Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

y con la derivada con respecto a y así: definiendog 2 (t) =f[x 0 + t(0, 1)] = f[(−2, 3) + t(0, 1)] = f(−2, 3+t) =−2 − (3 + t)(−2) 2 +1 = −t − 55y hallando g 0 2 (0). Como g 0 2(t) =− 1 5concluimos que∂f∂y (−2, 3) = D (0,1)f(−2, 3) = g 0 (0) = − 1 5Habitualmente, calcular las derivadas parciales es más sencillo del siguiente modo:La derivada parcial de f con respecto a la variable x i en el punto x 0 =(a 1 , ..., a n ) puede hallarsecalculando la derivada de la función de una variableF i (x i )=f(x 1 , ..., x n ),en la que dejamos fijas las variables distintas de x i , en el punto x 0 (o, de modo equivalente, tomando la función deuna variableG i (x i )=f(a 1 , ..., a i−1 ,x i ,a i+1 , ..., a n ),en la que hemos sustituido las variables x j ,paraj 6= i, por los correspondientes a j , y derivando en el punto a i ).Ejemplo 1.10 Hallemos las derivadas parciales de la funciónf(x, y) = 2x−yx+3en el punto x 0 =(−1, 0)∂f2(x +3)− 1(2x − y)(x, y) =∂x (x +3) 2 = 6+y(x +3) 2∂f−(x +3)− 0(2x − y)(x, y) =∂y (x +3) 2 = −x − 3(x +3) 2 = − 1x +3por tanto∂f∂x (−1, 0) = 6 4 = 3 2Otra forma de hallar estas derivadas parciales sería la siguiente:Si utilizamos la funcióng(x) =f(x, 0) =2xx +3∂f∂y (−1, 0) = − 1 2se obtendría que g 0 (x) =6(x +3) 2∂fyportantoque∂x (−1, 0) = g0 (−1) = 3 2A partir de la función h(y) =f(−1,y)= 2 − y se tiene que h 0 (y) =− 1 22∂fyentonces∂y (−1, 0) = h0 (0) = − 1 2Nota: Por supuesto que también pueden calcularse estas derivadas parciales como derivadas direccionales, de losdos modos comentados hasta el momento.Ejemplo 1.11 Hallemos las derivadas parciales de la funciónf(x, y, z) =e 2x+3y cos z en cualquier punto (x, y, z)∂f∂x =2e2x+3y cos z∂f∂y =3e2x+3y cos z∂f∂z = −e2x+3y sin z)4