Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

Por ejemplo, para una función de dos variables las derivadas parciales segundas serían∂ 2 f∂x 2∂ 2 f∂x∂y∂ 2 f∂y∂x∂ 2 f∂y 2y las terceras∂ 3 f∂x 3∂ 3 f∂x 2 ∂y∂ 3 f∂x∂y∂x∂ 3 f∂x∂y 2∂ 3 f∂y∂x 2∂ 3 f∂y∂x∂y∂ 3 f∂y 2 ∂x∂ 3 f∂y 3Si f es una función para la que existen todas las derivadas parciales de orden k ysoncontinuasenunabiertoΩdiremos que es de clase C k (Ω, R) o simplemente de clase C k en Ω (diremos que f es de clase C ∞ cuando existanlas derivadas parciales de todo orden y sean continuas, y de clase C 0 cuando la función sea continua). De hecho, lasfunciones usuales y las operaciones que habitualmente realizamos con ellas son funciones de clase C ∞ en todo puntodel interior del dominio. Por ejemplo, así ocurre con la funciónf(x, y) =x 2 e y+x − sin[log( y x )]en todo punto en que x 6= 0e y x > 0.Surge ahora la cuestión de si se cumplirá la igualdad de las derivadas cruzadas∂ 2 f∂x i ∂x j=∂2 f∂x j ∂x iEsto no es cierto siempre. Pero basta con que la función sea de clase C 2 para poder asegurar esto.Ejemplo 3.1 Para la funciónf(x, y) =xe x+2yhallemos las derivadas de primer, segundo y tercer orden. Las de primer orden sonf x = e x+2y + xe x+2y =(1+x)e x+2yf y =2xe x+2ylas de segundo orden sonf xx = e x+2y +(1+x)e x+2y =(2+x)e x+2y f xy = f yx =2(1+x)e x+2y f yy =4xe x+2yy las de tercer orden sonf xxx =(3+x)e x+2y f xxy = f xyx = f yxx =2(2+x)e x+2y f xyy = f yxy = f yyx =4(1+x)e x+2y f yyy =8xe x+2yNota: Observemos que hemos utilizado que f es C ∞ para justificar las igualdadesf xy = f yx ,f xxy = f xyx = f yxx ,f xyy = f yxy = f yyxEjemplo 3.2 Para la funciónf(x, y, z) =xy cos(2x − 3z) − sin(y 2 + x 2 )hallemos las derivadas de primer y segundo orden. Las de primer orden sonf x = y cos(2x − 3z) − 2xy sin(2x − 3z) − 2x cos(y 2 + x 2 )f y = x cos(2x − 3z) − 2y cos(y 2 + x 2 ) f z =3xy sin(2x − 3z)Las de segundo orden sonf xx = −4y sin(2x − 3z) − 4xy cos(2x − 3y) − 2cos(y 2 + x 2 )+4x 2 sin(y 2 + x 2 )f xy = f yx =cos(2x − 3z) − 2x sin(2x − 3z)+4xy sin(y 2 + x 2 ) f xz = f zx =3y sin(2x − 3z)+6xy cos(2x − 3z)f yy = −2cos(y 2 + x 2 )+4y 2 sin(y 2 + x 2 ) f yz = f zy =3x sin(2x − 3z) f zz = −9xy cos(2x − 3z)8