Tema 11: CÃ¡lculo diferencial de funciones de varias variables I

More documents

Recommendations

Info

6 El Teorema de la función compuesta (la Regla de la cadena)
∂(g ◦ f)(x, y) = ∂g (f(x, y)) · ∂f 1 ∂g(x, y)+ (f(x, y)) · ∂f 2 ∂g(x, y)+ (f(x, y)) · ∂f 3(x, y)∂y∂u 1 ∂y ∂u 2 ∂y ∂u 3 ∂yEjemplo 6.3 Consideremos funciones R 3 f → R 2 g → R definidas porf(x, y, z) =(x 2 z − 3cosy, 3 − zy)g(u, v) =ue −5vHallemos las derivadas parciales de la función compuesta g ◦ f.Como las funciones coordenadas de f sonf 1 (x, y, z) =x 2 z − 3cosy f 2 (x, y, z) =3− zy es deciru = x 2 z − 3cosy v =3− zy obtenemos que∂(g ◦ f)(x, y, z) = ∂g∂x∂u (f(x, y, z)) · ∂f 1 ∂g(x, y, z)+∂x ∂v (f(x, y, z)) · ∂f 2(x, y, z)∂x ycomo∂g∂u(u, v) =e−5v∂gTambién tenemos que∂v (u, v) =−5ue−5v ∂f 1∂x (x, y, z) =2xz ∂f 2∂x(x, y, z) =0∂g∂u(f(x, y, z)) = e−5(3−zy)∂gycomoFinalmente obtenemos que∂v (f(x, y, z)) = −5(x2 z − 3cosy)e −5(3−zy)∂(g ◦ f)con lo que(x, y, z) =∂x= e −5(3−zy) · 2xz − 5(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy) · 0=2xze −5(3−zy)se tiene que∂(g ◦ f)(x, y, z) = ∂g∂y∂u (f(x, y, z)) · ∂f 1(x, y, z)+∂g∂y ∂v (f(x, y, z)) · ∂f 2(x, y, z)∂y∂f 1∂y (x, y, z) =3siny ∂f 2∂y(x, y, z) =−zse tiene que∂(g ◦ f)(x, y, z) =e −5(3−zy) · 3siny − 5(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy) · (−z) =∂y=3sinye −5(3−zy) +5z(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)∂(g ◦ f)(x, y, z) = ∂g∂z∂u (f(x, y, z)) · ∂f 1 ∂g(x, y, z)+∂z ∂v (f(x, y, z)) · ∂f 2(x, y, z)∂zycomo∂f 1∂z(x, y, z) =x2∂f2∂z(x, y, z) =−yse tiene que∂(g ◦ f)(x, y, z) =e −5(3−zy) · x 2 − 5(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy) · (−y) =∂z= x 2 e −5(3−zy) +5y(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)Si preferimos utilizar las matrices jacobianas (ES MUY RECOMENDABLE) tengamos en cuenta que³ ´Jg(f(x, y, z)) = ∂g∂g∂u(f(x, y, z))∂v (f(x, y, z)) =³´= e −5(3−zy) −5(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)yque Jf(x, y, z) =Ã ∂f1∂x (x, y, z) ∂f 1∂y (x, y, z) ! Ã∂f 1∂z(x, y, z)∂f 2∂x (x, y, z) ∂f 2∂y (x, y, z) ∂f 2∂z (x, y, z) =172xz 3siny x 20 −z −y!
Page 1 and 2: Tema 11: Cálculo diferencial de fu
Page 3 and 4: Sea f : R n → R x 0 =(a 1 , ...,
Page 5 and 6: Ejemplo 1.12 Las derivadas parciale
Page 7 and 8: Enestepuntolacoordenadaz vale − 4
Page 9 and 10: 4 DiferenciabilidadEn el Tema 6 vim
Page 11 and 12: Ejemplo 4.3 Hallemos la diferencial
Page 13 and 14: f(0, 0) = g(0, 0) = h(0, 0) = 0En c
Page 15: Entonces tenemos que∂f 1∂x =2x
Page 19 and 20: =(−π, 0) · 1+( π , 0) · (−2
Page 21 and 22: que depende de las variables x e y.

Tema 11: CÃ¡lculo diferencial de funciones de varias variables I

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?