Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

Observación 5.1 En algunos contextos puede utilizarse algún tipo de notación como J(f1,f2,...,fm)∂(x 1,x 2,...,x n)para la matrizjacobiana anterior, así queda claro cuáles son las funciones que se derivan y cuáles son las variables respecto de lasque se deriva.Mediante la matriz jacobiana podemos obtener la imagen de cualquier vector v =(v 1 , ..., v n ) ∈ R n atravésdelaaplicación lineal df (x 0 ) mediante la fórmula ya conocida para aplicaciones linealesdf (x 0 )(v) =Jf(x 0 ) · vdonde estamos poniendo el vector v en columna.A partir de esta fórmula obtenemos ésta otra ya conocidadf (x 0 )(v 1 , ..., v n )= ∂f∂x 1(x 0 ) · v 1 + ···+ ∂f∂x n(x 0 ) · v nAdemás cuando la función f es real (f : R n → R) la matriz jacobiana suele ponerse en forma de vector (fila o columna)yseledenominatambiénvector gradiente de f en x 0 , denotándolo también así .5f(x 0 )=( ∂f (x 0 ), ···, ∂f (x 0 ))∂x 1 ∂x nEjemplo 5.2 Hallar la matriz jacobiana de la funciónf : R 3 → R 2dada porf(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(sinx 1 cos x 2 sin x 3 , sin x 1 cos x 2 cos x 3 ) en el punto ( π 2 , π 3 , π 4 )Ésta esEn primer lugar tenemos queJf( π 2 , π 3 , π 4 )= ⎛⎜⎝∂f 1∂x 1( π 2 , π 3 , π 4 ) ∂f 1∂x 2( π 2 , π 3 , π 4 ) ∂f 1∂x 3( π 2 , π 3 , π 4 )⎞⎟⎠∂f 2∂x 1( π 2 , π 3 , π 4 ) ∂f 2∂x 2( π 2 , π 3 , π 4 ) ∂f 2∂x 3( π 2 , π 3 , π 4 )f 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 )=sinx 1 cos x 2 sin x 3 f 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 )=sinx 1 cos x 2 cos x 3∂f 1∂x 1=cosx 1 cos x 2 sin x 3∂f 1∂x 2= − sin x 1 sin x 2 sin x 3∂f 1∂x 3=sinx 1 cos x 2 cos x 3donde∂f 2∂x 1=cosx 1 cos x 2 cos x 3∂f 2∂x 2= − sin x 1 sin x 2 cos x 3∂f 2∂x 3= − cos x 1 cos x 2 sin x 3⎞Así la matriz jacobiana esJf( π 2 , π 3 , π 4 )= ⎛⎜⎝0 − √ 64√640 − √ 64− √ 64Ejemplo 5.3 Hallar la matriz jacobiana en el punto (0, −1) de la funciónf : R 2 → R 4 dada por f(x, y) =(x 2 − y, 0, sin[xy],e 2y )⎛∂f 1∂x (0, −1) ⎞∂f 1∂y(0, −1)∂f 2∂x (0, −1) ∂f 2∂y(0, −1)Ésta es Jf(0, −1) =donde∂f 3∂x⎜(0, −1) ∂f 3∂y(0, −1)⎟⎝⎠∂f 4∂x (0, −1) ∂f 4∂y (0, −1)f 1 (x, y) =x 2 − y f 2 (x, y) =0 f 3 (x, y) =sin(xy) f 4 (x, y) =e 2y⎟⎠14