regiónde desvanecimiento en la que se encuentre el canal. A su vez, con cada una delas M constelaciones posibles podrán emplearse L niveles posibles de potenciainstantánea. Esto determina la existencia de N . = M × L intervalos diferentes yno solapados [Ψ i , Ψ i+1 ) en los que se empleará un determinado nivel de potencianormalizado σ i. = S(γi )/ ¯S| i=0,..,N−1 . Para simplificar la notación, se define Ψ N. = ∞.Como se muestra en la fig. 4.1, dentro de la r-ésima región que abarca el segmento[Ψ rL , Ψ (r+1)L ) se emplea el mismo tamaño de constelación R (r) , es decirque, en cada uno de los L intervalos asociados desde el [Ψ i=rL , Ψ rL+1 ) hasta el[Ψ i=(r+1)L−1 , Ψ (r+1)L ) se utiliza un R i = R (r) para i = rL, .., (r +1)L − 1 . En resumen,las leyes de adaptación de los esquemas DD-I-L y DD-A-L quedan fijadasmediante el conjunto de umbrales de conmutación {Ψ i } i=0,..,N−1 y el de niveles depotencia {σ i } i=0,..,N−1 .De acuerdo con la descripción anterior, las familias de esquemas DD-I-L y


q ‚ r σ „ €j\u68 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA{ |£ ¤¡σrtσs { |¡{ |~ v w y zŽŒ‰Š‡ ‘†σp…†‡‰Šˆ‹Œ... ... ... ...σqŽ‡\ ] \ ^ _ [df k ] c’ “ ” – ˜ › ˜ › ž ˜ Ÿ` ag hl m oFigura 4.1: Ilustración de las leyes de adaptación constelación-potencia de losesquemas DD-I-L y DD-A-L en función de la SNR instantánea.DD-A-L utilizan L niveles de potencia por constelación. Sin embargo, cada unaemplea un tipo de restricción diferente en la BER que, como se verá más adelante,determina diferencias significativas en sus prestaciones.Los dos conjuntos de parámetros de cada esquema, umbrales de conmutación{Ψ i } i=0,..,N−1 y niveles de potencia {σ i } i=0,..,N−1 , se diseñan para maximizarla eficiencia espectral con unos valores concretos de BER T , ˜γ y m. Dicho procedimientode optimización se describe en las secciones 4.2.2 y 4.2.3, y susresultados se condensan en las tablas mostradas en los apéndices 4-A y 4-B.Desde el punto de vista del funcionamiento del sistema (véase la fig. 2.4),para una BER T dada, el receptor estima los parámetros del canal a escala media˜γ y m, y a partir de estos valores selecciona los conjuntos de parámetrosóptimos prediseñados {Ψ i } i=0,..,N−1 y {σ i } i=0,..,N−1 . Finalmente, la estimación de laSNR instantánea γ permite decidir la constelación y potencia concreta que debeemplearse a escala de invarianza.


ESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 694.2.2 Optimización del Esquema DD-I-LPlanteamiento Formal del ProblemaLa función a optimizar es la eficiencia espectral a escala media ˜ν que, tantopara el esquema DD-I-L como para el DD-A-L, se puede calcular a partir de losumbrales de conmutación normalizados˜ν = E R(γ) =N−1∑i=0R i∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ (4.1)donde la PDF de la SNR instantánea normalizada p Ψ (Ψ) se obtiene de formainmediata para desvanecimiento Nakagami-m a partir de (2.28) resultandop Ψ (Ψ) = mmΓ(m) Ψm−1 exp (−mΨ) (4.2)El conjunto de umbrales debe estar ordenado de forma creciente, es decir que∀i → Ψ i+1 ≥ Ψ i .Por otra parte, el esquema DD-I-L impondrá unas restricciones similares alas del esquema CC-I pero en versión discreta (véase (3.1)). En primer lugar lapotencia a escala media debe mantenerse igual al valor nominal ¯S con lo queE S(γ)/ ¯S =N−1∑i=0σ i∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ =1 (4.3)En el esquema DD-I-L, el conjunto de niveles de potencia {σ i } está unívocamentedeterminado a partir del conjunto de umbrales de conmutación {Ψ i } debido a larestricción impuesta en la BER, de forma que a partir de (2.33) se obtieneσ i = S(γ i )/ ¯S = b i . 5con b i =Ψ i 8K T˜γ (2R i− 1) (4.4)Obsérvese que los b i dependen de BER T , ˜γ y del tamaño de la constelación empleadoen cada intervalo [Ψ i , Ψ i+1 ) . Substituyendo esta relación en (4.3), la restricciónde potencia queda finalmente comoN−1∑i=0b iΨ i∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ =1 (4.5)En resumen, desde un punto de vista matemático, el problema a resolveres optimizar una función no lineal multidimensional con restricciones


70 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAno lineales, donde las variables a optimizar son el conjunto de umbrales deconmutación {Ψ i }.Esquema DD-I-LN−1∑∫ Ψi+1Maximizar la función ⇒ ˜ν (Ψ 0 , .., Ψ N−1 )= R i p Ψ (Ψ) dΨ sujeta ai=0 Ψ i⎧Restricciones:⎪⎨N−1∑∫bΨi+1i−1+p Ψ (Ψ) dΨ =0 (Potencia media constante)Ψi=0 i Ψ i⎪⎩Ψ i+1 − Ψ i ≥ 0 ∀i =0, .., N − 1 (Ordenación de los umbrales)(4.6)La resolución analítica del problema planteado comienza por buscar extremosde la función objetivo. Se supondrá que las desigualdades asociadas a los umbralesestán inactivas, o lo que es lo mismo ∀i → Ψ i+1 > Ψ i , hipótesis que deberá verificarseposteriormente. Por ello, sólo se considerará inicialmente la restricciónasociada a la potencia media. La función de Lagrange asociada sería [Gil89]L (Ψ 0 , .., Ψ N−1 )=N−1∑i=0∫ (Ψi+1R i p Ψ (Ψ) dΨ+λ −1+Ψ iN−1∑donde λ es el correspondiente multiplicador de Lagrange.i=0∫bΨi+1ip Ψ (Ψ) dΨΨ i Ψ iLa solución que maximiza la eficiencia espectral debe cumplir⎧⎪⎨⎪⎩( )∂Lb0=0⇒ R 0 + λ + λ b ∫ Ψ10 Ψ 0p Ψ (Ψ) dΨ=0∂Ψ 0 Ψ 0 Ψ 0 Ψ 0 p Ψ (Ψ 0 )(∂Lb1=0⇒ R 1 − R 0 + λ − b )0+ λ b ∫ Ψ21 Ψ 1p Ψ (Ψ) dΨ∂Ψ 1 Ψ 1 Ψ 0 Ψ 1 Ψ 1 p Ψ (Ψ 1 ).∂L∂Ψ i=0⇒ R i − R i−1 + λ.∂L∂Ψ N−1=0⇒ R N−1 − R N−2 + λ(bi− b )i−1+ λ b iΨ i Ψ i−1=0∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ=0Ψ i Ψ i p Ψ (Ψ i )(bN−1− b ) ∫N−2+ λ b ∞N−1 Ψ N−1p Ψ (Ψ) dΨΨ N−1 Ψ N−2 Ψ N−1 Ψ N p Ψ (Ψ N−1 ))=0(4.7)(4.8)


ESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 71Particularizando para desvanecimiento Nakagami-m , según lo cual p Ψ (Ψ) vienedada por (4.2), y considerando de nuevo la función gamma incompleta definidaen (3.13) el sistema de N +1ecuaciones no lineales a resolver es⎧( )b0R 0 + λ + λ b 0 Γ(m, mΨ 0 ) − Γ(m, mΨ 1 )Ψ 0 Ψ 0 m m Ψ m 0 exp(−mΨ 0 ).⎪⎨R i − R i−1 + λ⎪⎩−1+=0(b1R 1 − R 0 + λ − b )0+ λ b 1 Γ(m, mΨ 1 ) − Γ(m, mΨ 2 )Ψ 1 Ψ 0 Ψ 1 m m Ψ m 1 exp(−mΨ 1 ).R N−1 − R N−2 + λN−1∑i=0=0(bi− b )i−1+ λ b i Γ(m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 )Ψ i Ψ i−1 Ψ i m m Ψ m i exp(−mΨ i )=0(bN−1− b )N−2+ λ b N−1 Γ(m, mΨ N−1 )Ψ N−1 Ψ N−2 Ψ N−1 m m Ψ m N−1 exp(−mΨ N−1) =0b iΨ i(Γ (m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 )) = 0(4.9)donde se incluye la restricción de potencia media. La razón es que además de losN umbrales de conmutación {Ψ i } hay que determinar el valor del multiplicadorde Lagrange λ, resultando un total de N +1incógnitas.Puesto que no ha sido posible encontrar una solución analítica exacta al sistemade ecuaciones (4.9), ni siquiera para m =1, se ha optado por resolver elproblema de optimización con el apoyo técnicas numéricas [Gil89]. La estrategiade resolución numérica se divide en dos pasos: primero se obtendrá unasolución inicial al sistema de ecuaciones (4.9) y, posteriormente, esta primeraaproximación se refinará mediante optimización numérica. El éxito de dichastécnicas depende en gran medida de la bondad de la solución inicial empleada,sobre todo cuando, como ocurre en este caso, el número de variables de optimizaciónpuede ser relativamente elevado. Por ejemplo, cuando se emplean L =4niveles por constelación y M =4constelaciones el número de umbrales {Ψ i } esde N = M × L =16.Solución InicialPara el caso L =1, es decir un sólo nivel de potencia por constelación, lasolución obtenida en [Gol97] para un esquema tipo DC-I puede ser una buena


72 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAsolución inicial para el esquema DD-I-1. Realmente la única diferencia es queen el DC-I existe una variación de potencia continua y en el DD-I-1 el nivel depotencia se mantiene constante en cada constelación empleada.Cuando L>1 , el sistema no lineal de N +1 ecuaciones y N +1 incógnitasdado en (4.9) puede reducirse a una sola ecuación no lineal y una sola incógnitasiempre que se asuman las siguientes aproximaciones:I) Los umbrales {Ψ i } están relativamente próximos entre sí de forma quees posible realizar la siguiente simplificación (aproximación de la integralmediante el área de un rectángulo)∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ ≃ (Ψ i+1 − Ψ i ) p Ψ (Ψ i ) (4.10)II) El último umbral γ N−1Ψ N−1 ≫ 1.está muy por encima de la SNR media ˜γ, es decirComencemos por definir el conjunto de distancias relativas entre umbralesde conmutación {∆ i } de la siguiente forma∆ i. =Ψ i+1Ψ ii =0, .., N − 2 (4.11)donde por simplicidad en la notación se supone que ∆ N−1.=∆N−2 .En el apéndice 4-C se demuestra que, con las dos aproximaciones anterioresy para L>1, es posible transformar el sistema de N +1 ecuaciones (4.8) conincógnitas {Ψ i } y λ en otro con incógnitas {∆ i } y Ψ 0 . Además, este nuevo sistemade ecuaciones se puede reducir a una única ecuación no lineal F inicial (x) = 0con sólo una incógnita x =∆ 0 que representa la distancia relativa entre los dosprimeros umbralesF inicial (x) =− ˜γΓ(m)m m Ψ0 m−1 (x) + b 0 (∆ 0 (x) − 1) exp(−mΨ 0 (x))∑b i (∆ i (x) − 1)N−1+i=1( ∏i−1)∆ j (x)j=0∏i−1exp(−mΨ 0 (x) ∆ j (x)) = 0j=0(4.12)


ESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 73donde {∆ i (x)} y Ψ 0 (x) son funciones de x dadas por⎧∆ 0 (x) =x∆ 1 (x) =∆ 0 (x)(x b 0b 1R 1 − R 0R 0∆ 0 (x)+ b 0b 1).(∆ i (x) =∆ i−1 (x) x b 0 R i − R i−1∏i−2b i R 0j=0⎪⎨.(∆ N−2 (x) =∆ N−3 (x)∆ N−1 (x) =∆ N−2 (x)x b 0b N−2R N−2 − R N−3R 0)∆ j (x)+ b i−1b iN−4∏j=0)∆ j (x)+ b N−3b N−2(4.13)Ψ 0 (x) = (1+(m − 1)(∆ N−2(x) − 1)) 1/m⎪⎩ m 1/m N−2 ∏(∆ N−2 (x) − 1)1/m∆ j (x)j=0La solución de (4.12) es relativamente directa mediante técnicas numéricasbásicas como el algoritmo de bisección [Bur85, pág. 40], pudiendo incluso buscarsela solución de forma gráfica. Lo único que resta es encontrar un valorinicial x (0) apropiado para x. Una posibilidad es suponer que todos los umbralesestán equiespaciados logarítmicamente, ∀i →{∆ i (x)} = K ∆ , y que la distanciarelativa entre los umbrales que conmutan de constelación QAM cuadrada esaproximadamente +6 dB, tal y como se asume en [Gol97] para un esquema DC-Icomparable a los aquí analizados. Según lo anteriorΨ N−1Ψ 0≃ K N−1∆=4 M−1 ⇒ x (0) =∆ (0)0 = K ∆ =4 (M−1)/(ML−1) (4.14)En resumen, la solución inicial al esquema DD-I-L para L > 1 se obtendríabuscando un cero de la función F inicial (x) alrededor del valor inicialdado en (4.14). Una vez determinado dicho valor de x, el conjunto de umbrales{Ψ i } inicial de la solución inicial se obtienen usando primero (4.13) yfinalmente (4.11).


74 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAOptimización NuméricaPartiendo de un conjunto de umbrales {Ψ i } inicial próximos a los óptimos esposible llevar a cabo con éxito la optimización numérica del planteamiento expresadoformalmente en (4.6). Tal proceso se ha realizado mediante el métodoSQP (Sequential Quadratic Programming) [Gil89] que se implementa en el paquetede optimización de MATLAB T [Mat00].Los resultados numéricos demuestran que para m = 1 la solución inicialestá muypróxima a la solución final optimizada, lo que significa que las aproximacionesde partida para obtener esta primera se cumplen razonablemente,tanto más cuanto más densidad de umbrales exista (N ≫ 1). Para valores de melevados la solución inicial está más lejos de la final ya que la PDF de la SNRinstantánea Ψ adquiere forma de campana muy estrecha. En este caso, la formade conseguir una convergencia rápida y que el algoritmo no se estanque en unmínimo local es usar la solución final con m =1como valor de partida para elproblema con un m ligeramente incrementado en ∆m, repitiendo iterativamenteel proceso hasta llegar a los valores de m elevados. Con este mismo procedimientopuede obtenerse la solución para BER T =10 −2 a partir de la solución paraBER T =10 −4 .El conjunto de umbrales optimizados numéricamente para los esquemasDD-I-L con M =4y L =1, 2, 4, en función de la SNR media ˜γ(dB) para m =1, 4y BER T =10 −2 , 10 −4 se muestran en la correspondientes tablas del apéndice 4-A.De estas tablas se puede comprobar la veracidad de la hipótesis realizada acercade que las desigualdades en el planteamiento (4.6) están inactivas. En algunoscasos los umbrales de conmutación aparecen muy próximos entre sí, especialmenteen regiones de la SNR con baja probabilidad donde la falta de precisiónnumérica impide conocer con exactitud la posición de los umbrales de conmutación.Esta incertidumbre en el valor de algunos umbrales de conmutación noes preocupante puesto que su contribución a la eficiencia espectral alcanzada esirrelevante. Finalmente, queda para la sección 4.3 comprobar que con las solucionesnuméricas encontradas se alcanza una eficiencia espectral próxima a ladel esquema continuo CC-I .Como ejemplo, en la fig. 4.2 se muestra de forma gráfica la solución finalmenteencontrada para el esquema DD-I-4 con BER T =10 −4 y m =4. Por unlado, en el eje de ordenadas de la derecha y con una línea, se muestra la asignaciónde potencia instantánea {σ i } en los intervalos de conmutación asociadosa los umbrales {Ψ i } . En cambio en el eje de ordenadas de la izquierda y me-


®»¼ º¹¬ñ ïùðî­ ¥ å ç éä¡ ÿùþ©¦ §¥ «¬¥ ©¥ ªËESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 75­ ¬­ ¥ å ç éë ì í êû ü ý ú¢ £ó ô õ § ¬ òô õ § ¬÷ ø÷ ø« ¬«ªÀ¿¾ÃÂÁÀÇÂÆÅĽ ½ÀÂÅÅÁŸµ·²§ ¬¯° ±²³µ´Ì Í ÈÉʦ ¬¦ ª ¥ å ç éª ­ ¥ å ç é¥ ¦ §¥ ¦ § ¥ © ¥ ª ¥ « ¬ « ª © ¦ §Î Ï Ñ Ó Õ Ö Ø Ù Õ Ø Ù Õ Ú Ù Ý ß à âFigura 4.2: Ejemplo de los valores finales encontrados para los umbrales de conmutacióny niveles de potencia del esquema DD-I-4 con M =4, BER T =10 −4 ym =4. En el eje de abcisas se sitúan los umbrales de conmutación, en el eje deordenadas de la izquierda los niveles de potencia a escala media en cada intervalode SNR instantánea y en el eje de la derecha los niveles de potencia instantánea.diante una barra se presenta el porcentaje de potencia sobre el total ¯S que setransmite en un determinado intervalo a escala media. Sólo se han representadolos intervalos en los que se asigna al menos un 1% de la potencia total.Cuando el canal es desfavorable, ˜γ(dB)= 5,sólo se emplean de forma efectivalos cuatro intervalos asociados a 4-QAM y la SNR de corte Ψ 0 es relativamentealta estando aproximadamente 1 dB por encima de la SNR media. Sin embargo,cuando el canal es favorable, ˜γ(dB)= 20, se emplea de forma efectiva hasta la64-QAM, aunque la mayor parte del tiempo lo que se transmite en este caso es16-QAM. Además casi siempre hay transmisión y la SNR de corte es muy baja,casi 8 dB por debajo de la media. Obsérvese que la solución óptima tiende aasignar más potencia instantánea para las constelaciones más densas, aunquedentro de la misma constelación si Ψ mejora se economiza potencia. Esta ley depotencia instantánea es similar a la observada en otros esquemas discretos osemi-discretos [Chu01]-[Kos00].


76 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA4.2.3 Optimización del Esquema DD-A-LPlanteamiento Formal del ProblemaLa diferencia con el esquema DD-I-L es que en este caso hay que añadir unarestricción asociada a la BER promedio, además de que el conjunto de variablesa optimizar es doble: umbrales de conmutación {Ψ i } y niveles de potencia {σ i }.La restricción tipo A-BER dada en (3.2) queda de la siguiente forma para elesquema completamente discretoN−1∑i=1R i∫ Ψi+1(.con C T =(5BERT ) −1 . 5 (y f i = 2R i− 1 )) −1.8˜γΨ i(1 − C T exp(−σ i f i Ψ)) p Ψ (Ψ) dΨ =0 (4.15)Por lo tanto el problema de optimización queda expresado comoEsquema DD-A-LMaximizar la función ⇒ ˜ν (Ψ 0 , .., Ψ N−1 ,σ 0 , .., σ N−1 )=⎧Restricciones:−1+⎪⎨N−1∑i=0N−1∑i=0R i∫ Ψi+1b iΨ i∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ =0 (Potencia media constante)Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ conN−1∑∫ Ψi+1R i (1 − C T exp(−σ i f i Ψ)) p Ψ (Ψ) dΨ =0 (BER media constante)i=1 Ψ i⎪⎩Ψ i+1 − Ψ i ≥ 0 ∀i =0, .., N − 1 (Ordenación de los umbrales)(4.16)Suponiendo de nuevo que las desigualdades asociadas a los umbrales estáninactivas, y dada la función de Lagrange del problema,N−1∑∫ (Ψi+1N−1∑∫ )bΨi+1iL (Ψ 0 , .., Ψ N−1 ,σ 0 , .., σ N−1 )= R i p Ψ (Ψ)dΨ+λ 1 −1+p Ψ (Ψ)dΨi=0 Ψ iΨi=0 i Ψ i( N−1 ∑∫ )Ψi+1+λ 2 R i (1 − C T exp(−Ψσ i f i )) p Ψ (Ψ)dΨi=0Ψ i(4.17)


ESQUEMAS AQAM DISCRETOS DD-I-L Y DD-A-L 77la solución óptima debe verificar que ∀i → ∂L =0, ∂L =0. En este caso, al∂Ψ i ∂σ itener dos restricciones, hay que determinar dos multiplicadores de Lagrange λ 1y λ 2 . De nuevo, no se ha encontrado una solución analítica exacta al sistema deecuaciones no lineales resultante por lo que se resolverá el problema con ayudade técnicas numéricas. La estrategia es parecida al caso anterior: primero seobtiene una solución inicial y posteriormente se refina dicha solución medianteoptimización numérica.Solución InicialPara este esquema puede obtenerse una buena solución inicial si se parte dela solución final encontrada para su esquema DD-I-L equivalente. Los umbralesde conmutación óptimos {Ψ i } del esquema DD-A-L se pueden aproximar por losfinalmente obtenidos tras el proceso de optimización numérica para el esquemaDD-I-L. A partir de ellos se pueden obtener un conjunto de niveles de potencia{σ i } próximo al óptimo.En efecto, considerando la función de Lagrange en (4.17), el conjunto de nivelesde potencia óptimo debe cumplir∂L∂σ i=∫ Ψi+1Ψ i(λ 1 + λ 2 R i C T f i Ψexp(−σ i f i Ψ))p Ψ (Ψ) dΨ≃ (Ψ i+1 − Ψ i )(λ 1 + λ 2 R i C T f i Ψ i exp (−σ i f i Ψ i )) = 0(4.18)Recordando que se supone que los umbrales consecutivos no pueden coincidir ydespejando σ i se obtiene queσ i = β +log(R iC T f i Ψ i )Ψ i f i(4.19)con β = −λ 2 /λ 1 . El valor de β puede obtenerse substituyendo (4.19) en la restricciónde potencia de (4.16). Particularizando además para desvanecimientoNakagami-m resultaβ =1 − N−1 ∑i=0log (R i C T f i Ψ i )(Γ(m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 ))Γ(m) f i Ψ i(4.20)N−1 ∑ Γ(m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 )Γ(m) f i Ψ ii=0Como conclusión se puede decir que el conjunto de umbrales finalmente obtenidospara el esquema DD-I-L permite obtener un conjunto de umbrales próxi-


78 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAmos al óptimo {Ψ i } inicial para el esquema DD-A-L. A continuación, con estos umbralesy las ecuaciones (4.19) y (4.20) se puede obtener un conjunto de nivelesde potencia cerca del óptimo {σ i } inicial .Optimización NuméricaPartiendo de la solución inicial formada por el conjunto de umbrales y nivelesde potencia {Ψ i } inicial y {σ i } inicial anteriormente obtenidos, es posible llevar a cabocon éxito la optimización numérica del planteamiento expresado formalmente en(4.16). Tal proceso se puede realizar con el método SQP de optimización numéricade forma similar a como se hizo para el esquema DD-I-L.De nuevo, los resultados numéricos demuestran que para m =1la soluciónaproximada está muy cerca del óptimo y la convergencia es rápida. Para otrosvalores de m, también la forma más rápida de llegar a la solución óptima es usarcomo solución inicial la solución final del mismo problema con un m ligeramentemenor. Este mismo procedimiento también puede ser usado para encontrarsoluciones al mismo problema con diferentes BER objetivo BER T .El conjunto de umbrales optimizados numéricamente para los esquemasDD-A-L con M =4y L =1, 2, 4, en función de la SNR media ˜γ(dB) para m =1, 4 yBER T =10 −2 , 10 −4 se muestran en las tablas del apéndice 4-B. También se puedeverificar la hipótesis realizada acerca de que las desigualdades en el planteamiento(4.16) están inactivas, quedando para la próxima sección comprobar labondad de las soluciones numéricas finalmente encontradas.


PRESTACIONES 794.3 PrestacionesUna vez completado el proceso de optimización, se procede a analizar lasmagnitudes más relevantes que describen las prestaciones de los esquemas propuestos.En los resultados que siguen, además de las fórmulas analíticas, semuestran los obtenidos mediante simulación semianalítica. Este procedimientoconsiste en la generación por ordenador de una realización de la envolventeNakagami-m, y en el posterior cálculo de las diferentes magnitudes del sistemamediante promedios temporales.El proceso de generación de la envolvente compleja Nakagami-m se describebrevemente a continuación, pudiéndose encontrar un desarrollo completoen [Bea01]. Se parte de la envolvente compleja Rayleigh que posee una PDFde amplitud de tipo Rayleigh y una PDF de fase de tipo uniforme. Para la generaciónde la envolvente Rayleigh se ha empleado el simulador descrito en[Rui94] y [Agu01, Anexo]. El coeficiente de correlación del canal resultante esρ =J 2 0(2πf D τ), tal y como se describió en en la sección 2.2.1. Una vez generadala envolvente Rayleigh, la técnica presentada en [Bea01] transforma la PDF Rayleighen una PDF Nakagami-m, con el valor de m que se desee, mediante unatransformación no lineal de variable aleatoria. Además, dicha transformaciónpreserva el mismo coeficiente de correlación de la envolvente Rayleigh original.La fase de la envolvente Nakagami-m también se asume uniformemente distribuida.En las secciones que siguen se analizarán a escala media, además de la eficienciaespectral y probabilidad de bloqueo, la BER alcanzada y la información deseñalización requerida por los esquemas discretos propuestos DD-I-L y DD-A-L.Las prestaciones de los esquemas propuestos se comparan con las de los esquemasde variación continua CC-I y CC-A analizados en el capítulo 2. Convienerecordar en este punto que ambos esquemas alcanzaban prácticamente la mismaeficiencia espectral.4.3.1 Eficiencia EspectralPara el desvanecimiento Nakagami-m la eficiencia espectral a escala mediade los esquemas DD-I-L y DD-A-L se obtiene introduciendo (4.2) en (4.1)˜ν =N−1∑i=0R iΓ(m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 )Γ(m)(4.21)


80 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUALa eficiencia espectral depende de las características a escala media del canal,m y ˜γ, a través de los umbrales de conmutación. También ˜ν depende de losparámetros del esquema, explícitamente de {R i } y N, e implícitamente de L yBER T de nuevo a través de los umbrales de conmutación.En el conjunto de figuras 4.3 se muestra la eficiencia espectral con el objetode analizar la influencia tanto de los parámetros del canal como los parámetrospropios del esquema. En estas figuras se muestra la eficiencia espectral para elcaso de desvanecimiento Rayleigh (m =1) y Nakagami-m con m =4, a la vez quepara dos BER objetivo diferentes 10 −2 y 10 −4 . En todos los casos se supone queM =4(4-QAM, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM y NOTX) y un número L de nivelesde potencia por constelación. A los resultados analíticos se le superponen losresultados de simulación semianalítica.En las figs. 4.3-(a) y 4.3-(b) se presentan los resultados para el esquemaDD-I-L. Como era de esperar, para cualquier caso de BER T y m, la eficienciaespectral aumenta con la SNR media ˜γ yelnúmero de niveles de potencia L.Cuanto más se aumenta L la eficiencia espectral del esquema DD-I-L se acercaprogresivamente a la del esquema de variación continua CC-I.En la fig. 4.3-(a) puede apreciarse cómo la eficiencia espectral conseguida essustancialmente mayor cuando se fija una BER T = 10 −2 respecto al caso deBER T =10 −4 . La diferencia varía aproximadamente entre un 20 − 40 % para todoslos esquemas mostrados, observándose cierta saturación cuando BER T =10 −2con ˜γ(dB)> 25, efecto que desaparecería empleando constelaciones más densasque la 256-QAM. Exceptuando esta situación concreta, la distancia en términosde SNR media entre el esquema DD-I-4 y el CC-I es como mucho de 1 dB,mientras que el esquema DD-I-1, se encuentra a unos 3 dB. Por otra parte, en lafig. 4.3-(b) se contrastan los mismos resultados pero en este caso en función de my con una BER T =10 −4 fija. Claramente, cuando existe una fuerte componenteLOS (m =4) la eficiencia alcanzada es superior al caso Rayleigh (m =1) sobretodo para las SNR más favorables. También aquí el esquema DD-I-4 se aproximaa 1 dB o menos del CC-I en términos de SNR media.La eficiencia espectral alcanzada por el esquema DD-A-L se presenta en lasfigs. 4.3-(c) y 4.3-(d). Desde un punto cualitativo, el comportamiento de tal esquemaes similar al del DD-I-L previamente comentado. Sin embargo, desde unpunto cuantitativo existen ciertas diferencias. Como puede observarse en ambasfiguras el esquema más simple DD-A-1 dista menos de 1.5 dB en términos deSNR media del esquema continuo CC-A para el caso BER T =10 −4 , llegando aestar a menos de 1 dB cuando se emplea una BER T =10 −2 . El esquema más


PRESTACIONES 81complejo DD-A-4 siempre está a menos de 1 dB del esquema continuo CC-A.Finalmente, la comparación entre los esquemas DD-I-L y DD-A-L se visualizade forma directa en las figs. 4.3-(e) y 4.3-(f). Efectivamente, para el caso deBER T =10 −2 el esquema DD-A-1 basta para aproximarse con 1 dB a la eficiencialos esquemas continuos, mientras que cuando la restricción es del tipo I-BERse requiere un esquema más complejo DD-I-4. La causa es bien clara. Los esquemasCC-I y CC-A alcanzan la misma eficiencia espectral porque se puededecir que a ambos les ’sobran’ grados de libertad. Sin embargo, los esquemasdiscretos están mucho más limitados, de forma que el esquema DD-I-L requieremás grados de libertad en término de niveles de potencia L para conseguir losmismos resultados que un esquema DD-A-L ya que éste se basa en una restriccióntipo A-BER más flexible. Cuando nos referimos a esquemas que empleanuna BER T =10 −4 , para acercarnos a 1 dB de los esquemas continuos hacen faltacompensar la mayor exigencia en la BER objetivo con un mayor número de nivelesde potencia por constelación. En este caso los esquemas DD-A-2, DD-A-4 yDD-I-4 permitirían conseguirlo.


edf g _Tedf g _Tedf g _Txr svwst edf g _Tedf g _edf g _TTxr svwst 82 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA" #' ' " # )* , . 023 23 5 ibc# ' ' " # )* , . 023 23 5 "' ' " #" )7 2: ; 0=5' ' " #" )7 2: ; 0=5¤ ¥ § © |bc`a\ [' ' n#" o )7 2: ; 0=5`a\ [' ' n#" o )7 2: ; 0=5' ' " #"i )7 2: ; 0=5' ' " #"i )7 2: ; 0=5]^Z]^Z T[\ X WT[\ X WVZVZ VXY WUVW(a)(b)¤ ¥ § © UVW¤ ¥ § © VXY Wq r s r q t s t q u sq r s r q t s t q u s@ B D F H JL MH P Q RS ?@ B D F H JL MH P Q RS ?" &' ' " & )* , . 023 23 5" &' ' " & " )7 2: ; 0=5bc' ' " & )* , . 023 23 5bc i¤ ¥ § © |' ' " & " )7 2: ; 0=5' ' n& " o )7 2: ; 0=5`a\ [' ' " & "i )7 2: ; 0=5' ' n& " o )7 2: ; 0=5`a\ [' ' " & "i )7 2: ; 0=5]^Z]^ZT[\ X W T[\ X WVZVZ UVW¤ ¥ § © (c)(d)¤ ¥ § © VXY WUVWVXY WRS ? @ B D F H JL MH P Q @ B D F H JL MH P Q RS ?" # $ " &' ' " # )* , . 023 23 5' ' " # )* , . 023 23 5¤ ¥ § © |bcbc" # $ " &' ' " & )* , . 023 23 5' ' " & )* , . 023 23 5`a\ [6 )7 2: ; 0=5`a\ [ )7 2: ; 0=5 6 i62: ; 0=5 )76 i )7 2: ; 0=5]^Z]^ZT[\ X Wk l } ~ jT[\ X WVZ VZ¤ ¥ § © UVW (e)(f)Figura 4.3: Eficiencia espectral de los esquemas DD-I-L y DD-A-L para M =4.(a)-(b) Esquema DD-I-L en función de BER T y m. (c)-(d) Esquema DD-A-L enfunción de BER T y m. (e)-(f) Comparación entre ambos esquemas.@ B D F H JL MH P Q RS ?@ B D F H JL MH P Q RS ?VXY WVXY WUVW¤ ¥ § ©


PRESTACIONES 834.3.2 BER MediaLa BER a escala media obtenida con los umbrales óptimos permite, por un ladocomprobar el grado de ajuste de la restricción asociada en el esquema DD-A-Ly, por otro, observar el margen que en este parámetro posee el esquema DD-I-L.Para ambos esquemas, la expresión analítica en versión discreta a partir de losumbrales se deriva de (2.33) y (2.34)˜BER = E R(γ)BER(γ)E R(γ)= 1 5N−1 ∑i=0R i∫ Ψi+1Ψ iN−1 ∑i=0exp (−σ i f i Ψ) p Ψ (Ψ) dΨR i∫ Ψi+1Ψ ip Ψ (Ψ) dΨ(4.22)Esta expresión particularizada para desvanecimiento Nakagami-m queda como( )N−1 ∑mm˜BER = 1 R i (Γ (m, (m + σ i f i )Ψ i ) − Γ(m, (m + σ i f i )Ψ i+1 ))i=0 m + σ i f i(4.23)5N−1 ∑R i (Γ (m, mΨ i ) − Γ(m, mΨ i+1 ))i=0con los f i tal y como se definieron en la sección 4.2.3.La BER media se representa gráficamente en el conjunto de figs. 4.4 de formaanáloga a como se hizo con la eficiencia espectral. La BER media es especialmentesensible a la aproximación para la BER instantánea, dada en (2.33), asumidaen todo el análisis de este capítulo y en las simulaciones semianalíticas. Por ello,en las figuras que siguen también se muestran los resultados de la simulacióncompleta del sistema para el caso L =1. Como es de esperar, los resultados de lasimulación completa son sensiblemente mejores que los obtenidos mediante laexpresión (4.23) y las simulaciones semianalíticas, ya que la aproximación parala BER instantánea (2.33) es una cota superior a otras fórmulas más exactas[Pro95, pág. 280], [Chu01].En las figs. 4.4-(a) y 4.4-(b) se muestra como los esquemas DD-I-L consiguenque la BER a escala media sea ligeramente menor que la BER objetivo, ya quela restricción impuesta en este tipo de esquemas se establece a escala de invarianza.En cualquier caso, la diferencia en la BER media para diferentes valoresde L es relativamente pequeña. Por otra parte, en las figs. 4.4-(c) y 4.4-(d) secomprueba el ajuste a la BER objetivo en los esquemas DD-A-L. A la vista deestos resultados puede decirse que el margen de mejora de los esquemas DD-I-Lrespecto a los DD-A-L en términos de BER se consigue a costa de cierto sacrificiode eficiencia espectral, tal como se observó en la sección anterior (véase elconjunto de figs. 4.3).


›š›š›š›š ·É € È ·É·‚ º» ¼½ ¾Ã Ä ½ Æ ¾À ·¹ € È ·¹ ·‚º» ¼½ ¾Ã Ä ½ Æ ¾À84 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAž¡¦ž¡§ ¨ © ª «ž¡¦ž¡§¨ © ª « ·É·È º» ¼½ Ê Ë¾À‚¬­® ÁÉ·Â º» ¼½ Ê Ë¾À ·É € ‚ ·É·‚ º» ¼½ Ê Ë¾Àž¡¤ž¡¥ž¡¤ž¡¥¨ © ª «“’‘”• –—˜“’‘”• –—˜€ ‚‚¬­¯ž¡¢ž¡£ž¡¢ž¡£ ·É·‚ º» ¼½ ¾À© ª « ¨ ·É ¨ © ª «‚¬­¯ ÁÉ·Â º» ¼½ ¾À ·É·‚(b)ž¡µº» ¼½ ¾Ã Ä ½ Æ ¾À ·É·È º» ¼½ ¾Àž¡µ„ … † ‡ˆ ‰Š ‹ˆ Œ Ž œ ž œ Ÿž Ÿœ ž ƒ„ … † ‡ˆ ‰Š ‹ˆ Œ Ž œ ž œ Ÿž Ÿœ ž ƒ¨ © ª «ž¡¦ž¡§ž¡¦ž¡§¨ © ª « Á¹ ·Â º» ¼½ Ê Ë¾À‚¬­® ·¹ ·È º» ¼½ Ê Ë¾À ·¹ € ‚ ·¹ ·‚ º» ¼½ Ê Ë¾À€ ‚¨ © ª «ž¡¤ž¡¥ž¡¤ž¡¥‚¬­¯“’‘”• –—˜“’‘”• –—˜(a)ž¡¢ž¡£ž¡¢ž¡£¨ © ª « ·¹ ±²¡§¨ © ª « ·¹ ·‚ Á¹ ·Â º» ¼½ ¾À ·¹ ·‚ (c)(d)… † ‡ˆ ‰Š ‹ˆ Œ ŽFigura 4.4: BER media de los esquemas DD-I-L y DD-A-L para M = 4.(a)-(b) Esquema DD-I-L en función de BERƒ „T y m. (c)-(d) Esquema DD-A-L enfunción de BER T y m.„ … † ‡ˆ ‰Š ‹ˆ Œ Ž ƒº» ¼½ ¾Ã Ä ½ Æ ¾À‚¬­¯° ±² ±° ³² ³° ´² ° ±² ±° ³² ³° ´²ž¡µž¡µ Á¹ ·È º» ¼½ ¾À


PRESTACIONES 854.3.3 Información de SeñalizaciónEn todos los esquemas AQAM analizados es necesario transmitir informaciónsobre la constelación y potencia decididas hacia el transmisor, para poderrealizar allí el cambio de la modulación. Un aspecto relevante de los esquemasDD-I-L y DD-A-L es que, debido a su estructura completamente discreta, sondirectamente implementables en un sistema real con capacidad limitada paratransmitir información de señalización.El objetivo de esta sección es doble. Por un lado, obtener una magnitud quepermita dimensionar el canal de señalización asociado a un sistema con un esquemaDD-I-L o DD-A-L. Por otro lado, cuantificar el efecto del aumento delnúmero de niveles de potencia por constelación L en el aumento de la informaciónde señalización. Conviene observar que, en relación con la eficienciaespectral, probabilidad de bloqueo y BER media, aumentar L siempre suponeuna mejora de prestaciones, en cambio, el coste será obviamente una mayorcantidad de información asociada al incrementarse el número de umbrales deconmutación constelación-potencia.En [Par01b] se obtiene una fórmula muy simple que permite obtener un ordende magnitud de la información de señalización requerida, así como el incrementoasociado al aumento de L. Lafórmula se fundamenta en contabilizar elnúmero de cruces por los umbrales de conmutación constelación-potencia. Éstaproporciona un valor demasiado optimista ya que no considera la informaciónasociada a la distribución temporal de dichos cruces. A continuación se obtieneuna fórmula más realista para la información de señalización.Considérese un modelo de canal de señalización en el que se envía periódicamenteun mensaje desde el receptor al transmisor indicando la combinaciónconstelación-potencia actual. El intervalo de señalización abarcaría un periodode QT S segundos, donde Q es el número de símbolos que abarca una trama deseñalización. En los sistemas duplex tales tramas podrían agrupar la informaciónde señalización en un sentido junto con los datos transmitidos en sentidocontrario.Sobre el canal de señalización se hará la siguiente hipótesis:I) En un intervalo de señalización QT S podrá haber como máximo un crucepor algún umbral constelación-potencia. Esta hipótesis sólo se cumplirá siel canal varía relativamente poco dentro de dicho intervalo.


86 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAEl valor apropiado de Q es consecuencia de un claro compromiso, debe serlo menor posible para que el algoritmo de adaptación experimente el mínimoretardo y lo mayor posible para minimizar el flujo binario de señalización. Sesupondrá que el sistema envía un mensaje ’+1’ si se ha cruzado un umbralen sentido creciente en el intervalo de señalización precedente, un mensaje ’0’si no hay cruce y un mensaje ’−1’ si hubo cruce en sentido decreciente. Enconsecuencia, el retardo de señalización es como mínimo QT S .La probabilidad de cruzar un umbral es la misma tanto en sentido crecientecomo decreciente, ya que el proceso envolvente del canal α(t) se consideraestacionario. A partir de esta consideración y de la hipótesis I, la probabilidadde cruzar el umbral Ψ i en sentido creciente se calcularía a escala media como[Pap91, pág. 605]∣ ∣∣∣Pr + i (QT S )=QT S · LCR + dα (t)i = QT S · p Ψ (Ψ) · Edt ∣ | α (t) =α i (4.24)donde LCR + i es la Tasa Media de Cruces (LCR, Level Crossing Rate) por el umbrali-ésimo en sentido ascendente y α i = √ ΩΨ i el umbral i-ésimo en términos de laenvolvente del canal. La probabilidad de enviar, en un intervalo de duración QT S ,cada uno de los tres tipos de mensajes es la siguiente⎧N−1∑N−1∑Pr (+1) = Pr + i (QT S )=QT S LCR + i⎪⎨i=0i=0Pr (−1) = Pr (+1)(4.25)N−1∑⎪⎩ Pr (0) = 1 − 2 Pr (+1) = 1 − 2QT S LCR + iA partir de estas probabilidades, la información de señalización (bits/segundo obps) se obtiene mediante la función entropía como [Pap91, pág. 534]H(QT S )QT S= 1QT S(−2 Pr (+1) log 2 (Pr (+1)) − (1 − 2 Pr (+1)) log 2 (1 − 2 Pr (+1))) (4.26)Introduciendo (4.25) en (4.26) y considerando la expresión para el LCR en el desvanecimientoNakagami-m dada en [Yac99] se llega a la información de señalizaciónnormalizada a la frecuencia Doppler (bps/Hz)(. H(QT S )NZ T ZĨ Z = = −N Z logf D · QT 2S 2)−i=0( 1T Z− N Z)log 2 (1 − N Z T Z ) (4.27). √que depende de N ∑ Z =2 2π/Γ(m)mm−1/2 N−1i=0 Ψm−1/2 i exp (−mΨ i ) y también del intervalode señalización normalizado T Z = fD · QT S .Elparámetro N Z representa.el


äâãÝå æ ÞßàáÎÜ×Ý ×ÒÐÖÕ ÛÕ ÚÙØÙÏÐ ÑÒÓÔÕ×ÒÖÐëéìçììêìëçìèììíííøðñòóôõ îïÍÌPRESTACIONES 87îï ðñòóôõîï öñòóôõè é ê ëì ëç ëè ëé ëê çìFigura 4.5: Variación de la información de señalización normalizada en funciónçdel número medio de cruces total por unidad de tiempo normalizado N Z ydelintervalo de señalización normalizado T Z .número medio de cruces total (tanto en sentido ascendente como descendente)por unidad de tiempo normalizado a la frecuencia Doppler y depende básicamentedel número N de umbrales constelación-potencia.La validez de la fórmula (4.27) está sujeta al cumplimiento de la hipótesis I.Una forma de evaluar dicho cumplimiento es comprobar que el número mediode cruces en el intervalo de señalización cumpla que N Z T Z ≪ 1, con lo cual segarantiza que la probabilidad de más de un cruce en un mismo intervalo seareducida. En la fig. 4.5 se muestra como varía la información de señalizaciónnormalizada en función de sus dos parámetros N Z y T Z . Tanto si aumenta N Zcomo si disminuye T Z la información siempre aumenta.Para evaluar la sobrecarga que produce en el sistema AQAM el flujo de señalización,resulta interesante comparar la información requerida con la cantidad dedatos transmitidos. Por ello, se define la ’Sobrecarga de Señalización’ del sistemacomo˜κ . =Información de Señalización (bps)Datos Transmitidos (bps)= ĨZ · f D˜ν · Bsuponiendo que el ancho de banda del sistema B ≃ 1/T S .≃ f DT SĨ Z˜ν(4.28)


88 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUALos resultados analíticos que se obtienen mediante las fórmulas (4.27)y (4.28) se basan en la hipótesis I para simplificar el cálculo de las probabilidadesPr (+1), Pr (0) y Pr (−1). En el conjunto de figs. 4.6 se comparan estosresultados con los que se obtienen directamente mediante simulación. Se hanempleado unos valores Q =16y f D T S =1/2000, por tanto T Z = Q · f D T S =8· 10 −3 ,que se corresponden con un sistema que actualiza la información de señalizacióncada 16 símbolos de datos y experimenta un desplazamiento Doppler considerablede 500 Hz por cada MHz de ancho de banda (equivalente a una velocidadtransmisor-receptor de 175 Km/h en la banda de 3 GHz).La información y sobrecarga de señalización para el esquema DD-I-L se visualizaen las figs. 4.6-(a) y 4.6-(b). En general, la información de retorno aumentacuando el canal mejora, aumenta el número de niveles de potencia o la BERobjetivo. Por otra parte, el aumento de la LOS por el incremento del parámetro mreduce la información de retorno. Conviene comentar de estas gráficas que el decrecimientode ĨZ para BER T =10 −2 y Γ(dB)= 30es debido al mismo fenómeno desaturación comentado para la eficiencia espectral y relacionado con el máximotamaño de constelación empleado. Además aparece cierta discrepancia entre losresultados analíticos y las simulaciones para m =4causado por la agrupación delos umbrales de conmutación óptimos que se produce en este caso, lo que comprometeel cumplimiento de la hipótesis I. Sobre la información de señalizaciónpara el esquema DD-I-L con T Z =8· 10 −3 puede decirse que requiere aproximadamenteun máximo de 45, 75 y 115 bps/Hz para L =1, 2 y 4 respectivamente. Porotra parte, la sobrecarga de señalización siempre decrece a medida que mejorael canal y aumenta ˜γ . Cuando las condiciones del canal son desfavorables lasobrecarga puede acercarse al 3% para L =4mientras que en condiciones másfavorables difícilmente supera el 1.5% . Finalmente, para L =1la sobrecarga sereduce aproximadamente a la mitad del caso L =4.Los resultados para el esquema DD-A-L y su comparación con el esquemaDD-I-L se muestran en las figs. 4.6-(c-f). El comportamiento cualitativo del esquemaDD-A-L es substancialmente el mismo que el del esquema DD-I-L. Aunquela cantidad de información de señalización requerida por el esquema DD-A-Les ligeramente inferior, desde un punto de vista práctico puede decirse que el dimensionadodel canal de señalización es independiente del tipo de restricción enla BER.


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90 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA4.3.4 Probabilidad de BloqueoPara los esquemas discretos, la probabilidad de bloqueo con desvanecimientoNakagami-m se calcula de la misma forma que para los continuosmediante la ecuación (3.15). Es decir, basta con determinar la SNR de corteΨ 0 que se corresponde con el primer umbral de conmutación y calcularPr {Bloqueo} =1− Γ(m, mΨ 0 ) /Γ(m).La probabilidad de bloqueo para los esquemas DD-I-L y DD-A-L se representagráficamente para M = 4 en el conjunto de figs. 4.7 de forma análogaa como se hizo con los parámetros anteriores. En igualdad de condiciones, elcomportamiento del esquema DD-A-L es ligeramente mejor al ser siempre másbaja su SNR de corte. Como puede observarse en todos los casos, el efecto de ladiscretización es particularmente relevante en este parámetro. Las probabilidadesde bloqueo son aproximadamente el doble que las que tienen los esquemascompletamente continuos. De hecho, aunque se incremente el número de nivelesde potencia por constelación L, la diferencia es aún elevada por efecto de ladiscretización en el conjunto de constelaciones que en la región de corte pasadirectamente de NOTX a 4-QAM.En el caso de que se requiera reducir estas probabilidades de bloqueo hastavalores próximos a los de los esquemas continuos, el conjunto de constelacionesQAM cuadradas de partida puede ampliarse con la BPSK de forma que en estecaso M =5. La mejora conseguida para el esquema DD-I-L con L =1y su efectoen el resto de las prestaciones puede visualizarse en el conjunto de figs. 4.8. Laeficiencia espectral y BER media son prácticamente las mismas sin BPSK (M =4)y con BPSK (M =5), sin embargo, la probabilidad de bloqueo se reduce sustancialmentecon M =5. Reducciones aún mayores son posibles para esquemas conun L mayor como ya se observó en las figs. 4.7. El precio a pagar por la inclusiónde la BPSK en el conjunto de constelaciones es el aumento de complejidad y dela información de señalización para SNR bajas.


õôóðíìîîëêìíìîîëêìponkðhgiifegÏ ÊÉ Ê ÊÍ ÊÎ ÊÊË Êµ à T µTÕÞ Ûß à ÙáÝ T µ å ÕÞ Ûß à ÙáÝãõôóðíìîîëêìõôóðíìîîëêìponkhgiifegÏ ÊÉ Ê ÊÍ ÊÎ ÊÊË Êµ à T µTÕÞ Ûß à ÙáÝ T µ å ÕÞ Ûß à ÙáÝãPRESTACIONES 91Ð ÐÐ ÐÒ ÓÒ Ó± ² ³ ´ µ · ¸¹Ô Ô Ò Ó ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ ÝÔ Ô Ò Ó ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ ÝÔ Ô Ò ÓÒ ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ô Ò ÓÒ ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ô âÓÒ ã ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ô âÓÒ ã ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ô Ò ÓÒå ÕÞ Ûß à Ùáݱ ² ³ ´ µ · ¸æÔ Ô Ò ÓÒå ÕÞ Ûß à ÙáÝíé ñò ïéíé ñò ïéº µ åîïîïº µ º µ ± ² ³ ´ µ · ¸¹¡ ¢ ¤¦ § © êëêë(a)(b)çèéçèéþ ÿö ÷ ù ú ü ý È É Ê É È Ë Ê Ë È Ì Ê¼ ½ ¾ ¿ À Á ÃÀ Ä Å ÆÇ »¼ ½ ¾ ¿ À Á ÃÀ Ä Å ÆÇ »È É Ê É È Ë Ê Ë È Ì ÊÐ Ð Ð ÐN HG H HÒ Ò Ô Ô Ò ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ ÝÔ Ô Ò Ò ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ô Ò ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ Ý ôóõ ± ² ³ 6 µ · 89Ô Ô â Ò ã ÕÞ Ûß à ÙáÝÔ Ò Ò ÕÞ Ûß à ÙáÝ Ô Ô â Ô âã ÕÞ Ûß à ÙáÝ Ô Ô Ò âå ÕÞ Ûß à Ùáݺ µ åÔ Ô Ò âå ÕÞ Ûß à ÙáÝ L HM Híé ñò ïéîïíé ñò ïéîï± ² ³ 6 µ · 8:¡ ¢ ¤± ² ³ ´ µ · ¸¹º µ º µ P Q OP R O HI H(c)(d)êëçèéêë§ © ; < = ? A¦çèéB C <strong>DE</strong>F G H G F I H I F K H ¼ ½ ¾ ¿ À Á ÃÀ Ä Å ÆÇ »# % ' ) +- .) 1 2 45 !N HG H Hx sr s sÐ ÐÐ ÐÒ Ó SÐ ÐÒ Ð ÐÒ Ó SÒ Ô Ô Ò Ó ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ Ý± ² ³ 6 µ · 89Ô Ô Ò ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ ÝÔ Ò ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ Ý Ô ÔÔÓ ÕÖ × Ø ÙÛÜ ÛÜ Ý Ò± ² ³ 6 µ · 8:L HM Hv sw shd lm jdhd lm jdijº µ ± ² ³ ´ µ · ¸¹º µ ¡ ¢ ¤ijº µ åz { yz | yHI Hst s¦ § © ef; < = ? AefB C <strong>DE</strong>bcdU V W X Y Z [\ ]Z ^ _(e)(f)Figura 4.7: Probabilidad de bloqueo para M = 4. (a)-(b) Esquema DD-I-L enfunción de BER T y m. (c)-(d) Esquema DD-A-L en función de BER T y m.(e)-(f) Comparación entre ambos esquemas.V W X Y Z [\ ]Z ^ _ `a U`abcdF G H G F I H I F K Hq r s r q t s t q u s


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CONCLUSIONES 934.4 ConclusionesLa implementación de los esquemas de modulación adaptativa en un sistemareal requiere su completa discretización para limitar la información de señalizaciónasociada. Además, para reducir su complejidad es conveniente emplearun conjunto discreto de constelaciones QAM cuadradas, además de la BPSK. Eneste capítulo se han propuesto dos familias de esquemas de modulación adaptativacompletamente discretas que se han denominado DD-I-L y DD-A-L. Susleyes de adaptación constelación-potencia han sido optimizadas para maximizarla eficiencia espectral y, finalmente, se han comparado sus prestaciones con lasde los esquemas de variación continua CC-I y CC-A.Las conclusiones más importantes que se desprenden son las siguientes:a) En relación con otras propuestas anteriores de discretización (DK-I, DK-Ay DD-A-1), los esquemas aquí propuestos DD-I-L y DD-A-L se basan enconsiderar un número L de posibles niveles de potencia por constelación.Tras optimizar sus leyes de adaptación constelación-potencia, los esquemasDD-I-L y DD-A-L permiten aproximar la eficiencia espectral a la de losesquemas de variación continua CC-I y CC-A con un número reducido deconstelaciones y niveles de potencia por constelación.b) El esquema DD-I-L es el más conservador puesto que mantiene la BER objetivoa escala de invarianza. El esquema DD-I-4 con constelaciones QAMcuadradas es capaz de aproximarse considerablemente a la eficiencia espectraldel esquema CC-I. Tanto para el caso de desvanecimiento Rayleigh(m =1) como el de Nakagami-m con m =4la eficiencia espectral alcanzadaestá a menos de 1 dB en términos de SNR media cuando la BER objetivoes 10 −2 ó 10 −4 . Para las especificaciones de un probable entorno de comunicacionesmóviles de banda ancha, la información de señalización asociadaal esquema DD-I-4 alcanza cifras razonables del orden del 2 % ó 3 %delavelocidad binaria alcanzada.c) El esquema DD-A-L es el idóneo cuando sólo se necesita preservar la BERobjetivo a escala media ya que, a diferencia de lo que ocurre en el caso continuo,mejora sensiblemente la eficiencia espectral del DD-I-L equivalente.Visto de otra forma, el esquema DD-A-1 alcanza una eficiencia espectralsimilar a la del DD-I-4 cuando BER T =10 −2 , mientras que el DD-A-2 consiguelo mismo que el DD-I-4 para BER T =10 −4 . Además, al emplear unvalor de L más bajo, los esquemas DD-A-L requieren menos informaciónde señalización. El precio que se ha de pagar en este caso es la imposibili-


94 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAdad de mantener la BER por debajo del objetivo en todos los instantes dela transmisión. La probabilidad de bloqueo de ambos esquemas es similar,aunque para el mismo valor de L la del DD-A-L es ligeramente menor.d) La probabilidad de bloqueo de los esquemas propuestos DD-I-L y DD-A-Lcon constelaciones QAM cuadradas es aproximadamente el doble que lade sus equivalentes continuos, lo cual en algunos casos puede convertirseen una limitación. Para reducir esta cifra es posible incluir la BPSK enel conjunto de constelaciones de estos esquemas. Además del aumentode complejidad, el precio que hay que pagar por esta mejora es ciertoincremento en la información de señalización para SNR bajas.


444433333333APÉNDICES 954.5 Apéndices4-A Umbrales de Conmutación y Niveles de Potencia Óptimos delEsquema DD-I-LEn las tablas que siguen se presentan los valores numéricos de los parámetrosde los esquemas DD-I-1, DD-I-2 y DD-I-4 que optimizan la eficiencia espectralpara diferentes valores de BER T , ˜γ y m.( V X Z [ \ ] _ _ < ` < .E 9 ' - . 0 9 ' - . E 9 ' - @ 0 9 ' - @ E 9 ' - C 0 9 'cd cd cd cd cd cd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cd cd cd cd cd cd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


qqpppp96 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAh Œ ‘ ’ ” ” y – y ‚ u m — ‚ xef ef ef ef efl v g l m n v g l m v g l ‚ n v g l ‚ v g l { n v gefg h j k l m n o p‹ l mq r s t r u v g x y m z m { z | y } z n m z y € z | n z m y m m z y n z € y m | z € y n z y ‚ { z | m z mq „ s t „ u v g x n z m z € y m z y n z € y z m y ‚ z } y … z m y { z } y m { z y { z € y ‚ n z | y m z …s tu v g x { z | z … n z … { z | y ‚ z } m z … y | z { n z y m n z … n z } y m € z | ‚ z nq † s t † u v g x } z } z € ‚ z | m z … y n z { y n z ‚ y { z … y m z | y z { y ‚ z ‚ y m } z | y m z nq ‡ s t ‡ u v g x z ‚ € z z z ‚ ‚ z } { z { y m z m m z … y z m z ‚ y m m z ‚ z ‚q ˆ s t ˆ u v g x z | z … | z } } z { { z … m z … n z y n z m y { z n y m z ‚ y z } y n zq ‰ s t ‰ u v g x m n z n m m z … z € € z m € z m } z € { z € { z m y n z ‚ ‚ z n y z ‚ ‚ z nq Š s t Š u v g x m n z m m m z … z € z n € z } z n } z … m z … m z … y n z ‚ y m z } y m zg h j k l m n o p‹ l }q r s t r u v g x y n z | { z m y { z n n z y | z n y m z y … z { y { z ‚ y m { z n y } z y ‚ ‚ z n z {q „ s t „ u v g x n z m z € y m z m y m z } y { z € y { z y | z € y z y m n z ‚ y € z { y m … z ‚ y { z {s tu v g x { z | z … m z ‚ { z { y m z m z { y } z … y n z | y z } y ‚ z m y m | z | m z mq † s t † u v g x } z m z } ‚ z m ‚ z } y n z m y n z } y ‚ z y ‚ z € y z … y } z | y m { z ‚ y ‚ z {q ‡ s t ‡ u v g x z ‚ € z z | z ‚ ‚ z } { z } y n z … m z | y } z ‚ y n z m y m m z ‚ m z …q ˆ s t ˆ u v g x z | z … | z } } z { { z m ‚ z | n z | n z m y ‚ z m y ‚ z m y € z … y m z }q ‰ s t ‰ u v g x m n z n m m z … z € € z m € z m } z € { z { { z y n z ‚ m z … y z ‚ z |q Š s t Š u v g x m n z m m m z € … z € z n € z } z n { z … ‚ z … m z ‚ n z | y ‚ z n y m z ‚


APÉNDICES 97¾ ¿ À Á Â Ã Ä Ä ° Å ° ´ © ´ Ç ´ «š› š› š› š› š›® ª œ ¡ ¢ ª œ ¡ ® ª œ ´ ¢ ª œ ´ ® ª œ ² ¢ ª œš›œ ž Ÿ ¡ ¢ £ ¤È ¡¥ ¦ § ¨ ¦ © ª œ « ¢ ¬ ­ ® ¬ ¯ ° ¡ ¬ ± ² ¬ ¡ ° ³ ¬ ± ¡ ¬ ´ ° µ ¬ ³ ° ¢ ¬ ¡ ° ¡ ´ ¬ ± ° ¢ ¬ µ ° ¡ ¯ ¬ µ ° ¢ ¬ ¯¥ · § ¨ · © ª œ « ´ ¬ ® ³ ¬ ¢ ¢ ¬ ³ ¡ ¬ ´ ° ´ ¬ ³ ° ¡ ¬ ¡ ° ® ¬ µ ° ´ ¬ ± ° ­ ¬ ­ ° ² ¬ ± ° ¡ ³ ¬ ­ ° ² ¬ ®¥ ¸ § ¨ ¸ © ª œ « ® ¬ ³ µ ¬ ¡ ² ¬ ¡ ® ¬ ³ ¢ ¬ ² ² ¬ ´ ° ² ¬ ¡ ¡ ¬ ± ° ¯ ¬ ¡ ¢ ¬ ± ° ¡ ´ ¬ ¢ ¢ ¬ ®¥ ¹ § ¨ ¹ © ª œ « ± ¬ ² ¯ ¬ ´ ³ ¬ ³ ³ ¬ ¡ ´ ¬ ¡ ¡ ¬ ® ° ¡ ¬ ¢ ° ¢ ¬ ® ° ³ ¬ ± ° ¡ ¬ µ ° ­ ¬ ² ° ´ ¬ ´¥ º § ¨ º © ª œ « ¡ ¢ ¬ ¡ ­ ¬ ¯ ¯ ¬ ¯ ¯ ¬ ¡ ® ¬ ¢ ³ ¬ µ ¡ ¬ µ ² ¬ ¢ ° ¡ ¬ ­ ¡ ¬ ± ° ± ¬ ³ ¡ ¬ ´¥ » § ¨ » © ª œ « ¡ ¢ ¬ ³ ­ ¬ ² µ ¬ ² ± ¬ ® ± ¬ ¢ ² ¬ µ ² ¬ ² ¡ ¬ ³ ¢ ¬ ¡ ° ¢ ¬ ³ ° ² ¬ ­ ° ¡ ¬ ²¥ ¼ § ¨ ¼ © ª œ « ¡ ¡ ¬ ¡ ¡ ³ ¬ ¯ ¡ ¢ ¬ ® ¡ ¢ ¬ ² ­ ¬ ³ ± ¬ ® ± ¬ ® ³ ¬ ³ ² ¬ ¢ ´ ¬ ­ ° ¡ ¬ ¢ ¡ ¬ ­¥ ½ § ¨ ½ © ª œ « ¡ ¡ ¬ ´ ¡ ³ ¬ ± ¡ ¢ ¬ ± ¡ ¢ ¬ ´ ­ ¬ ® ± ¬ ³ ¯ ¬ ´ ² ¬ ± ³ ¬ ² ¡ ¬ ® ¡ ¬ ³ ° ¢ ¬ ®œ ž Ÿ ¡ ¢ £ ¤È ³¥ ¦ § ¨ ¦ © ª œ « ¢ ¬ µ ® ¬ µ ° ¡ ¬ ¡ ´ ¬ ± ° ² ¬ ® ¢ ¬ ¢ ° ± ¬ ± ° ¡ ¬ ­ ° ¡ ¢ ¬ ¢ ° ² ¬ ³ ° ¡ ² ¬ ­ ° ³ ¬ ®¥ · § ¨ · © ª œ « ¡ ¬ µ ³ ¬ ¯ ¢ ¬ ® ¡ ¬ ¡ ° ¡ ¬ ® ° ´ ¬ ¢ ° ³ ¬ ´ ° ³ ¬ ´ ° ¯ ¬ ³ ° ± ¬ ¡ ° ¡ ¡ ¬ ¢ ° ¯ ¬ ®¥ ¸ § ¨ ¸ © ª œ « ® ¬ ¢ µ ¬ ® ² ¬ ´ ® ¬ ³ ¢ ¬ ± ´ ¬ ­ ° ´ ¬ ³ ¢ ¬ ­ ° ® ¬ ± ° ¢ ¬ ­ ° ­ ¬ ´ ° ´ ¬ ²¥ ¹ § ¨ ¹ © ª œ « ® ¬ ³ µ ¬ ¡ ² ¬ µ ³ ¬ µ ¡ ¬ ¯ ¡ ¬ µ ° ¢ ¬ ± ° ¢ ¬ ­ ° ² ¬ ³ ° ² ¬ ¡ ° ± ¬ ¯ ° ³ ¬ µ¥ º § ¨ º © ª œ « ¯ ¬ ³ ¡ ´ ¬ ² ¯ ¬ ³ ¯ ¬ ² ³ ¬ ­ ³ ¬ ­ ¡ ¬ ¯ ² ¬ ¢ ° ¡ ¬ ® ¡ ¬ ² ° ³ ¬ ­ ° ¢ ¬ ²¥ » § ¨ » © ª œ « ¯ ¬ ® ¡ ´ ¬ ´ ¯ ¬ ® ¯ ¬ ´ ® ¬ ² ³ ¬ ® ´ ¬ ± ´ ¬ ´ ¢ ¬ ¡ ° ¢ ¬ ² ° ´ ¬ µ ° ´ ¬ ®¥ ¼ § ¨ ¼ © ª œ « µ ¬ ¡ ¡ ¯ ¬ ¯ µ ¬ ¡ ¡ ´ ¬ ¯ µ ¬ ¡ ¯ ¬ ¯ ± ¬ ¢ ³ ¬ µ ´ ¬ ± ² ¬ ´ ° ¢ ¬ ­ ¡ ¬ ¯¥ ½ § ¨ ½ © ª œ « µ ¬ ´ ¡ ¯ ¬ ± µ ¬ ´ ¡ ´ ¬ ± µ ¬ ´ ¯ ¬ ± ± ¬ ² ³ ¬ ® ² ¬ ² ´ ¬ ± ¢ ¬ ¯ ¢ ¬ ´


ÔÓÓú98 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAÌ ñ ò ó ô õ ö ÷ ÷ Û ø Û ÞØ Ð ù Þ ÚÉÊ ÉÊ ÉÊ ÉÊ ÉÊÏ Ý Ù Ë Ï Ð Ñ Ù Ë Ï Ð Ý Ù Ë Ï à Ñ Ù Ë Ï à Ý Ù Ë Ï ä Ñ Ù ËÉÊË Ì Í Î Ï Ð Ñ Ò ÓÏ ÐÔ Õ Ö × Õ Ø Ù Ë Ú Û Ð Ü Ý Þ Ü Ñ Û Þ Ü ß à Ü à Û á Ü â Ð Ü Ñ Û Ð à Ü ã Ñ Ü Þ Û Ð á Ü Ñ Ñ Ü Ý Û à Ý Ü ä à Ü áÔ å Ö × å Ø Ù Ë Ú Û Ñ Ü Ý ä Ü Ñ Û ä Ü Ý Ð Ü Ñ Û ß Ü à Û Ñ Ü ä Û Ð Ð Ü Ý Û Ð Ü Ñ Û Ð â Ü Ý Û Ð Ü Ñ Û à ä Ü á Ð Ü äÖ ×Ø Ù Ë Ú Ñ Ü â Ð Ü ã Û à Ü ä Û Ñ Ü à Û Ý Ü ã Û Ð Ü â Û Ð Ñ Ü Ð Û à Ü Þ Û Ð Ý Ü Ñ Û à Ü Ý Û à à Ü ä Û Ñ Ü àÔ æ Ö × æ Ø Ù Ë Ú Ð Ü ã Ñ Ü â Û Ñ Ü ã Û Ð Ü â Û Þ Ü Ý Û ä Ü Ð Û á Ü â Û ä Ü ã Û Ð ä Ü Ý Û Þ Ü Ñ Û à Ñ Ü á Û Ð Ü ßÔ ç Ö × ç Ø Ù Ë Ú ä Ü ß Ý Ü á Ñ Ü ß ä Ü á Û à Ü ã à Ü Þ Û ß Ü Ð Ð Ü â Û Ð à Ü Ñ Ð Ü Ý Û Ð ã Ü ä ä Ü ßÔ è Ö × è Ø Ù Ë Ú Þ Ü à Ý Ü à Ð Ü Ý ä Ü Ñ Û Ð Ü ã Ð Ü ä Û Ý Ü ã Ñ Ü ä Û Ð Ñ Ü â Ñ Ü Ð Û Ð ß Ü á à Ü àÔ é Ö × é Ø Ù Ë Ú Þ Ü ã Þ Ü Ý à Ü Ý à Ü Ñ Û Ñ Ü ß Ñ Ü à Û Þ Ü Ý Û Ð Ü Ñ Û ã Ü à Û Ð Ü ä Û Ð â Ü à Ñ Ü ßÔ ê Ö × ê Ø Ù Ë Ú Ý Ü ã ä Ü â ä Ü ß Ñ Ü á Ñ Ü ß Û Ð Ü à Û ä Ü Ð Û à Ü Þ Û ß Ü á Û à Ü á Û Ð Þ Ü ß Û Ñ Ü áÔ ë Ö × ë Ø Ù Ë Ú á Ü à ß Ü Ý Ý Ü á Þ Ü ã à Ü Þ ä Ü ä Û Ð Ü â à Ü ä Û â Ü ä à Ü Ñ Û Ð ä Ü à ä Ü ãÔ ì Ö × ì Ø Ù Ë Ú á Ü ã â Ü á â Ü ä Þ Ü Þ ä Ü Ð à Ü ß Û Ñ Ü â Ð Ü ä Û Ý Ü Ñ Ñ Ü ß Û Ð Ð Ü â à Ü äÔ å Õ Ö × í î Ø Ù Ë Ú ã Ü Ñ â Ü á â Ü ã ä Ü á ä Ü ã Ð Ü á Ñ Ü Ý Ñ Ü à Û ä Ü ß Û Ñ Ü â Û Ð Ñ Ü Ñ Ñ Ü ßÔ í í Ö × í í Ø Ù Ë Ú ã Ü Ñ â Ü ß ß Ü ß ä Ü Ñ Ý Ü Ñ Ñ Ü ß Ð Ü ã Û Ð Ü Ð Û à Ü à Û à Ü Ð Û á Ü ä Û Ñ Ü ãÔ í ï Ö × í ï Ø Ù Ë Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð Ð Ü á ã Ü â ß Ü Ð ß Ü Þ Þ Ü Þ ä Ü ß ä Ü Ð Û Ñ Ü â à Ü Þ Û â Ü ß ä Ü ÝÔ í ð Ö × í ð Ø Ù Ë Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð Ð Ü á ã Ü â ß Ü Ð ß Ü ß Þ Ü Ð Þ Ü à à Ü Ý Ñ Ü Þ Ð Ü ä Û Þ Ü â Ð Ü ÞÔ í ç Ö × í ç Ø Ù Ë Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð Ð Ü á ã Ü â ß Ü Ð ß Ü ã ä Ü á Ý Ü Ñ Ð Ü á Ð Ü ß Ñ Ü Ð Û à Ü ä Û Ñ Ü ãÔ í è Ö × í è Ø Ù Ë Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð Ð Ü á ã Ü á ß Ü Ñ á Ü Ð ä Ü ß Ý Ü ã Ñ Ü ã ä Ü ä Û Ð Ü â Ñ Ü Ý Û ä Ü ß


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102 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA


ÄÄÄÄÃÃÃÃÃÃÃÃØØØØAPÉNDICES 1034-B Umbrales de Conmutación y Niveles de Potencia Óptimos delEsquema DD-A-LEn las tablas que siguen se presentan los valores numéricos de los parámetrosde los esquemas DD-A-1, DD-A-2 y DD-A-4 que optimizan la eficiencia espectralpara diferentes valores de BER T , ˜γ y m.¼ Ù Ú Û Ü Ý Þ à à Ë á Ë À¹º ¹º ¹º ¹º ¹º¿ Ï É » ¿ À Á É » ¿ À Ï É » ¿ Î Á É » ¿ Î Ï É » ¿ Ô Á É »¹º» ¼ ½ ¾ ¿ À Á  ÿ ÀÄ Å Æ Ç Å È É » Ê Ë À Ì Í Î Ì Î Ë Ï Ì Î Ë Á Ì À Ë Ð Ì Ï Ë À Ì Ñ Ë À Ò Ì Ï Ë Î Ì Ï Ë Î Á Ì Ó Ë Î Ì Ó Ë Ô Á Ì Á Ë Á Ì ÐÄ Õ Æ Ç Õ È É » Ê Ô Ì Ñ Ò Ì Ð Á Ì Ï Î Ì Ò Ë Ô Ì Ô Á Ì Ñ Ë Ó Ì Í Ë Á Ì Ó Ë À Ô Ì Ô Ë À Ì À Ë Î Ô Ì Ñ Á Ì ÐÆ ÇÈ É » Ê À À Ì À Ð Ì Ð Ï Ì Í Ò Ì Ô Î Ì Ô Î Ì Ô Ë À Ì Í Á Ì Ó Ë Ñ Ì Í Ë Á Ì Î Ë À Ï Ì Î Á Ì ÍÄ Ö Æ Ç Ö È É » Ê À À Ì Ñ À Ô Ì Í À À Ì Ñ Ð Ì À Ð Ì Á Ñ Ì Ó Ô Ì Ñ Î Ì Î Ë Á Ì Í Á Ì Ó Ë Ó Ì À Ë Á Ì Î» ¼ ½ ¾ ¿ À Á  ÿ ÒÄ Å Æ Ç Å È É » Ê Ë À Ì À Î Ì Á Ë Ò Ì Ô Ë À Ì Á Ë Í Ì Ó Ë Î Ì Ð Ë À Ò Ì Ò Ë Ò Ì Î Ë Î Á Ì Ð Ë Î Ì Ó Ë Ô Á Ì Á Ë Á Ì ÐÄ Õ Æ Ç Õ È É » Ê Ò Ì À Ï Ì Á À Ì Á Î Ì Ï Ë Î Ì Ó Á Ì À Ë Ñ Ì Ð Ë À Ì Í Ë À Î Ì Ï Ë Ô Ì Á Ë Î Ð Ì Ñ Á Ì ÐÆ ÇÈ É » Ê À À Ì À Ð Ì Ð Ï Ì Í Ò Ì Ô Î Ì Ò Î Ì Ï Ë À Ì Ñ Á Ì Ï Ë Ï Ì Ó Ë À Ì Ô Ë Î Ô Ì Ñ À Ï Ì ÔÄ Ö Æ Ç Ö È É » Ê À À Ì Ñ À Ô Ì Í À À Ì Ñ Ð Ì À Ð Ì Á Ñ Ì Ó Ô Ì Ï Î Ì Ï Ë Á Ì Ó Á Ì Ð Ë Ñ Ì Ð Ë À Ì Ó¹º ¹º ¹º ¹º ¹º¿ Ï É » ¿ À Á É » ¿ À Ï É » ¿ Î Á É » ¿ Î Ï É » ¿ Ô Á É »¹º» ¼ ½ ¾ ¿ À Á  ׿ ÀÄ Å Æ Ç Å È É » Ê Á Ì Í Ò Ì Ó Ë À Ì Ó À Ì Ð Ë Ò Ì Ó Ë Á Ì Î Ë Í Ì Ò Ë À Ì Í Ë À Î Ì Ó Ë Î Ì Í Ë À Í Ì À Ë Î Ì ÓÄ Õ Æ Ç Õ È É » Ê Ï Ì Î Ó Ì Ó Î Ì Ð Ò Ì Í Á Ì À Î Ì Ô Ë Ô Ì Ô Á Ì Ò Ë Ó Ì Î Ë Á Ì Ð Ë À Î Ì Î Ë À Ì ÎÆ ÇÈ É » Ê Ð Ì Ô À Á Ì Ò Ó Ì Ï Ñ Ì Í Ò Ì Ó Ò Ì Ô À Ì Ï Î Ì Ô Ë Î Ì À Á Ì Ñ Ë Ñ Ì Ñ Ë Á Ì ÎÄ Ö Æ Ç Ö È É » Ê À À Ì Ñ À Ô Ì Í À À Ì Ñ Ð Ì À Ð Ì Á Ñ Ì Ó Ñ Ì Î Ò Ì À Î Ì Ó Î Ì Ô Ë À Ì Ô Á Ì Ó» ¼ ½ ¾ ¿ À Á  ׿ ÒÄ Å Æ Ç Å È É » Ê Á Ì Ó Ï Ì À Ë À Ì Î À Ì Ñ Ë Ô Ì Ñ Ë À Ì Ô Ë Ñ Ì Í Ë Ô Ì Ñ Ë À Á Ì Ô Ë Ï Ì Ï Ë À Ò Ì À Ë Ó Ì ÁÄ Õ Æ Ç Õ È É » Ê Ï Ì À Í Ì À Ô Ì À Ï Ì Á Á Ì Ï Î Ì Î Ë Î Ì Ï Ë Á Ì Î Ë Ï Ì Í Ë Î Ì Ò Ë Ð Ì Ò Ë Ò Ì ÁÆ ÇÈ É » Ê Ó Ì Ô À Î Ì Î Ñ Ì Ï Í Ì À Ò Ì Ð Ò Ì Ï À Ì Ï Î Ì Ï Ë À Ì Ó Á Ì Ô Ë Ï Ì À Ë À Ì ÓÄ Ö Æ Ç Ö È É » Ê Í Ì Ñ À Ñ Ì Ò Í Ì Ñ À À Ì Ó Ó Ì À Í Ì Ô Ï Ì Ó Ò Ì Ð Î Ì Ô Î Ì Í Ë À Ì Î Á Ì Í


îîíííí104 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAæ ¦ ¨ õ õ ö ò ê ö ôãä ãä ãä ãä ãäé ù ó å é ê ë ó å é ê ù ó å é ö ë ó å é ö ù ó å é û ë ó åãäå æ ç è é ê ë ì í¥ é êî ï ð ñ ï ò ó å ô õ ö ÷ ö ö ÷ ø õ ù ÷ ú ë ÷ ø õ ê ë ÷ û õ ë ÷ ü õ ê ù ÷ û õ ê ÷ ö õ ö ê ÷ û õ ê ÷ ü õ û ë ÷ ë õ ë ÷ êî ý ð ñ ý ò ó å ô ë ÷ þ ê ÷ ë õ ö ÷ ù õ ê ÷ ë õ ÿ ÷ ÿ õ ö ÷ û õ ê ê ÷ û õ û ÷ ë õ ê þ ÷ ë õ û ÷ ë õ û ë ÷ ë õ ê ÷ ûð ñò ó å ô û ÷ ø ù ÷ ë ë ÷ ü ö ÷ ø õ û ÷ þ ê ÷ ü õ ú ÷ ÿ ë ÷ ù õ ê ü ÷ ö ë ÷ ö õ ö ÿ ÷ ù ö ÷ êî ð ñ ò ó å ô ù ÷ ù û ÷ ú ö ÷ ø ê ÷ ê õ ë ÷ þ õ ë ÷ ÿ õ ù ÷ ë õ ê ÷ ù õ ê ë ÷ û õ ê ÷ þ õ ö ÿ ÷ ù ê ÷ ûî ¡ ð ñ ¡ ò ó å ô ê ë ÷ ê ø ÷ þ ÿ ÷ ü ÿ ÷ ú ö ÷ ü ö ÷ ù õ ö ÷ ê ê ÷ ü õ þ ÷ ü ë ÷ ø õ ê þ ÷ ö ö ÷ úî ¢ ð ñ ¢ ò ó å ô ê ë ÷ ü ø ÷ ü ÿ ÷ ü û ÷ ø ü ÷ ÿ ë ÷ ø ë ÷ þ õ ë ÷ ÿ õ ü ÷ ë õ ê ÷ ö õ ê ö ÷ ê ë ÷ úî £ ð ñ £ ò ó å ô ê ê ÷ ê ê ü ÷ ö ê ë ÷ ÿ ê ë ÷ ë ø ÷ ü ÿ ÷ ü û ÷ ø ö ÷ û õ ê ÷ ê ê ÷ û õ ø ÷ ë ê ÷ þî ¤ ð ñ ¤ ò ó å ô ê ê ÷ ê ê ü ÷ ö ê ë ÷ ÿ ê ë ÷ ë ø ÷ ü ÿ ÷ ê ù ÷ ù ê ÷ ë ö ÷ ê õ ë ÷ ø õ ö ÷ ë õ ö ÷ ûå æ ç è é ê ë ì í¥ é üî ï ð ñ ï ò ó å ô õ ê ÷ ö ö ÷ ü õ ù ÷ ë ë ÷ ë õ ø ÷ ÿ õ ê ÷ þ õ ê ù ÷ û õ ê ÷ ö õ ö ê ÷ ü õ ê ÷ ù õ ö ú ÷ þ õ ë ÷ êî ý ð ñ ý ò ó å ô ë ÷ ø ê ÷ ë õ ê ÷ ù õ ê ÷ þ õ ù ÷ ö õ û ÷ ö õ ê ê ÷ ë õ û ÷ ú õ ê þ ÷ ë õ û ÷ ê õ ö ù ÷ ö õ ê ÷ ûð ñò ó å ô ü ÷ ÿ ù ÷ ë ê ÷ ë ö ÷ þ õ û ÷ û ë ÷ ø õ þ ÷ ø õ ë ÷ þ õ ê ü ÷ ë ë ÷ ö õ ö ù ÷ ë ö ÷ êî ð ñ ò ó å ô ù ÷ ù û ÷ ú ö ÷ ü ê ÷ þ õ ë ÷ ü õ ë ÷ ú õ û ÷ ø õ ö ÷ ö õ ø ÷ ø õ ö ÷ þ õ ö ù ÷ ë ê ÷ ûî ¡ ð ñ ¡ ò ó å ô ê ë ÷ ê ø ÷ þ ÿ ÷ ü ÿ ÷ ú ö ÷ ÿ ö ÷ ù õ ê ÷ ú ê ÷ ê õ ÿ ÷ ÿ õ ë ÷ ö õ ö ü ÷ ë ö ÷ úî ¢ ð ñ ¢ ò ó å ô ê ë ÷ ü ø ÷ ü ÿ ÷ ü û ÷ ø û ÷ ÿ ê ÷ ú ë ÷ ù õ ë ÷ ü õ ö ÷ ø õ ê ÷ ø õ ö ü ÷ ë ë ÷ øî £ ð ñ £ ò ó å ô ê ê ÷ ê ê ü ÷ ö ê ë ÷ ÿ ê ë ÷ ë ø ÷ ù ÿ ÷ ü û ÷ ø ö ÷ ö õ ë ÷ þ ê ÷ û õ ö ü ÷ ë ö ÷ úî ¤ ð ñ ¤ ò ó å ô ê ê ÷ ê ê ü ÷ ö ê ë ÷ ÿ ê ë ÷ ë ø ÷ ù ÿ ÷ ê ù ÷ ù ê ÷ ë ê ÷ ö õ ë ÷ ê õ ë ÷ ø õ ü ÷ þ


APÉNDICES 105 I J K L M N O O 4 P 4 5 ) 5 T 5 , 1 * ! " * ! 1 * 5 " * 5 1 * 3 " * ! " # $Z !% & ' ( & ) * , " . 0 1 . 3 4 5 . 3 5 . 7 4 1 . 7 ! . " 4 9 . 7 4 " . 5 4 ! 0 . 1 4 " . 7 4 5 " . ! 4 " . 1% = ' ( = ) * , 5 . 0 3 . 0 " . ! " . > 4 3 . ! 4 ! . 3 4 ? . 9 4 5 . ? 4 ! ! . 0 4 3 . 0 4 ! ? . 7 4 3 . !% B ' ( B ) * , 1 . ? > . 1 3 . " 0 . 9 4 " . 5 5 . 7 4 0 . " ! . 0 4 7 . 0 " . ? 4 ! 3 . 9 " . >% D ' ( D ) * , ? . > ? . 0 0 . ? 3 . 0 5 . " " . 9 4 ! . 1 4 " . 7 4 1 . ? 4 ! . 7 4 ! " . 7 4 ! . 9% E ' ( E ) * , ! " . ! 9 . > 7 . 5 ? . 7 1 . ! 0 . 5 ! . 1 5 . ? 4 5 . > ! . 0 4 > . 7 ! . 5% F ' ( F ) * , ! " . 0 9 . 0 7 . 5 ? . 5 ? . 3 3 . ! 3 . 3 " . 7 4 " . 3 4 " . > 4 0 . 9 4 ! . 3% G ' ( G ) * , ! ! . ! ! 0 . 5 ! " . 1 ! " . " 9 . 0 ? . 0 ? . > 3 . 7 5 . > 5 . 0 4 ! . 9 ! . ?% H ' ( H ) * , ! ! . ! ! 0 . 5 ! " . 1 ! " . " 9 . 1 ? . 3 > . ? 5 . 7 0 . 0 " . 9 ! . " 4 ! . " ! " # $Z 0% & ' ( & ) * , " . ? 1 . 3 4 ! . ? 5 . 5 4 0 . ? 4 " . 5 4 7 . 0 4 ! . 7 4 ! 5 . 0 4 3 . 5 4 ! ? . 1 4 0 . >% = ' ( = ) * , ! . 9 0 . ! " . 0 " . 1 4 5 . " 4 5 . 3 4 1 . 0 4 3 . 9 4 9 . ! 4 1 . 5 4 ! 5 . 1 4 ? . 7% B ' ( B ) * , 1 . 0 7 . 1 3 . 1 0 . > " . 0 5 . 1 4 3 . 3 " . > 4 > . 5 4 " . 7 4 ! ! . 0 4 ! . 9% D ' ( D ) * , 1 . 0 7 . ! 0 . 3 0 . " ! . 7 ! . 5 4 ! . " 4 ! . 5 4 0 . 0 4 5 . 7 4 7 . 5 4 0 . "% E ' ( E ) * , > . 0 ! 5 . " > . 0 > . 5 1 . 5 0 . > ! . ? 5 . ? 4 5 . 0 ! . ! 4 ? . 3 4 " . 3% F ' ( F ) * , > . 0 ! 5 . " > . 0 > . 5 1 . 5 0 . 3 5 . > ! . ? 4 " . 5 4 " . > 4 3 . ? 4 5 . 3% G ' ( G ) * , 7 . ! ! ? . 7 7 . ! ! 5 . " 7 . ! > . 0 ? . " 0 . ? 5 . ? 5 . > 4 ! . 1 ! . 0% H ' ( H ) * , 7 . ! ! ? . 7 7 . ! ! 5 . " 7 . ! > . 0 ? . 3 0 . 3 3 . 1 ! . 9 " . 1 4 " . 0


gff106 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA_ „ … † ‡ ˆ ‰ Š Š n ‹ n qk c Œ q m\] \] \] \] \]b t l ^ b c d l ^ b c t l ^ b o d l ^ b o t l ^ b r d l ^\]^ _ ` a b c d e fb cg h i j h k l ^ m n o p q r p r n s p d c p t n c d p t d p o n c t p s n d p u n o c p q n c p c n r d p d d p sg v i j v k l ^ m n d p w o p q n q p o d p q n w p q n d p w n c r p o n c p s n c x p d n c p u n r d p d n d p qi jk l ^ m d p u c p q n o p s n d p s n s p u n c p w n c c p t n o p t n c u p r n o p s n r d p d n c p qg y i j y k l ^ m o p r d p r n c p c n c p s n t p r n o p u n c d p c n r p r n c t p u n r p q n r d p d n o p og z i j z k l ^ m q p d u p w d p q r p o n r p x c p x n w p x c p c n c q p q d p w n r d p d o p rg { i j { k l ^ m q p d t p d c p s o p q n o p r d p x n s p x d p c n c o p o n d p o n r d p d c p og | i j | k l ^ m t p o q p c r p d c p q n d p u n d p c n t p o n d p x n c d p q n c p o n r d p d n d p sg } i j } k l ^ m s p u r p d q p q d p o d p x n c p r n r p u n c p x n x p d n o p c n o t p d c p rg ~ i j ~ k l ^ m x p u c d p c s p u s p u o p t o p s n o p r c p w n u p u c p q n c u p w r p rg i j k l ^ m x p u c d p c s p u s p q r p u c p u n d p w d p w n t p w d p q n c q p q o p tg v h i j € k l ^ m x p u c d p c s p u r p u t p o d p u d p u n d p o n q p c n d p u n c o p x c p wg € € i j € € k l ^ m x p u x p x w p s o p q u p c n d p u o p r n c p q n o p s n c p u n c c p s d p xg € ‚ i j € ‚ k l ^ m c d p w c q p t c d p s c d p d x p s s p r q p c r p w n c p o c p w n c d p c r p dg € ƒ i j € ƒ k l ^ m c d p w c q p t c d p s c d p d x p s s p o q p c o p o d p t d p u n t p q d p ug € z i j € z k l ^ m c d p w c q p t c d p s c d p d x p s t p w t p t c p c o p r n d p s n o p c n c p sg € { i j € { k l ^ m c d p w c q p t c d p s x p x c d p d t p t u p w n d p t q p o n o p o c p r n q p c


›šžšAPÉNDICES 107‘ » ¼ ½ ¾ ¿ À   ¢ à ¢ ­ Ÿ ¥ Æ ­ ¡Ž Ž Ž Ž Ž – ¥ § – ¤ ˜– § – — ˜ – — § – ¥ ˜Ž‘ “ • – — ˜ šº – ­› œ ž œ Ÿ ¡ ¢ — £ ¤ ¥ £ ¦ ¢ § £ ¤ ˜ £ ¨ ¢ — ˜ £ — ¢ ˜ £ © ¢ — § £ § ¢ ˜ £ ¦ ¢ ¥ ª £ ¨ ¢ — £ — ¢ ¤ ˜ £ ˜ ˜ £ ¨› ¬ ž ¬ Ÿ ¡ ¢ ˜ £ — ¥ £ ˜ ¢ ¤ £ — ¢ ˜ £ ­ ¢ ¦ £ ˜ ¢ — £ ª ¢ — ­ £ ˜ ¢ — £ ¨ ¢ ¥ ¦ £ © ¢ — £ ¦ ¢ ¥ ª £ ª ¢ ˜ £ ­Ÿ ¡ — £ — — £ ¥ ¢ — £ ¨ ¢ — £ ¤ ¢ § £ § ¢ ¥ £ ¦ ¢ — ¥ £ ˜ ¢ ¥ £ § ¢ ¥ ˜ £ — ¢ ¥ £ ¨ ¢ ¥ ª £ ª ¢ — £ ­› ® ž ® Ÿ ¡ ¥ £ ­ ˜ £ ¥ ¢ ˜ £ ¥ ¢ ¥ £ ¥ ¢ ­ £ ­ ¢ ¤ £ ¤ ¢ — ˜ £ ˜ ¢ ¤ £ ¦ ¢ — ¨ £ § ¢ ¤ £ ­ ¢ ¥ ª £ ª ¢ ¥ £ ¥› ¯ ž ¯ Ÿ ¡ ­ £ © ¦ £ © — £ ˜ ¥ £ © ¢ ¤ £ ¨ — £ ­ ¢ © £ ­ ˜ £ ¥ ¢ — ­ £ — ˜ £ © ¢ ¥ ª £ ¦ ¥ £ ¤› ° ž ° Ÿ ¡ ­ £ © ­ £ ª — £ © ¥ £ ¤ ¢ — £ © ˜ £ ­ ¢ § £ ¦ ¢ ˜ £ ª ¢ — ¥ £ ¦ ¢ ˜ £ ¤ ¢ ¥ ª £ ¦ — £ ¥› ± ž ± Ÿ ¡ § £ ¥ ­ £ ¥ ¥ £ ¨ — £ ¦ ¢ ˜ £ ­ ¢ ˜ £ § ¢ ­ £ ¥ ¢ — £ © ¢ — ˜ £ ¥ ¢ — £ © ¢ — ª £ — ¢ ˜ £ ¨› ² ž ² Ÿ ¡ ¨ £ ¦ ¤ £ ˜ ¤ £ ¨ ˜ £ ª — £ ˜ ¢ — £ § ¢ ¤ £ ˜ ¢ ¥ £ § ¢ © £ ¤ ¢ ¥ £ © ¢ — ª £ — ˜ £ ©› ³ ž ³ Ÿ ¡ ª £ ¦ — ˜ £ — ¨ £ © ¨ £ ¦ ¥ £ ¦ ¥ £ ­ ¢ ¥ £ ˜ — £ § ¢ ¦ £ — ˜ £ ¨ ¢ — ª £ — ¥ £ ¦› ´ ž ´ Ÿ ¡ ª £ ¦ — ˜ £ — ¨ £ © ¨ £ ­ ¤ £ ¨ — £ © ¢ ˜ £ ¨ ˜ £ ¦ ¢ ­ £ ¨ ¢ ˜ £ § ¢ — © £ ª — £ ª› ¬ œ ž µ Ÿ ¡ ª £ ¦ — ˜ £ — ¨ £ © ¤ £ ¦ § £ ˜ ˜ £ © ˜ £ ¨ ¢ ˜ £ ¥ ¢ ¤ £ — ¢ — £ ­ ¢ — © £ ª — £ ¥› µ µ ž µ µ Ÿ ¡ ª £ ¦ ª £ ª © £ ¨ ¥ £ ­ ¦ £ — ¢ ˜ £ ¦ ¥ £ ˜ ¢ — £ ¥ ¢ — £ ª ¢ ¥ £ ¥ ¢ — © £ ª ˜ £ ¤› µ · ž µ · Ÿ ¡ — ˜ £ © — ­ £ § — ˜ £ ¨ — ˜ £ ˜ ª £ ¨ ¨ £ ¤ ­ £ ¥ ¤ £ © ¢ ˜ £ © — £ § ¢ — © £ ª ª £ ¦› µ ¹ ž µ ¹ Ÿ ¡ — ˜ £ © — ­ £ § — ˜ £ ¨ — ˜ £ ˜ ª £ ¨ ¨ £ ¥ ­ £ ¥ ¥ £ ˜ ˜ £ ¤ ˜ £ ª ¢ ­ £ ¨ ˜ £ —› µ ¯ ž µ ¯ Ÿ ¡ — ˜ £ © — ­ £ § — ˜ £ ¨ — ˜ £ ˜ ª £ ¨ § £ © § £ ­ — £ — — £ ­ ˜ £ — ¢ ¥ £ ¦ ¢ ¥ £ ¥› µ ° ž µ ° Ÿ ¡ — ˜ £ © — ­ £ § — ˜ £ ¨ ª £ ª — ˜ £ ˜ § £ § ¦ £ © ¢ ˜ £ § ¥ £ ¨ ¢ ˜ £ © ˜ £ ¦ ¢ § £ ˜


ñ108 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAÊ ò ó ô õ ö ÷ ø ø Þ ú Þ àÖ ß û à ÙÇÈ ÇÈ ÇÈ ÇÈ ÇÈÍ Ü × É Í Î Ï × É Í Î Ü × É Í Û Ï × É Í Û Ü × É Í ß Ï × ÉÇÈÉ Ê Ë Ì Í Î Ï Ð ÑÍ ÎÒ Ó Ô Õ Ó Ö × É Ù Ï Ú Û Ü Ú Ý Þ Û Ú Ý ß Ú à Þ á Ú ß Î Ú â Þ Î Ï Ú Ü Ï Ú â Þ Î Ü Ú Û Ï Ú ß Þ Û Ï Ú â Ï Ú áÒ ã Ô Õ ã Ö × É Ù Î Ú ß à Ú Ý Þ Î Ú à Û Ú ß Þ à Ú â Ï Ú Ü Þ ä Ú Ï Þ Ï Ú Ü Þ Î ß Ú á Þ Î Ú Ï Þ Î ä Ú Î Þ Ï Ú âÒ å Ô Õ å Ö × É Ù Û Ú Ü ß Ú á Ï Ú Ï Î Ú Î Þ ß Ú à Þ Ï Ú Ý Þ Ý Ú à Þ Î Ú â Þ Î Û Ú Î Þ Û Ú à Þ Î Ý Ú Ü Þ Û Ú ÎÒ æ Ô Õ æ Ö × É Ù ß Ú ä Û Ú ß Î Ú à Þ Ï Ú ß Þ Î Ú ä Þ Û Ú Ï Þ Ü Ú ä Þ ß Ú Î Þ Î Ï Ú Ü Þ ß Ú á Þ Î á Ú Ï Þ ß Ú àÒ ç Ô Õ ç Ö × É Ù á Ú Ï Ý Ú â ß Ú Û à Ú ä Þ Ï Ú ß ß Ú Û Þ à Ú à Û Ú Î Þ ä Ú Î Î Ú Ü Þ Î à Ú á Î Ú ÝÒ è Ô Õ è Ö × É Ù á Ú Ï Ý Ú à à Ú Ï à Ú Û Ï Ú â Û Ú Û Þ ß Ú Î Ï Ú ä Þ Ý Ú Ü Ï Ú Û Þ Î ß Ú Ï Ï Ú àÒ é Ô Õ é Ö × É Ù á Ú à á Ú ä Ü Ú Ï ß Ú ß Û Ú Î Î Ú Î Þ Î Ú á Þ Ï Ú ß Þ á Ú Ï Þ Î Ú Î Þ Î Î Ú à Þ Ï Ú äÒ ê Ô Õ ê Ö × É Ù Ý Ú Û á Ú Î á Ú Û Û Ú Û ß Ú Ü Þ Ï Ú ß Þ Ï Ú Û Þ Î Ú Ý Þ à Ú Ü Þ Û Ú à Þ ä Ú ä Þ Û Ú ÛÒ ë Ô Õ ë Ö × É Ù ä Ú á Î Ï Ú Î â Ú à á Ú Ý Ü Ú Ü à Ú Ï Î Ú Ü Û Ú â Þ ß Ú Ï Û Ú Ï Þ â Ú à Û Ú ÎÒ ì Ô Õ ì Ö × É Ù ä Ú á Î Ï Ú Î â Ú à á Ú Ü á Ú Î ß Ú Ü Û Ú Ü Î Ú ä Þ Î Ú Ý Ï Ú ä Þ á Ú â Ï Ú âÒ ã Ó Ô Õ í î Ö × É Ù ä Ú á Î Ï Ú Î â Ú Ü á Ú Û á Ú â Û Ú ä ß Ú Ü Ï Ú ä Þ Ï Ú ß Þ Ï Ú à Þ Ü Ú ß Þ Ï Ú áÒ í í Ô Õ í í Ö × É Ù ä Ú Ý Î Ï Ú Ï ä Ú Ï Ü Ú Ý Ý Ú à Û Ú Î à Ú ä Þ Ï Ú à Î Ú Î Þ Î Ú Ý Þ ß Ú â Þ Î Ú äÒ í ï Ô Õ í ï Ö × É Ù Î Ï Ú â Î à Ú Ü Î Ï Ú Ü Î Ï Ú Ï ä Ú Ü á Ú ß Ý Ú Î ß Ú â Û Ú ä Û Ú Ü Þ Û Ú Û Û Ú ÛÒ í ð Ô Õ í ð Ö × É Ù Î Ï Ú â Î à Ú Ü Î Ï Ú Ü Î Ï Ú Ï ä Ú Ü á Ú ß Ý Ú Î ß Ú á ß Ú Ý Î Ú â Þ Ï Ú Ý Ï Ú âÒ í ç Ô Õ í ç Ö × É Ù Î Ï Ú â Î à Ú Ü Î Ï Ú Ü Î Ï Ú Ï ä Ú Ý á Ú Î Ý Ú Ü ß Ú Û à Ú Ý Ï Ú ä Î Ú Î Þ Ï Ú ÝÒ í è Ô Õ í è Ö × É Ù Î Ï Ú â Î à Ú Ü Î Ï Ú Ü Î Ï Ú Ï Î Ï Ú Ï Ü Ú Ý â Ú Î Û Ú à Ü Ú ä Þ Ï Ú à ß Ú Î Þ Û Ú á


þ ÿ ¢ £ ¤ ¦ ¨ ©ÿ : < = > ? @ B B E & & G & APÉNDICES 109üý üý üý üý üý£ þ £ ¤ ¦ þ £ ¤ þ £ ¦ þ £ þ £ ¦ þüý8 £ & þ ¦ ¤ ¦ ! ¦ ¤ ¤ ¤ % % þ ¤ & ! ¦ ¤ ¦ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ & , , þ ¦ & ¦ & ¦ ¤ ! ¤ ¦ ¤ ! ¤ - - þ ¦ ¤ ¦ ¦ ! ¦ ! ! & ¤ . . þ ¤ ! ¦ ¦ & & ¦ ¤ ¦ ¤ ¦ / / þ ¦ ! & & ¤ ¤ ¤ ¦ & ¦ ! ¤ ¦ ¦ 0 0 þ ! & & ¤ ¤ ! ¤ & ¤ ¤ ¦ ¦ ¦ ! ¦ 1 1 þ & ! ! ¦ & ¦ ¦ ! ¦ 2 2 þ ¤ ¤ ¦ & & ¤ ¤ ¦ 3 3 þ ¤ ¤ ¦ & ¤ ¦ & ¦ % 4 5 þ ¤ ¤ ¦ & ¤ ¤ ¦ ¦ & & ¦ ¤ 4 4 4 4 þ ¤ ¤ ¤ ! ¦ ¤ ¦ ¤ 4 6 4 6 þ ¤ ¤ & ! & & ¤ ¤ 4 7 4 7 þ ¤ ¤ & ! & & ¦ ¦ ! 4 . 4 . þ ¤ ¤ ! & & ¤ ¦ ¦ 4 / 4 / þ ¤ ¤ ! & & ¤ ¤ ! ¤ &


110 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA


APÉNDICES 1114-C Ecuación No Lineal que Permite Obtener una Solución Inicialpara el Esquema DD-I con L>1Las primeras N ecuaciones de (4.9) pueden reescribirse de la siguiente forma⎧ ( )b0R 0 + λ + λ b 0· Ψ1 − Ψ 0(1 − ε 0 (Ψ 0 , Ψ 1 )) = 0Ψ 0 Ψ 0 Ψ( 0b1R 1 − R 0 + λ − b )0+ λ b 1· Ψ2 − Ψ 1(1 − ε 1 (Ψ 1 , Ψ 2 )) = 0Ψ 1 Ψ 0 Ψ 1 Ψ 1⎪⎨ .(biR i − R i−1 + λ − b )i−1+ λ b i· Ψi+1 − Ψ i(1 − ε i (Ψ i , Ψ i+1 )) = 0Ψ i Ψ i−1 Ψ i Ψ i.⎪⎩ R N−1 − R N−2 + λdonde(bN−1− b )N−2+ λ b N−1·Ψ N−1 Ψ N−2 Ψ N−11mΨ N−1 +1− m (1 − ε N−1(Ψ N−1 )) = 0(4-C-1)ε i =∫ Ψi+1Ψ i+1 − Ψ i Ψ− ip Ψ (Ψ) dΨΨ i Ψ i p Ψ (Ψ)=Ψ i+1 − Ψ iΨ iΨ i+1 − Ψ i− Γ(m, mΨ i) − Γ(m, mΨ i+1 )Ψ i m m Ψ m i exp(−mΨ i )Ψ i+1 − Ψ iΨ ipara i =0, 1, .., N − 2 y para i = N − 1ε N−1 =∫ ∞1mΨ N−1 +1− m − Ψ N−1p Ψ (Ψ) dΨΨ N−1 p Ψ (Ψ)1mΨ N−1 +1− m=1mΨ N−1 +1− m − Γ(m, mΨ N−1 )m m Ψ m N−1 exp(−mΨ N−1)1mΨ N−1 +1− mA partir de las dos aproximaciones presentadas en la sección 4.2.2 es posibledemostrar que ε i =0para i =0, 1, .., N −1. Efectivamente, a partir de la aproximaciónI es inmediato inferir que ε i =0para i =0, 1, .., N − 2. Para el caso particularde ε N−1 puede llegarse a esta misma conclusión teniendo en cuenta que cuandox ≫ 1 se cumple que [Gra94, pág. 951]Γ(m, x) ≃ xm exp(−x)x +1− m(4-C-2)con lo que de acuerdo a la aproximación II resulta que ε N−1 =0en (4-C-1).


112 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUAPor lo tanto, cuando se cumplen las aproximaciones I y II el sistema de ecuacionesno lineales queda reducido a⎧ ( )b0R 0 + λ + λ b 0· Ψ1 − Ψ 0=0Ψ 0 Ψ 0 Ψ( 0b1R 1 − R 0 + λ − b )0+ λ b 1· Ψ2 − Ψ 1=0Ψ 1 Ψ 0 Ψ 1 Ψ 1⎪⎨ .(biR i − R i−1 + λ − b )i−1+ λ b (4-C-3)i· Ψi+1 − Ψ i=0Ψ i Ψ i−1 Ψ i Ψ i.⎪⎩ R N−1 − R N−2 + λ(bN−1− b )N−2+ λ b N−1·Ψ N−1 Ψ N−2 Ψ N−11mΨ N−1 +1− m =0El conjunto de distancia relativas entre umbrales de conmutación {∆ i } sedefinen de la siguiente forma. Ψ i+1∆ i = i =0, .., N − 2 (4-C-4)Ψ i.donde por simplicidad en la notación se supone que ∆ N−1 =∆N−2 . A partir de laprimera ecuación en (4-C-3) se obtiene que− 1 λ = b 0 ∆ 0(4-C-5)R 0 Ψ 0Con el subconjunto formado por las N − 2 siguientes ecuaciones de (4-C-3),mediante (4-C-5) y substituciones sucesivas de cada ecuación en la siguiente,se obtiene que⎧(b 0 R 1 − R 0∆ 1 (∆ 0 )=∆ 0 (∆ 0 ) ∆ 0 ∆ 0 (∆ 0 )+ b )0b 1 R 0 h 1.()⎪⎨b 0 R i − R i−1∏i−2∆ i (∆ 0 )=∆ i−1 (∆ 0 ) ∆ 0 ∆ j (∆ 0 )+ b i−1b i R 0b i.⎪⎩ ∆ N−2 (∆ 0 )=∆ N−3 (∆ 0 )(j=0∆ 0b 0b N−2R N−2 − R N−3R 0N−4∏j=0)∆ j (∆ 0 )+ b N−3b N−2(4-C-6)Recordando que se supone que L>1, y por tanto R N−1 = R N−2 y b N−1 = b N−2 ,laúltima ecuación se reduce a1∆ N−2 =1+mΨ m N−1 +1− m(4-C-7)


APÉNDICES 113Despejando de esta ecuación Ψ N−1 y teniendo en cuenta quese llega a queN−2∏Ψ N−1 =Ψ 0j=1∆ jΨ 0 (∆ 0 )= (1+(m − 1)(∆ N−2(∆ 0 ) − 1)) 1/mm 1/m (∆ N−2 (∆ 0 ) − 1)∏1/mN−2j=0∆ j (∆ 0 )(4-C-8)(4-C-9)Obsérvese que tanto en (4-C-6) como en (4-C-9) todos los incrementos {∆ i }y Ψ 0 quedan expresados en función de ∆ 0 . A su vez, la última ecuación de (4.9)que está asociada a la restricción de potencia puede expresarse en función de{∆ i } y Ψ 0˜γΓ(m)F inicial (∆ 0 )=−m m Ψ m−10 (∆ 0 ) + b 0 (∆ 0 (∆ 0 ) − 1) exp(−mΨ 0 (∆ 0 ))∑b i (∆ i (∆ 0 ) − 1)N−1+i=1( ∏i−1)∆ j (∆ 0 )j=0∏i−1exp(−mΨ 0 (∆ 0 ) ∆ j (∆ 0 )) = 0j=0(4-C-10)Por lo tanto, una vez que se asumen las aproximaciones I y II, la solución al sistemade ecuaciones (4.9) se reduce a resolver ∆ 0 en la ecuación no lineal (4-C-10).


114 APROXIMACIÓN DISCRETA A LOS ESQUEMAS CON VARIACIÓN CONTINUA


Capítulo5Efecto de la Adaptación Imperfectaen las Prestaciones del Sistema5.1 IntroducciónEN los capítulos previos se han mostrado las excelentes prestaciones que puedenalcanzar los sistemas AQAM. Se asumía como premisa que el procesode adaptación se realizaba de forma perfecta. Idealmente: el receptor estima elcanal y decide la combinación constelación-potencia; la información sobre laadaptación correspondiente se envía libre de errores hacia el transmisor; finalmente,si procede, el transmisor modifica su modulación. Además, el retardoglobal del proceso de adaptación se considera despreciable.Existen tres causas principales que pueden ocasionar la no idealidad delproceso de adaptación:a) La transmisión no fiable de información a través del canal de señalización.b) El retardo global asociado a la adaptación de la modulación.c) La estimación imperfecta de canal.La falta de fiabilidad del canal de señalización puede ser drásticamente reducidasin más que emplear un sistema de codificación robusto de la información115


116 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMACanalRadiox] W P ^ P T R T P U V Za c +`i j k lm j k lRetardoAdaptaciónx\ X N X T T P U VL N P Q R T P U V W X KR V R [ ZFuentesde ErrrorRetardoAdaptaciónEstimaciónde la GananciaInstantáneaVariaciónRápidaTransmisorCanal deSeñalizaciónW R e N R T P U V aX [ R Wc ] W h [ R T P U VReceptorEstimaciónde la GananciaMediaVariaciónLentaFigura 5.1: Fuentes de error más importantes asociadas al proceso de adaptación.asociada. En cualquier caso, dicha fiabilidad se consigue a costa de incrementarla velocidad binaria o el retardo del proceso de señalización. Por otra parte, elefecto de la estimación imperfecta del canal y el retardo de adaptación son másdifíciles de neutralizar requiriendo un análisis detallado que se realiza a lo largodel presente capítulo.En el escenario habitual de comunicaciones móviles, el desvanecimientodel canal plano lentamente variable se descompone, tal y como se vio en elcapítulo 3, en: unas variaciones rápidas (escala media) debidas a la propagaciónmulticamino superpuestas a variaciones lentas (escala global) por atenuacióna gran escala. Como consecuencia, podrán diferenciarse varias fuentes de errorrápidas y lentas asociadas al proceso de adaptación que se ilustran en la fig. 5.1.Por un lado, el retardo de adaptación es la suma de varias contribucionesbásicas:a) El retardo de estimación en el receptor.b) El retardo asociado al canal de señalización.c) El tiempo necesario para reconfigurar el transmisor una vez recibida lainformación sobre la adaptación.


INTRODUCCIÓN 117d) El retardo de propagación por el canal radio (habitualmente despreciable).La acumulación de todos estos retardos ocasiona que la demodulación se realicecon el estado actual del canal, mientras que el transmisor está modulando deacuerdo con un estado pasado o anterior del canal. Puesto que la adaptacióndel canal sigue las variaciones rápidas del mismo, el error asociado a su retardotendrá esta misma naturaleza.Por otro lado, desde el punto de vista de la estimación de la ganancia del canalel error asociado se subdivide en un error o ruido de estimación de variaciónrápida y un error de estimación de variación lenta. Esto se debe a que, tantola SNR instantánea, que varía a escala media, como la SNR media, que varía aescala global, son empleadas por el subsistema de adaptación.Algunos trabajos anteriores han abordado diferentes aspectos relacionadoscon el efecto de la adaptación no ideal en modulación adaptativa. Son los siguientes[Gol97], [Alo98], [Goe99], [She01], [Lon03]. En [Gol97], se presenta unaaproximación determinista muy simple para evaluar el efecto del ruido de estimacióny retardo de adaptación en la BER de los sistemas AQAM. Posteriormenteen [Alo98] se analiza el impacto del retardo de adaptación en la BER parael esquema CC-I con desvanecimiento Nakagami-m, demostrando que retardosmoderados asociados a la estimación de canal pueden degradar gravemente laBER del sistema. Las estimaciones con retardo del canal son usadas en [Goe99] y[She01] para diseñar esquemas AQAM apropiados que consideran esta circunstancia.Finalmente, en [Lon03] se estudia mediante simulaciones el efecto de laestimación imperfecta de canal en las prestaciones de la modulación adaptativa.El objetivo de este capítulo es realizar un análisis lo más general posible delefecto de la adaptación no ideal en las prestaciones de los sistemas AQAM.Además del retardo en la adaptación de la modulación considerado en [Alo98](variación rápida), se tienen en cuenta de forma simultánea las dos fuentes deerror asociadas a la estimación de canal: el ruido de estimación (variación rápida)y el error de estimación de potencia a escala media (variación lenta). Conayuda de las aproximaciones analíticas obtenidas en el capítulo 3 para la SNRde corte, se llegará a un conjunto de nuevas fórmulas que permiten evaluar elefecto combinado de las diferentes fuentes de error de estimación de canal sobrelas prestaciones un sistema AQAM que emplea el esquema CC-I. En concretose obtienen expresiones analíticas cerradas o fácilmente evaluables numéricamentepara la eficiencia espectral, BER, potencia transmitida y probabilidad debloqueo. La validez de todas estas expresiones analíticas se verifica mediante simulaciones.El trabajo descrito en este capítulo ha sido parcialmente publicado


118 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAen [Par02] y [Par04].La organización del resto del capítulo es la siguiente. En la sección 5.2 se presentael subsistema de estimación de canal considerado y se realiza la caracterizaciónestadística de los errores de estimación. A continuación, en la sección 5.3se lleva a cabo el análisis del impacto del error de estimación cuando sólo seconsideran las variaciones rápidas del canal. La inclusión en el análisis de loserrores de estimación con variación lenta aparece en la sección 5.4. Finalmentelas conclusiones del capítulo se resumen en 5.5.


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> SUBSISTEMA <strong>DE</strong> ESTIMACIÓN <strong>DE</strong> CANAL 1195.2 Modelo de Subsistema de Estimación de Canal5.2.1 Descripción GeneralEn la fig. 5.2 se representa el diagrama de bloques del sistema AQAM queincluye el subsistema de estimación de canal necesario para la adaptación de lamodulación.Para ayudar a la estimación de canal el transmisor envía periódicamentesímbolos pilotos predeterminados. La señal transmitida se estructura en tramascon 1 símbolo piloto seguido por D − 1 símbolos de datos. La modulaciónadaptativa sólo se aplica a los símbolos de datos, mientras que los símbolos pilotosse transmiten con una potencia y constelación fijas. En el análisis que siguese considera un esquema AQAM del tipo CC-I para los datos transmitidos comose hizo en [Alo98].Tanto los símbolos pilotos como los símbolos de datos experimentan las fluctuacionesde amplitud y fase debidas al desvanecimiento del canal. Puesto quelos pilotos son fijos y conocidos, pueden emplearse para determinar las variacionesde la envolvente paso-bajo compleja del canal c(t). El modelo de canalconsiderado es el de la sección 2.2 con algunas simplificaciones. Se consideraque las variaciones rápidas del canal por desvanecimiento multicamino α(t) sondel tipo Rayleigh (m =1), que representa el caso de mayor variación de canal. Dehecho, en [Alo98] donde se analiza el efecto del retardo en la BER de un esquemaCC-I, elcasom =1exhibe mayor degradación que cuando m>1. Por otraparte, conforme a lo comentado en la sección 2.2.2, la fluctuación de potenciag(t) debida a la atenuación a gran escala se considera mucho más lenta que lapropagación multicamino. Esto implica que cuando se considere el efecto de g(t)a escala media, su variación podrá modelarse como una simple variable aleatorialog-normal.La estimación de canal se realiza en el receptor con la ayuda de los símbolospilotos insertados en el transmisor, por lo que deben ser separados de los símbolosde datos. Esta técnica de estimación de canal se conoce como PSAM (PilotSymbol Assisted Modulation). La estimación de canal se requiere para dos operacionesbásicas mostradas en la fig. 5.2: el reescalado de la rejilla de decisiónrealizado por el CAG y la selección de constelación-potencia que lleva a cabo elsubsistema de adaptación de la modulación. Conviene señalar que la estimaciónde canal es bien diferente en ambos casos.


120 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMACanalRadioDatosTransmitidosr q ~z ~ x r Š r u t } u | r { v wX +‚ … ‹ } ~ p r s p w t } w p y } u r v w €y r { ~ q ~ p xŒ Ž Žr { q } ~ |x t ƒ q t x ~ ‚„† y p q } y ~ …Xz ‚ ‡‰ y q y u u r v w’ Ž“ ŽSímbolosPilotoso p q r s t u r v wPotenciade RuidoEstimadax yDatosRecibidosz t w t {Constelación-PotenciaElegidasTransmisorCanal deSeñalizaciónx t ƒ q t u r v w ‚y { t x… ~ x † { t u r v wReceptorEstimaciones delas SNRs instantáneay mediaFigura 5.2: Modelo de sistema para el análisis del proceso imperfecto de adaptación.El reescalado del CAG tiene como objetivo compensar de forma precisa el desvanecimientodel canal (amplitud y fase) para realizar con éxito la demodulaciónAQAM. Normalmente la estimación de canal para el CAG puede realizarse de formano causal, lo que facilita alcanzar la precisión requerida con una complejidadmoderada. Esto es posible porque un retardo de unos pocos símbolos en la demodulaciónsuele ser admisible en la mayoría de las aplicaciones, sobre todo enlos sistemas de banda ancha (periodo de símbolo muy pequeño). En relación conla estimación de las variaciones del canal rápidas, se han realizado numerosaspropuestas basadas en filtros interpoladores aplicados a los símbolos pilotos: filtrosóptimos de Wiener [Cav91], filtros gaussianos de órdenes pequeños [Sam93]y filtros sinc paso-bajo [Kim97]. Aunque estas propuestas asumen constelacionesQAM fijas, son directamente trasladables a los sistemas AQAM. Por otraparte, para compensar las variaciones lentas del canal se pueden usar algunastécnicas de medida de la ganancia de potencia media [Gol94] y [Goe01b]. Puestoque el objetivo de este capítulo es analizar el error de estimación de canal desdeel punto de vista de la adaptación de la modulación, se supondrá que el ajustedel CAG es perfecto como se hizo en la sección 2.3.La estimación de canal es fundamental para el algoritmo de adaptación yaque éste debe seleccionar apropiadamente la constelación y potencia transmitidasde acuerdo con el estado del canal. En la fig. 5.2 se muestra que tanto la


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> SUBSISTEMA <strong>DE</strong> ESTIMACIÓN <strong>DE</strong> CANAL 121SNR instantánea γ como la SNR media ˜γ deben ser estimadas (̂γ y ̂˜γ respectivamente)para adaptar el esquema de modulación al desvanecimiento Rayleigh.Nótese que el esquema CC-I no sólo requiere el conocimiento de γ sino tambiénel de ˜γ para poder fijar la SNR de corte γ 0 (tabla 3.1). Al contrario de lo queocurría con la estimación de canal para el CAG, para obtener ̂γ no es necesariauna interpolación símbolo a símbolo sino que es suficiente una estimación conlos pilotos trama a trama. Además, el proceso de estimación para el algoritmoAQAM debe ser estrictamente causal puesto que el transmisor debe reconfigurasedinámicamente para seguir las variaciones del canal y no deben introducirseretardos adicionales en el proceso de estimación. En relación con la estimaciónde la SNR media ̂˜γ, pueden utilizarse las mismas técnicas de estimación de laganancia en potencia media para el CAG. En cualquier caso se supone que lasestimaciones de ̂γ ydê˜γ se realizan de forma independiente.A continuación se presentan los modelos y la caracterización estadística delas estimaciones ̂γ y ̂˜γ. Un estudio detallado a este respecto es fundamental parallevar a cabo el análisis de las secciones 5.3 y 5.4.5.2.2 Estimación de la SNR InstantáneaModelo de EstimaciónComo se vio en el capítulo 2, de acuerdo con (2.26) la SNR instantánea vienedada por γ = ζ 2 ¯S/(No B W ) , donde la envolvente instantánea del canal ζ está relacionadatanto con el desvanecimiento multicamino como con el desvanecimientoa gran escala de forma que ζ = |c| = √ gα. Suponiendo conocidas la potenciamedia transmitida ¯S y la potencia de ruido recibido N o B W , para obtener ̂γ bastacon estimar la ganancia en potencia instantánea del canal ζ 2 . La estimaciónde esta ganancia puede obtenerse a partir de los símbolos pilotos. El modelo deestimación considerado estima primero la ganancia compleja del canal c, dichaestimación inicial se mejora mediante filtrado y finalmente se calcula el móduloal cuadrado obteniéndose ̂ζ 2 = |ĉ| 2 .En [Sam93], [Kim97] y [Tan99] pueden encontrarse descripciones detalladasde la técnica PSAM. De forma breve, considérese que 1 símbolo piloto fijo yconocido a P se inserta periódicamente cada D − 1 símbolos de datos. El númeronatural D indica el tamaño en símbolos de la trama PSAM. Es habitual suponerque la energía por símbolo de los pilotos es igual a la energía por símbolo del flujo


122 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAde datos, en cuyo caso la potencia media de la secuencia de datos transmitidos(datos + pilotos) sigue siendo ¯S. Esta elección no es necesariamente óptima desdeel punto de vista de la estimación, aunque suele ser apropiada en un sistema realya que permite mantener reducida la relación potencia de pico a potencia mediade la señal transmitida. Considérese de nuevo la fig. 5.2. En el receptor, la señalrecibida es muestreada de forma ideal a frecuencia de símbolo 1/T S después depasar por el filtro receptor. Los símbolos pilotos recibidos son extraídos medianteun√diezmado de esta secuencia por un factor D. A partir de (2.18) y dividiendo pora P Ep /T S se obtiene la siguiente secuencia compleja de estimaciones iniciales√⌢c k = c k + n k T S(5.1)a P E pLa estimación inicial ⌢ c se mejora mediante un filtro causal FIR (Finite ImpulseResponse) con F coeficientes. Es decir, el receptor usa F símbolos pilotos detramas anteriores para obtener la estimación finalF∑−1ĉ k =i=0h i · ⌢c k−i (5.2)donde los h i son coeficientes reales. Finalmente, la estimación de la SNR instantáneâγ se obtiene a partir de la estimación de c como ̂γ = |ĉ| 2 ¯S/(No B W ).Caracterización Estadística del Error de EstimaciónCuando la estimación de la SNR instantánea no es perfecta, es decir ̂γ ≠ γ, laselección de la constelación y la potencia para el esquema CC-I expresada en latabla 3.1 se realiza con ̂γ en vez de con γ.Como se verá en las próximas secciones de este capítulo, para evaluar elimpacto de este desajuste basta con conocer la PDF condicional p̂γ/γ (̂γ/γ). Estafunción se obtiene en el apéndice 5-A bajo la suposición de que los coeficientesdel filtro de estimación {h i } se escogen con el criterio MMSE (Minimum MeanSquare Error). En concreto,p̂γ/γ (̂γ/γ) =1χ(1 − χ)˜γ I 0( 2√ γ̂γχ˜γ) · exp (−(1 − χ)2 γ + ̂γχ(1 − χ)˜γ ) (5.3)siendo I 0 (·) la función de Bessel modificada de orden cero y χ el MMSE de ĉ kχ = . { }E[|ĉk − c k | 2 ]MínimoE[c k c ∗ k ] =1− r(R + 1˜γ I)−1 r ′ (5.4)


MO<strong>DE</strong>LO <strong>DE</strong> SUBSISTEMA <strong>DE</strong> ESTIMACIÓN <strong>DE</strong> CANAL 123donde I representa la matriz identidad, R es la matriz de covarianza normalizadade c k con (R ij )=J 0 (2πT D ·|i − j|) y r es el vector covarianza normalizado de c k con(r i )=J 0 (2πT D · (i − 1)). En las expresiones anteriores los vectores tienen dimensiónF y las matrices F ×F , T D = fD · DT S es intervalo de estimación normalizado.a la frecuencia Doppler y J 0 (·) la función de Bessel de orden cero.A la vista de (5.4) se desprende que, bajo el criterio MMSE, el error de estimaciónpresenta la siguiente dependencia χ = χ(˜γ; F, T D ). En la fig. 5.3 se visualizael MMSE dado en (5.4) en función de ˜γ(dB) para el rango de valoreshabitual de F y T D . Obsérvese que el caso F =0significa usar directamente laestimación inicial ⌢ c, es decir sin filtrado. Una propiedad interesante del MMSEes la dependencia cuasi-lineal entre χ(dB) y ˜γ(dB), mejorando cuando el canal esmás favorable. El MMSE varía habitualmente en un rango comprendido entre −5y −40 dB.Inclusión del Retardo de AdaptaciónEl efecto del retardo de adaptación τ también puede incorporarse en el modelo.Los símbolos recibidos se decidieron usando la estimación ruidosa ̂γ, basadaen el estado del canal γ, que ocurrió haceτ segundos. Sin embargo, el canal seencuentra actualmente en un nuevo estado γ τ . Por lo tanto, los símbolos recibidosen el receptor se demodulan con una configuración que no se correspondecon la que debería tener, con el consiguiente impacto en las prestaciones delsistema.El procedimiento que permite calcular la PDF conjunta p̂γ,γτ (̂γ,γ τ ) se describea continuación. Dividiendo (2.29) entre (2.28) se demuestra que la PDF condicionalp γτ /γ(γ τ /γ) sigue una distribución chi-cuadrado no centrada con dos gradosde libertad1p γτ /γ(γ τ /γ) =˜γ(1 − ρ) exp (− γ τ + ργ˜γ(1 − ρ) )I 2 √0( γτ ργ) (5.5)˜γ(1 − ρ)siendo ρ =J 2 0(2πτ D ) el coeficiente de correlación del canal y τ D = f D · τ el retardode adaptación normalizado a la frecuencia Doppler. A partir de esta PDF condicionalse llega a la PDF conjunta p̂γ,γτ (̂γ,γ τ ) mediante la siguiente cadena deprobabilidades condicionadasp̂γ,γτ (̂γ,γ τ )=∫ ∞0p γ,̂γ,γτ (γ,̂γ,γ τ ) dγ =∫ ∞0p̂γ/γ (̂γ/γ) · p γτ /γ(γ τ /γ) · p γ (γ) dγ (5.6)Obsérvese como las tres PDFs que aparecen en (5.6) son conocidas y se correspondencon (5.3), (5.5) y (2.28).


›œ›ž • ” • – — ” — – ˜ ” ˜ –š ”š –¤ © ® £¨ ¤ © ¦ «¯ §124 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMA ”¤ ¦£ ¤ ­£Ÿ ¡¢§ ¨ ¤ © ¦ «¬” • – • ” — – — ” ˜ –± ² ´ ¸ ¹º » ¸ ¾ ¿ ÀÁ °Figura 5.3: Representación del MMSE en función de la SNR media ˜γ para distintosvalores del intervalo de estimación normalizado T D y del número de coeficientes Fdel filtro de estimación.5.2.3 Estimación de la SNR MediaEn el trabajo de Goldsmith [Gol94] se obtiene un modelo sencillo que permitecaracterizar estadísticamente el error cometido en varios métodos de estimaciónde la ganancia en potencia media Ω . Los resultados de este trabajo se resumen acontinuación. El error de estimación de la ganancia en potencia media coincidecon el de estimación de la SNR media ya que ̂˜γ = ¯S ̂Ω/(N o BW), y de nuevo lapotencia transmitida nominal y la del ruido recibido se suponen conocidas. Si sedefine dicho error de estimación, en decibelios, como δ se cumple queδ =10log 10 ( ̂ΩΩ )=10log 10(̂˜γ˜γ ) (5.7)De acuerdo con [Gol94], δ tiene una PDF aproximadamente Gaussiana para losmétodos de estimación más comunes. En cualquiera de ellos es fácil eliminarel sesgo del error δ de forma que el único parámetro del error ∆ es la desviacióntípica de δ. Como se justifica en [Gol94], el valor de ∆ está comprendidohabitualmente en el rango de los 2 − 4 dB.


ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ERRORES <strong>DE</strong> VARIACIÓN RÁPIDA 1255.3 Análisis de los Errores de Variación RápidaEsta sección aborda el análisis del efecto de la estimación imperfecta del canalsobre las prestaciones del sistema AQAM cuando sólo se consideran los erroresde variación rápida, es decir ̂γ ≠ γ y ̂˜γ = ˜γ. En el desarrollo que sigue se obtienenexpresiones para la eficiencia espectral, BER, potencia transmitida y probabilidadde bloqueo. Finalmente, el análisis se complementa con resultados numéricosy simulaciones que permiten verificar las expresiones obtenidas y cuantificarla relevancia de las diferentes fuentes de error presentes.5.3.1 Eficiencia EspectralLa eficiencia espectral del sistema 1 puede verse afectada en mayor o menormedida cuando se emplea la estimación imperfecta de la SNR instantánea ̂γ.En este caso la ley de variación de la constelación dada en la tabla 3.1 para elesquema CC-I pasa a serR(̂γ) =log 2( ̂γγ 0)u(̂γ − γ 0 ) (5.8)y por tanto la eficiencia espectral∫ ∞( ). ̂γ ̂˜ν = E R(̂γ) = log 2 u(̂γ − γ 0 ) p̂γ (̂γ) d̂γ (5.9)γ 0γ 0Conviene hacer dos observaciones en relación con la expresión (5.9). En primerlugar, aparece el valor exacto de la SNR de corte ya que éste sólo dependede la SNR media ˜γ que se supone estimada de forma perfecta. En segundolugar, la PDF marginal de ̂γ puede obtenerse a partir de la PDF condicionalp̂γ/γ (̂γ/γ) dada en (5.3). En efecto, considérese la siguiente transformada de Laplace[Abr70, pág. 1182, eq. (109)]0∫ ∞04s )I 0 (u √ x ) · e −sx dx = e( u 2A partir de ella se obtiene∫ ∞( )1p̂γ (̂γ) = p̂γ/γ (̂γ/γ)p γ (γ) dγ =˜γ (1 − χ) exp ̂γ−˜γ (1 − χ)s(5.10)(5.11)1 La pérdida de eficiencia espectral asociada a la inserción de símbolos pilotos, dada por elfactor (D − 1)/D, no está incluida.


126 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAEs decir que ̂γ sigue una distribución exponencial de media ˜γ (1 − χ).Cuando χ =0no hay error de estimación por lo que ̂γ = γ sigue una distribuciónexponencial de media ˜γ en correspondencia con el modelo de desvanecimientomulticamino Rayleigh que se ha considerado en este capítulo.Finalmente, si se substituye (5.11) en (5.9) se obtiene una expresión cerradapara la eficiencia espectral en términos de la función exponencial-integral deprimer orden (véase (3.13))̂˜ν =log2 (e) · E 1 (A) con A = . Ψ 01 − χ y Ψ 0 = γ 0˜γ(5.12)5.3.2 BER Instantánea PromedioCuando ̂γ ≠ γ la BER instantánea ya no se mantiene constante e igual a BER Tpor encima de la SNR de corte. La BER instantánea recibida definida en (2.33)se debe expresar ahora comoBER(̂γ,γ τ )= 1 5 exp (= 1 5 exp (−K Tγ τ̂γ− 8 5)γ τ S (̂γ) / ¯S )= 1 (2 R(̂γ) − 1 5 exp − 8 ̂γS (̂γ) / ¯S )γ τ5 2 R(̂γ) − 1 ̂γcon K T = − log(5BER T )(5.13)Esta ecuación expresa claramente el efecto en la BER instantánea de la estimaciónimperfecta del canal y el retardo de adaptación. Cuando la estimación esperfecta y el retardo de adaptación despreciable se cumple que ̂γ = γ τ = γ ydenuevo BER(̂γ,γ τ )=BER T .Desde el punto de vista de las prestaciones del sistema, el promedio de la BERinstantánea a escala media cuando hay transmisión (̂γ ≥ γ 0 ), puede usarse paracuantificar el impacto sobre la BER del sistema de los errores de variación rápida.Dicha magnitud se denominará simplemente ’BER Instantánea Promedio’ yvendrá dada por̂˜BER 0 = E BER(̂γ,γ τ) · u(̂γ − γ 0 )(5.14)Pr{̂γ ≥ γ 0 }Puede comprobarse que, de forma consistente, ̂˜BER 0 = BER T cuando la estimaciónes perfecta y el retardo de adaptación despreciable.Para calcular (5.14) obsérvese que el numerador puede expresarse comoE BER(̂γ,γ τ ) · u(̂γ − γ 0 ) =∫ ∞̂γ=γ 0∫ ∞γ τ =0exp (−K Tγ τ̂γ ) · p̂γ,γ τ(̂γ,γ τ ) dγ τ d̂γ (5.15)


ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ERRORES <strong>DE</strong> VARIACIÓN RÁPIDA 127La sustitución de (5.6) en (5.15) y la aplicación reiterada de la transformada deLaplace (5.10) conduce al siguiente resultadoE BER(̂γ,γ τ ) · u(̂γ − γ 0 ) = µ 5∫ ∞̂γ=γ 0̂γ̂γ + βexp (−λ ̂γ̂γ + β− µ̂γ)d̂γ (5.16)con µ =(˜γ . (1 − χ)) −1 , β = . K T ˜γ (1 − ρ(1 − χ)) y λ = . K T ρ. Por otra parte, para calcularel denominador de (5.14) basta considerar la PDF marginal de ̂γ, a partir de lacual, y recordando que γ 0 = ˜γΨ 0 = ˜γΦ(K T /˜γ), es inmediato obtener(Pr {̂γ ≥ γ 0 } =exp − Ψ )0(5.17)1 − χFinalmente, sustituyendo (5.16) y (5.17) en (5.14) y aplicando el cambio de variablex = µ · (̂γ − γ 0 ) se llega â˜BER 0 = 1 5∫ ∞0x + Ax + A{exp (−λx − λ + A + B x − λ + A + B )} e−x dx⎧A =Ψ ⎪⎨. 0 /(1 − χ)B = . K T /(1 − χ)⎪⎩λ = . K T ρ(5.18a)(5.18b)La expresión integral para ̂˜BER 0 puede calcularse numéricamente con granprecisión mediante el método de integración en cuadratura de Gauss-Laguerre[Dav84, pág. 223]̂˜BER 0 ≃ 1 N∑ p5n=1L xnx n + Ax n + Aexp (−λx n − λ + A + B x n − λ + A + B ) (5.19)donde N p es el orden del polinomio de Laguerre L Np (·), x n son los ceros de L Np (·)y L xn = x n /[L Np (x n )] 2 los pesos del polinomio de Laguerre de orden N p .5.3.3 Potencia TransmitidaLa restricción de potencia media deja de cumplirse cuando no se emplea unaestimación de canal perfecta. En efecto, puesto que la decisión de la potenciatransmitida se basa en la estimación ̂γ, ahora no podrá mantenerse la potenciamedia coincidente con el valor nominal E S(̂γ) ≠ ¯S.


128 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAA partir de la tabla 3.1 y de un modo similar a como se hizo con la eficienciaespectral se obtienê˜S¯S.=E S(̂γ)¯S= 5K T8˜γcon lo que finalmente se llega a 5KT=E8( 1Ψ 0exp(− Ψ 01 − χ( 1γ 0− 1̂γ ))· u(̂γ − γ 0 )− 11 − χ E 1( Ψ 01 − χ ) ) (5.20)̂˜S¯S = 5B ( )e−A8˜γ A − E 1(A)(5.21)donde A y B se corresponden con las definiciones de (5.18b).5.3.4 Probabilidad de BloqueoLa probabilidad de bloqueo cuando se producen errores de estimación devariación rápida se calcula de forma inmediata a partir de los estadísticos de ̂γ.De hecho, es precisamente la probabilidad complementaria a la del denominadorde la BER instantánea promedio que aparece en (5.17){ }Pr Bloqueo ̂ =Pr{̂γ 0 yB= B(χ) > 0, es decirson funciones del MMSE χ y no del retardo de adaptación τ D , mientras que conλ = λ(τ D ) > 0 ocurre precisamente lo contrario. Cuando la estimación es perfecta(χ =0) se cumple que A= Ψ 0 yB= K T , si además el retardo de adaptación esdespreciable (τ D =0) entonces λ = K T . En tal caso, las prestaciones del esquema


ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ERRORES <strong>DE</strong> VARIACIÓN RÁPIDA 129Tabla 5.1: Resultados analíticos para los errores de variación rápida.EFICIENCIA ESPECTRAL̂˜ν =log2 (e) · E 1 (A(χ))BER INSTANTÁNEA PROMEDIÔ˜BER 0 ≃ 1 5∑N pL xnn=1x n + A(χ)x n − λ(τ D )+A(χ)+B(χ) exp (−λ(τ x n + A(χ)D)x n − λ(τ D )+A(χ)+B(χ) )POTENCIA TRANSMITID˜S¯S = 5B(χ) ( )e−A(χ)8˜γ A(χ) − E 1(A(χ)){ }PROBABILIDAD <strong>DE</strong> BLOQUEO Pr Bloqueo ̂ =1− e −A(χ)A(χ) =A(χ; ˜γ,K T )= Ψ 01 − χ = Φ(K T /˜γ)1 − χ(˜γ; F, T D )B(χ) =B(χ; K T )=K T1 − χ = K T1 − χ(˜γ; F, T D )λ(τ D )=λ(τ D ; K T )=K T J 2 0(2πτ D )coinciden con las descritas en el capítulo 2 para el esquema CC-I de forma que laeficiencia espectral es la dada en (3.14), la BER instantánea es constante e iguala BER T , la potencia media transmitida igual al valor nominal ¯S y la probabilidadde bloqueo coincide con (3.15).Cuando la estimación no es perfecta el MMSE χ>0, los valores de A(χ) yB(χ) ya no coinciden con Ψ 0 y K T respectivamente sino que ambos se modificanligeramente por el factor 1/(1 − χ) ≥ 1. Este factor hace que cuando χ aumenta


130 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAentonces tanto A como B aumentan, o expresado de otra forma⎧∂A⎪⎨ ∂χ =Ψ 10(1 − χ) 2 > 0(5.23)∂B ⎪⎩∂χ = K 1T(1 − χ) 2 > 0En este sentido, el parámetro A(χ) puede interpretarse como el efecto del MMSEsobre la SNR de corte y B(χ) como el efecto del MMSE sobre K T = − log(5BER T ).Por otra parte, cuando el retardo de adaptación no es despreciable τ D > 0, elparámetro λ(τ D ) ya no coincide con K T sino que se modifica ligeramente por elfactor J 2 0(2πτ D ). Puesto que J 2 0(2πτ D ) ∼ 1 − (2πτ D ) 2 /2 cuando τ D es pequeño, si τ Daumenta entonces λ disminuye, es decir que para los valores de interés de τ Dpuede asumirse que∂λ= −K T 4π 2 τ D < 0 (5.24)∂τ <strong>DE</strong>n este sentido λ(τ D ) lleva implícito el efecto del retardo de adaptación sobre laBER objetivo BER T .Una vez analizados los tres parámetros A(χ),B(χ) y λ(τ D ) pueden interpretarsemejor cada una de las fórmulas de la tabla 5.1.La eficiencia espectral sólo depende de A. La variación relativa o sensibilidadde ̂˜ν debida al parámetro A se puede calcular como∂̂˜ν∂A = − log 2 (e) · e−AA< 0 cuando A> 0 (5.25)por lo que considerando (5.23) inmediatamente se infiere que∂̂˜ν∂χ = ∂̂˜ν ∂A∂A ∂χ < 0 (5.26)Por lo tanto, la eficiencia espectral siempre disminuye con el aumento del MMSE.El efecto es equivalente a un aumento de la SNR de corte efectiva que hace queel esquema de transmisión sea más conservador de lo que debería. De hecho, laΨ 0 efectiva es precisamente A(χ).En el caso de la BER instantánea promedio, que depende de A(χ), B(χ) y λ(τ D ),la fórmula es algo más compleja y por tanto más difícil de interpretar. No hasido posible demostrar analíticamente que la BER media siempre crece cuandoaumenta el MMSE χ oelretardoτ D . No obstante, en la próxima sección los


ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ERRORES <strong>DE</strong> VARIACIÓN RÁPIDA 131resultados numéricos muestran que esto es cierto, al menos con los parámetrosdel canal y del sistema más habituales.La potencia transmitida a escala media depende de χ, a través de A(χ) yB(χ), y de la SNR media ˜γ. La expresión analítica está formada por dos factores.Por un lado la fracción 5B(χ)/(8˜γ) siempre aumenta cuando el MMSE empeora.Obsérvese el paralelismo entre el factor 5B(χ)/(8˜γ) yel5K T /(8˜γ) que aparece enla ley de adaptación de la potencia instantánea del esquema CC-I. Por otro ladoel factor exp(−A(χ))/A(χ) − E 1 (A(χ)) recoge el desajuste que produce la SNR decorte en la potencia transmitida que, a la vez, coincide con parte de la ecuaciónque determina Ψ 0 (véase el apéndice 3-B). De hecho cuando χ =0se cumple queeste factor vale 8˜γ/(5K T ) y la potencia a escala media es ̂˜S/¯S =1. Puesto que∂∂A{ } e−AA − E 1(A) = − e−A2< 0 cuando A> 0 (5.27)Aeste factor decrece cuando el MMSE aumenta, justo al contrario de lo que pasacon 5B(χ)/(8˜γ). En resumen, la potencia transmitida a escala media es el productode dos factores con tendencias contrapuestas cuando el MMSE aumenta.Uno tiende a reducir la BER objetivo efectiva (aumentar la K T efectiva) que comoconsecuencia aumenta la potencia instantánea según la ley de adaptaciónde potencia del esquema CC-I, yenúltima instancia la potencia media. El otrotiende a aumentar la SNR de corte efectiva que según la misma ley de adaptacióntiende a reducir la potencia media.La probabilidad de bloqueo sólo depende de A y además es inmediato comprobarque siempre crece con este parámetro. En concreto,{ } { }∂ Pr Bloqueo ̂ ∂ Pr Bloqueo ̂∂A=∂χ∂A ∂χ > 0 (5.28)de forma que la probabilidad de bloqueo siempre crece cuando el MMSE aumenta.De nuevo, la identificación de A(χ) con la SNR de corte efectiva encaja coneste resultado puesto que si aumenta χ entonces también lo hace A(χ). Una SNRde corte elevada aumenta la probabilidad de no transmitir.5.3.6 Resultados NuméricosEn el conjunto de figs. 5.4 se resume la evaluación numérica de las fórmulasde la tabla 5.1 en función del MMSE χ, para diversos valores del retardo de adaptaciónτ D y de la SNR media ˜γ. Se ha supuesto una BER objetivo BER T =10 −4 .


0/. ." , 7 8 05!)6'"# $ 34 +'! Ç ÄÅ ÄÄÈ ÄÂ Ç ÄÂ È Ä à Ä ŠÄÇÄA C<strong>DE</strong> GI K MN OPQ R TV X Z[ ]_ =>@÷÷õõòò÷÷õõòòrqp mutsrqp< 0/.,8"# $4: ;# 4' 934"# $! ÆÄA C<strong>DE</strong> GI K MN OPQ R TV X Z[ ]_ =>@ab÷÷õõòò¡÷÷õõòò132 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAà ÄÐ Ø Ù Û Ü Ý Þ ß à á Õã ä å ß æ ß æ âß ç è ê ì í î Ïâ ã ä å ß æ ß æ+¦ ¨ ¢£¥ ¦ ¨ ¢£¥Ï ß ç è ê ì í ï î ð ñù ú ü ý þ ÿfg hj klcde $, -È Ä É Ìn o~{Ï ß ç è ê ì í ò ô ï î ð ñ%)*#ï øö í ïÏ ß ç è ê ì í õ ô ï î ð ñ%&'yz{|}ï øö í ïï ø$vwÈ Ä ÉË"# !ö í ïö í ïï ø(a)(b)È Ä ÉÊÂ Ã Ä Â Å Æ Â Å Ä Â Ç Æ Â Ç Ä Â È Æ Â È Ä Â ÆÍ Í Ï Ð Ñ Ó Ô Õ ÖÂ Ã Ä Â Å Æ Â Å Ä Â Ç Æ Â Ç Ä Â È Æ Â È Ä Â ÆÍ Í Ï Ð Ñ Ó Ô Õ ÖÇ Äâ ã ä å ß æ ß æâ ã ä å ß æ ß æÃ1È Æö í ïabï øö í ï ÇÂ1 Ã(c)(d)ï øÈ ÄÂ Ã Ä Â Å Æ Â Å Ä Â Ç Æ Â Ç Ä Â È Æ Â È Ä Â ÆÍ Í Ï Ð Ñ Ó Ô Õ Öö í ïï øö í ïï ø Ã Ä Â Å Æ Â Å Ä Â Ç Æ Â Ç Ä Â È Æ Â È Ä Â ÆÍ Í Ï Ð Ñ Ó Ô Õ ÖÂFigura 5.4: Efecto de los errores de variación rápida sobre las prestacionesdel sistema AQAM en función del MMSE χ(dB), para diferentes estados del canalcon BER T = 10 −4 y T D = 5 · 10 −4 . También se muestran los resultadosde simulación para diferentes tamaños del filtro de estimación, concretamenteF =1, 2, 4, 8 y 16 coeficientes. (a) Variación relativa de la eficiencia espectralR ν ( %) = 100 × (̂˜ν − ˜ν)/˜ν. (b) BER instantánea promedio en función del retardo deadaptación normalizado τ D . (c) Variación relativa de la potencia media transmitidaR S (dB) =10· log 10 (̂˜S/¯S). (d) Variación relativa de la probabilidad de bloqueoR O ( %) = 100 × (Pr {̂γ


ANÁLISIS <strong>DE</strong> LOS ERRORES <strong>DE</strong> VARIACIÓN RÁPIDA 133nitudes relativas:⎧R ν ( %) = 100 × (̂˜ν − ˜ν)/˜ν⎪⎨R S (dB) = 10 · log 10 (̂˜S/¯S)⎪⎩R O ( %) = 100 × (Pr {̂γ


134 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMALa fórmula para la BER instantánea promedio se evalúa y se representa enla fig. 5.4-(b) con un valor de N p =32en la fórmula de Laguerre, siendo éstesuficiente para obtener una excelente precisión. El impacto de la estimación imperfectadel canal sobre este parámetro resulta particularmente importante y,para cuantificarlo, es interesante fijar un criterio de máxima degradación admisibleen la BER, por ejemplo que ̂˜BER 0 ≈ 2 × BER T . Cuando la calidad del canales baja, ˜γ(dB)= 5, la BER promedio se degrada con retardos de adaptación delorden τ D =2· 10 −2 y un MMSE de −17 dB. Cuando las condiciones del canal sonfavorables, ˜γ(dB)= 20, los límites de degradación anteriores se elevan hasta aproximadamentede τ D =10 −2 o valores del MMSE superiores a −25 dB. En definitiva,cuando el canal es favorable la BER instantánea se ve mucho más afectada porel efecto de la adaptación no ideal. En cuanto a los resultados de simulación,precisamente en el caso de canal desfavorable ˜γ(dB)= 5 es cuando se producela mayor mejora en la BER promedio ya que el ruido de la estimación de canales la principal fuente de error. Cuando la calidad del canal es alta, ˜γ(dB)= 20,lareducción del MMSE no puede evitar el impacto del retardo de adaptación que esla principal fuente de error. Esta observación introduce la necesidad de empleartécnicas de predicción de canal en sistemas AQAM en los que el retardo de adaptaciónno pueda reducirse por otras vías [Fal04]. En cualquier caso, excluyendoel efecto del retardo de adaptación, puede concluirse que se necesitan al menosF =16coeficientes para evitar la degradación de la BER en cualquier estado delcanal.En la fig. 5.4-(c) se puede comprobar el escaso impacto de la estimación imperfectade canal sobre la potencia transmitida a escala media. La razón deeste comportamiento, comentada con anterioridad, son los dos factores con tendenciascontrapuestas de la expresión analítica. Desde un punto cuantitativo sepuede afirmar que ambos factores tienden a compensarse aunque con ligera ventajadel que contiene el parámetro A(χ). En definitiva, con un filtro de estimaciónque tenga al menos un par de coeficientes, el efecto de la estimación imperfectade canal sobre la potencia media transmitida es prácticamente inapreciable.Finalmente, la probabilidad de bloqueo experimenta aumentos moderadoscuando el MMSE aumenta, como se observa en la fig. 5.4-(d). De acuerdo conla interpretación de la fórmula analítica, la SNR de corte efectiva aumenta afectandoespecialmente a la probabilidad de bloqueo cuando la SNR media es baja.


INCLUSIÓN <strong>DE</strong>L ERROR <strong>DE</strong> VARIACIÓN LENTA 1355.4 Inclusión del Error de Variación LentaA continuación, el análisis previo se extiende para incluir los errores de estimaciónde la variación lenta del canal. Siguiendo el mismo orden de la secciónanterior se obtendrán expresiones analíticas para incorporar el efecto de la estimaciónimperfecta de la SNR media, es decir cuando ̂˜γ ≠ ˜γ, a partir del modeloexpuesto en la sección 5.2.3.La estimación imperfecta de la SNR media puede expresarse en función de laVA gaussiana δ que representa el error de estimación en dB, tiene media ceroy desviación típica ∆, es decir ̂˜γ = ˜γ · e δ log 10/10 . Este error en la estimación tieneconsecuencias inmediatas en las leyes de adaptación constelación-potencia querequieren calcular la SNR de corte a partir de la SNR media. La SNR de corteresultante ya no se conoce de forma exacta, sino que viene dada por̂γ 0 (δ) =̂˜γ · Φ( K T̂˜γ )=˜γ · eδ log 10/10 · Φ( K T˜γ e−δ log 10/10 ) (5.30)Las fórmulas analíticas contenidas en la tabla 5.1 expresan la variación delas prestaciones del sistema AQAM a escala media. Uno de los parámetros quecontienen todas ellas es la SNR de corte que, a lo largo de su proceso de obtención,se suponía conocida y exacta. La SNR de corte se modifica a escala globalpuesto que los errores de variación lenta se enmarcan dentro de esta escala detiempo. Por lo tanto, para la obtención de las nuevas fórmulas basta con repetirel mismo proceso de la sección anterior pero usando ̂γ 0 (δ) en vez de γ 0 yposteriormente calcular la esperanza matemática respecto de la VA δ. En estesentido, las fórmulas que siguen recogen el impacto que, en promedio, tiene elerror asociado a la estimación de la ganancia de potencia media del canal sobrelas magnitudes que describen las prestaciones del sistema a escala media.5.4.1 Eficiencia EspectralLa inclusión de las variaciones lentas en el análisis de la eficiencia espectralsería ( )]̂γ̂˜ν =E[E log 2 u(̂γ − ̂γ 0 (δ)) = log ∫ ∞√2(e)E 1 (A ′ (y)) e −y2 dy (5.31)̂γ 0 (δ)π0


136 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAdonde se ha realizado el cambio de variable y = δ/( √ 2∆) yelparámetro A(χ) seha redefinido como√ √2∆ log 10 2∆ log 10A ′ (y, χ) = 11 − χ Φ(K T˜γ · e−y 10 )e y 10 (5.32)que podrá representarse simplemente como A ′ (y). Obsérvese comoA ′ (y, χ)| ∆=0 = A(χ) o de forma abreviada A ′ (y)| ∆=0 = A . Conviene resaltar que lasegunda operación de esperanza matemática en (5.31) es respecto a δ.La integración en y de (5.31) puede calcularse numéricamente mediante lafórmula en cuadratura de Gauss-Hermite [Dav84, pág.224]̂˜ν ≃log 2 (e)√ πM∑ pm=1H ym E 1 (A ′ (y m )) (5.33)con M p el orden del polinomio de Hermite H Mp (·), y m los ceros de H Mp (·) yH ym =2 Mp+1 M p ! √ π/[H Mp+1(y m )] 2 los pesos del polinomio de Hermite de orden M p .5.4.2 BER Instantánea PromedioAplicando el mismo procedimiento a la BER instantánea promedio se obtienê˜BER 0 =[ ( )]1E E5 exp γ τ−K T u(̂γ − ̂γ 0 (δ))̂γPr{̂γ ≥ ̂γ 0 (δ)}(5.34)= 15 √ π∫ ∞ ∫ ∞00x + A ′ (y)x − λ + A ′ (y)+Bx + A ′ (y)exp (−λx − λ + A ′ (y)+B )e−x e −y2 dxdycon B = B(χ) y λ = λ(τ D ) tal como se definieron en (5.19).De nuevo puede realizarse la siguiente aproximación numéricâ˜BER 0 ≃ 15 √ πM∑ pN∑ pm=1 n=1H ym L xnx n + A ′ (y m )x n − λ + A ′ (y m )+B exp(−λ x n + A ′ (y m )x n − λ + A ′ (y m )+B ) (5.35)combinando las fórmulas de Gauss-Hermite y Gauss-Laguerre para evaluar laintegral doble.


INCLUSIÓN <strong>DE</strong>L ERROR <strong>DE</strong> VARIACIÓN LENTA 1375.4.3 Potencia MediaLa nuevas expresiones para la potencia media son[ ̂˜S¯S =E 5KTE8= 5B8˜γ √ π∫ ∞o( 1̂γ 0 (δ) − 1̂γ)]· u(̂γ − ̂γ 0 (δ)) =( )e−A ′ (y)A ′ (y) − E 1(A ′ (y)) e −y2 dy ≃5B8˜γ √ πM∑ pm=1( e−A ′ (y m))H ymA ′ (y m ) − E 1(A ′ (y m ))(5.36)5.4.4 Probabilidad de BloqueoLa probabilidad de bloqueo con los errores de variación lenta queda expresadacomo{ }Pr Bloqueo ̂ =E[Pr{̂γ


138 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMATabla 5.2: Resultados analíticos incluyendo los errores de variación lenta.EFICIENCIA ESPECTRAL̂˜ν ≃log 2 (e)√ π∑M pm=1H ym E 1 (A ′ (y m ))BER INSTANTÁNEA PROMEDIÔ˜BER 0 ≃ 15 √ π∑M p∑N pm=1 n=1H ym L xnx n + A ′ (y m )x n − λ + A ′ (y m )+B exp(−λ x n + A ′ (y m )x n − λ + A ′ (y m )+B )POTENCIA TRANSMITID˜S¯S ≃5B8˜γ √ π∑M pm=1( e−A ′ (y m))H ymA ′ (y m ) − E 1(A ′ (y m )){ }PROBABILIDAD <strong>DE</strong> BLOQUEO Pr Bloqueo ̂ ≃ √ 1 ∑M pπm=1H ym (1 − e −A′ (y m) )√ √2∆ log 10 2∆ log 10A ′ (y) = 11 − χ Φ(K T˜γ · e−y 10 )e y 10 con y = δ/( √ 2∆)B(χ) =B(χ; K T )=K T1 − χ = K T1 − χ(˜γ; F, T D )λ(τ D )=λ(τ D ; K T )=K T J 2 0(2πτ D )K T < 8 para BER T ≥ 10 −4 . Por lo tanto en cuanto la SNR media ˜γ sea mayorde unos pocos dB el argumento x ≪ 1 e inmediatamente se infiere queA ′ (y) ≃ 1/(1 − χ)5/8 K T /˜γ ≃ A . Las consecuencias de esta segunda observaciónson claras. Dentro de los valores habituales de los distintos parámetros del canaly del sistema, es de esperar un escaso impacto de los errores de variaciónlenta, al menos cuando el canal tiene una calidad media o alta.


ÂÁÀ±¯² ®¯°¾ ÈÂÀµÊÆ°¯´»Çº½º ÄÅ ·¯µ±³´ ±¯² ®¯°ƒ‚‚‚ €Ã€‡‚€Ã€`‡ÙÞÝܨI Ù ×Ü Ûb s ab ^ € _ a‚‚݃ƒÙÞÝÝÜÜÛI × ÙÛ¡ Ÿ¤£Ÿ¢¡ ÂÁÀÎ ¾Êµ ·ÅÌÍ Åº Ë Ä°Åµ ·¯±³´ ±¯²ˆ‚Š‹ˆ„‡‚ˆ‚„ $ % Ï ÐÑÒÔÕÔÕ' ( * + - / 1 2 3 5 6 8 : < 1 2' ( * + - / 1 2 3 5 6 8 : < 1 >"Ô “ šÝ‡ÝÜÜŸ¯µµI Ù Û ×ÛŽ × Ù‡ÙÞÝÜÜI × ÙŽ Ù ×Û‡INCLUSIÓN <strong>DE</strong>L ERROR <strong>DE</strong> VARIACIÓN LENTA 139ˆ‚ŠŽJ K L M O Q S·¾ ¿œ žTU½°¯‡‚× Ù ÖÛ( * + - / 1 @ B C 2 E G 3 5 6 8 : < 1 2'( * + - / 1 @ B C 2 E G 3 5 6 8 : < 1 >'¸»¼²ˆ‚ÙÞ¬­©Û Ù·¯ ¸¹±²ºµ€ˆ‚Ï ÐÑÒÔÕÔÕÙÞ¥¦ ÙÞ ˆ‚Š^_§¨©ª«V W Y Z [ ]€‡‚¢ ¤ ¦ © ûý þÿ ûý ú ÷øù±³´€ƒ‚‘Ô ˜š –˜š ›× Û Ö × ÙÙÞ Ý(a)‚ €ƒ„ €ƒ‚ €‡„ €‡‚ €ˆ„ €ˆ‚ €„ ‘“ ” –˜š › €(b)‚ €ƒ„ €ƒ‚ €‡„ €‡‚ €ˆ„ €ˆ‚ €„ ‘“ ” –˜š › € â ãäå æ çé ëì íçé ïñ ò ó ô õ ö á Û ›× –˜š Ü ˜š ‘Ôá â‘ ’ “ ” • — ˜ š • — œ ž¡ ¢Ï ÐÑÒÔÕÔÕ¤ ¥ ¦ § ¨ © ª « § ¨ ¬ ­ ® ° ± ² £³ ´ · ¸ Û ›× –˜š ˜š ‘Ô³ ´ ¸ · Û ›× –˜š Ü ˜š ‘Ôd f g i k l m n i k o q r t u v c(c)(d)Ï ÐÑÒÔÕÔÕw x y z W Y | } V W Y Z [ ] „ … † Û ›× –˜š ˜š ‘Ô „ † … Û ›× –˜š Ü ˜š ‘Ô‡ ˆ ‰ Š ˆ ‰ÙÞˆ ‹ Š ˆ ‹ˆ Œ Šˆ Œˆ Š‚ €ƒ„ €ƒ‚ €‡„ €‡‚ €ˆ„ €ˆ‚ €„ ‘“ ” –˜š › €®¯°€ ‚ ‘“ ” –˜š ›Figura 5.5: Efecto de la inclusión de los errores de variación lenta sobre las prestacionesdel sistema AQAM en función del MMSE χ(dB) y ∆(dB), para diferentesestados del canal con BER T =10 −4 y T D =5· 10 −4 . También se muestran losresultados de simulación para diferentes tamaños del filtro de estimación, concretamenteF =1, 2, 4, 8 y 16 coeficientes. (a) Variación relativa de la eficiencia espectralR ν ( %) = 100 × (̂˜ν − ˜ν)/˜ν. (b) BER instantánea promedio en función del retardode adaptación normalizado τ D y ∆(dB). (c) Variación relativa de la potencia mediatransmitida R S (dB) =10· log 10 (̂˜S/¯S). (d) Variación relativa de la probabilidadde bloqueo R O ( %) = 100 × (Pr {̂γ


140 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAy la SNR media ˜γ. De nuevo se asume una BER objetivo BER T =10 −4 ysehansuperpuesto los resultados de simulaciones realizadas mediante la extensión delmétodo semianalítico de la sección 5.3.6 .La variación que, en promedio, exhiben las diferentes magnitudes que describenlas prestaciones del sistema viene a ratificar lo interpretado a partir de lasfórmulas analíticas. En primer lugar, ninguna de ellas presenta variaciones adicionalesa las producidas por los errores de variación rápida cuando el canal esfavorable (˜γ(dB) =20). Es más, cuando la calidad del canal es baja (˜γ(dB) =5), nila BER media ni la probabilidad de bloqueo presentan ninguna variación debidaa los errores de variación lenta. Puede afirmarse que estas dos magnitudes nosufren ningún impacto adicional por la presencia de esta fuente de error. Finalmente,tanto la eficiencia espectral como la potencia media pueden experimentanvariaciones moderadas cuando el canal es desfavorable.


÷ îôÇCONCLUSIONES 1415.5 ConclusionesLas conclusiones más importantes de este capítulo se enumeran a continuación:a) Se ha analizado el impacto de la adaptación no ideal en las prestacionesde los sistemas AQAM, particularizado al caso de desvanecimiento Rayleighy esquema CC-I. Se ha considerado tanto el error en la estimación de lasvariaciones lentas como el de las rápidas. En este último caso se incluyerondos fuentes de error: ruido de estimación y retardo de adaptación. Elanálisis se ha realizado en dos pasos, primero se han considerado sólo loserrores de variación rápida y luego se han incluido los errores de variaciónlenta.b) Se han obtenido expresiones analíticas que evalúan la degradación de lasprestaciones del sistema: eficiencia espectral, BER instantánea, potenciatransmitida y probabilidad de bloqueo.c) Una valoración de los resultados numéricos y simulaciones aparece en lafig. 5.6. Los errores de variación rápida tienen, en términos generales, unfuerte impacto en la degradación de la BER mientras que su influencia en elº » ½ ¾ » À ¹» Â Ä Ä Ä Å Ä ÁÄ » À ¾ È É Ê Å ½ » Àá Ø ËÌ Í Î Ï Ð ÑÒ Ð Î Ó Í Î Ô ÕÖ ×Ëòóíîïðîñðõö ðÙ Í ÕÚ Î Ô ÕÖ ×Ð Ì ÜÎ Ý Î × Î × Ô ÕÎØ× Ù Í Î × Í à × Ì Î ßãÕÔ ÕÌ × Ô ÕÎØ Ù Ó Ì Ô Í Ï Î ÜØòóÑ Í Ì × Ô ÕÎå Ï Î × Ù Ú ÕÍ ÕÐ ÎäøùóúîÙ Í ÕÚ Î Ô ÕÖ ×Ð Ì ÜÎ Ý Î × Î × Ô ÕÎØÌ Ð ÕÎ ÞíîïðîñðÏ Ñ æ Î æ ÕÜÕÐ Î ÐÐ Ì á ÜÑ é ê Ì Ñäº » Ä ¾ » ¹Å Á » Ä È Á Å ëFigura 5.6: Resumen del efecto de la señalización no ideal en las prestaciones delos sistemas AQAM.


142 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAresto de las prestaciones es más moderada. Los errores de variación lentaapenas alteran en promedio ni la BER ni probabilidad de bloqueo, y suimpacto es sólo apreciable de forma moderada en la eficiencia espectral y lapotencia media transmitida.d) El análisis realizado permite extraer conclusiones interesantes acerca delos requisitos del filtro asociado al subsistema de estimación. Además,permite apuntar hacia posibles mejoras como la posibilidad de usartécnicas de predicción en los casos en que el retardo de adaptación seaparticularmente elevado.


APÉNDICES 1435.6 Apéndices5-A Obtención de la PDF Condicional de la Estimación de la SNRInstantáneaPara obtener la PDF p̂γ/γ (̂γ/γ) se toma como punto de partida los resultadosde [Tan99]. La estimación de la SNR instantánea ̂γ se puede expresar comôγ = ¯S ̂α 2σ 2 n= ̂α2ΩΓ= ̂α2˙Ω Υ ˜γ(5-A-1)con ˙Ω =E[̂α 2 ] y Υ= ˙Ω/Ω. Como E[̂γ] =Υ˜γ, elparámetro Υ representa el errorrelativo de la media de la estimación. La amplitud α y su estimación ̂α tienenuna PDF conjunta de tipo Rayleigh bidimensionalp α,̂α (α, ̂α) =4α̂α(1 − ξ)Ω ˙Ω I 2 √ ξα̂α0( √(1 − ξ) Ω ˙Ω) · exp (− 11 − ξ (α2 Ω + ̂α2˙Ω ))(5-A-2)dondecov(α 2 , ̂α 2 )ξ = √ ∈ [0, 1)var(α2 )var(̂α 2 ) (5-A-3)es el coeficiente de correlación entre α 2 y ̂α 2 . Es inmediato demostrar que ξ estambién el coeficiente de correlación entre γ y su estimación ̂γ. Para obtener laPDF p̂γ/γ (̂γ/γ) téngase en cuenta que por un lado γ = α2̂α2Γ y por otro ̂γ =Ω ˙Ω Υ ˜γpor lo quep̂γ/γ (̂γ/γ) = p γ,̂γ(γ,̂γ)p γ (γ)=1(1 − ξ)˜γΥ I 0( 2√ ξΥγ̂γ ξΥγ + ̂γ) · exp (−(1 − ξ)˜γΥ (1 − ξ)˜γΥ ) (5-A-4)Esta PDF es del tipo chi-cuadrado no centrada con dos grados delibertad [Pro95].Siguiendo un procedimiento similar al de [Tan99] se llega a que ambosparámetros ξ y Υ contenidos en (5-A-4) se pueden expresar en función de: elnúmero de taps del filtro de estimación F , la SNR media ˜γ y el intervalo de tramanormalizado T D = f D · D · T SΥ=HRH ′ + HH′˜γ , ξ = (Hr′ ) 2(5-A-5)Υdonde R es la matriz F × F de covarianza normalizada dada por(R ij )=J 0 (2πT D ·|i − j|), r es el vector fila F -dimensional de covarianza normalizadacon (r i )=J 0 (2πT D · (i − 1)) y H es el vector fila F -dimensional de coeficientesdel filtro tal que (H i )=h i−1 .


144 EFECTO <strong>DE</strong> LA ADAPTACIÓN IMPERFECTA EN LAS PRESTACIONES <strong>DE</strong>L SISTEMAEl error cuadrático medio (Mean Square Error, MSE) se define comoχ . = E[|ĉ k − c k | 2 ]E[c k c ∗ k ](5-A-6)y puede ser expresado en función de ξ y Υ. En efecto, expandiendo (5-A-6) yconsiderando (5-A-5) se llega aχ =1+Υ− 2 Ω E[Re{ĉ kc ∗ k}] =1+Υ− 2Hr ′ =1+Υ− 2 √ ξΥ(5-A-7)Suponiendo que los coeficientes del filtro H se eligen para minimizarel MSE, se llega a la solución optima H opt resolviendo las ecuaciones deWiener-Hopt [Pro95]H ′ opt =(R + 1˜γ I)−1 · r ′(5-A-8)con I la matriz identidad F × F . Substituyendo (5-A-8) en (5-A-5) y (5-A-7), sellega a las siguientes relacionesξ =Υ=r(R + 1˜γ I)−1 r ′ , χ =1− ξ =1− r(R + 1˜γ I)−1 r ′ (5-A-9)En definitiva, bajo el criterio MMSE (Minimum MSE), la PDF dada en (5-A-4)puede reescribirse comop̂γ/γ (̂γ/γ) =1χ(1 − χ)˜γ I 0( 2√ γ̂γχ˜γ) · exp (−(1 − χ)2 γ + ̂γχ(1 − χ)˜γ ) (5-A-10)


Capítulo6Conclusiones y Líneas Futuras deInvestigación6.1 Conclusiones GeneralesEn esta tesis se han analizado aspectos avanzados relativos a los sistemasde modulación adaptativa para comunicaciones móviles en canales planos. Lasaportaciones y conclusiones más importantes se enumeran a continuación:a) Se ha propuesto una formulación basada en tres escalas de tiempo (invarianza,media y global) que simplifica la descripción y el análisis del sistema.b) Se ha realizado un estudio detallado de las leyes de adaptación óptimas delos esquemas de variación continua CC-I y CC-A propuestas por Goldsmithet al. Para el esquema CC-A se han deducido nuevas expresiones analíticascerradas que se aproximan a las leyes exactas. Para ambos esquemasse han desarrollado expresiones y procedimientos numéricos que permitencalcular la SNR de corte, resultando ser prácticamente iguales. Las prestacionesde los dos esquemas se han evaluado mediante la eficiencia espectraly la probabilidad de bloqueo, y, coincidiendo con los resultados deGoldsmith et al., se ha verificado que no existen diferencias apreciables enlas prestaciones de los esquemas CC-I y CC-A .145


146 CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS <strong>DE</strong> INVESTIGACIÓNc) La implementación de la modulación adaptativa en un escenario real requierealgún tipo de discretización en las leyes de adaptación y potenciaempleadas. En esta tesis se han propuesto dos tipos de esquemas de modulaciónadaptativa completamente discretos DD-I-L y DD-A-L basadosen constelaciones BPSK o QAM cuadradas que emplean un número L deposibles niveles de potencia por constelación.d) Tras optimizar sus leyes de adaptación constelación-potencia, los esquemasDD-I-L y DD-A-L permiten aproximar la eficiencia espectral a la delos esquemas de variación continua CC-I y CC-A con un número reducidode constelaciones y niveles de potencia por constelación L. Para las especificacionesde un probable entorno de comunicaciones móviles de bandaancha, la información de señalización asociada con estos valores de L alcanzacifras razonables del orden del 2 % ó 3 % de la velocidad binaria delsistema.e) Se ha analizado el impacto de la adaptación imperfecta en las prestacionesde los sistemas AQAM, particularizado al caso de desvanecimiento Rayleighy esquema CC-I. Se ha considerado tanto el error en la estimaciónde las variaciones lentas como el de las rápidas. En este último caso sehan incluido dos fuentes de error diferentes: ruido de estimación y retardode adaptación. Finalmente, se han obtenido expresiones analíticas queevalúan la degradación de las prestaciones del sistema: eficiencia espectral,BER instantánea, potencia transmitida y probabilidad de bloqueo.f) El estudio analítico realizado sobre la adaptación imperfecta en el sistemade modulación adaptativa ha permitido extraer las siguientes conclusiones.Los errores de variación rápida tienen, en términos generales, un fuerteimpacto en la degradación de la BER mientras que su influencia en el restode las prestaciones es más moderada. Los errores de variación lenta apenasalteran en promedio ni la BER ni probabilidad de bloqueo, y su impacto essólo apreciable de forma moderada en la eficiencia espectral y la potenciamedia transmitida.


LÍNEAS FUTURAS <strong>DE</strong> INVESTIGACIÓN 1476.2 Líneas Futuras de InvestigaciónSe pueden enumerar varios aspectos en los que se podría ampliar el trabajorealizado en esta tesis:a) Estudiar sistemas de modulación adaptativa que consideren otros objetivos.A lo largo de esta tesis el único objetivo de los esquemas AQAM ha sidomaximizar la eficiencia espectral. Sin embargo, los requisitos de calidadde determinados servicios (voz, video, etc.) imponen, por ejemplo, ciertasrestricciones sobre el retardo de la información transmitida [Raz02]. Debidoa la importancia de la calidad de servicio en las redes inalámbricas actuales,esta línea de trabajo resulta particularmente interesante.b) Completar el análisis del efecto de la adaptación imperfecta. Los resultadosanalíticos obtenidos en esta tesis están sujetos a una serie de aproximacionesy particularizaciones. En primer lugar, sería especialmente interesantela extensión de dicho análisis a los esquemas discretos. En segundo lugar,se podría analizar el error introducido cuando se usa predicción de canalpara compensar el retardo de adaptación [She01], [Fal04].c) Incorporación de codificación de canal. La utilización de codificación de canalen combinación con la modulación adaptativa parece casi segura en losfuturos sistemas de comunicaciones móviles [Cla02]. Las diferentes técnicasde codificación de canal (convolucionales, turbocódigos, etc...) junto conun cierto nivel de entrelazado permiten reducir drásticamente los erroresde transmisión. Aunque existen numerosas propuestas para combinar modulaciónadaptativa y codificación de canal, desde [Gol98] hasta [Hol00] y[Cla02], se podría estudiar cuál es la técnica de codificación más apropiadapara los esquemas de modulación completamente discretos como losDD-I-L y DD-A-L.d) Extensión a canales selectivos en frecuencia. Los esquemas de modulaciónadaptativa discreta propuestos son fácilmente aplicables en canalescon desvanecimientos selectivos en frecuencia. Los sistemas de modulaciónadaptativa con OFDM (AOFDM), como los abordados en [Agu98], podríanincorporar de forma inmediata un esquema DD-I-L o DD-A-L. Además, estomismo podría afirmarse de los sistemas monoportadora con ecualizaciónDFE o Tomlinson-Harashima [Won00], [Par01a]. Por otra parte, la extensióndel análisis sobre el efecto de la adaptación imperfecta resulta en principiomenos directa y podría abrir una interesante línea de investigación.


148 CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS <strong>DE</strong> INVESTIGACIÓNe) Integrar la modulación adaptativa con el acceso al medio compartido. En lasredes de comunicaciones inalámbricas el canal radio es utilizado de formasimultánea por un cierto número de usuarios. El trabajo de esta tesis podríaextenderse para integrar los esquemas de modulación adaptativa propuestoscon técnicas de compartición del medio como CDMA [Lau99], [Jaf03].En este sentido, en [Xia99] se propone una línea de trabajo especialmenteatractiva que consiste en diseñar algoritmos de modulación adaptativaorientados por la red. La incorporación de los esquemas de adaptación discretosa este tipo de algoritmos resultaría de gran interés práctico para lasfuturas redes de comunicaciones inalámbricas.


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