Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

³ ´yportanto∂(g◦f)∂x (x, y, z) ∂(g◦f)∂(g◦f)∂y(x, y, z)∂z(x, y, z) = J(g ◦ f)(x, y, z) =Jg(f(x, y, z)) · Jf(x, y, z)Ã!³´= e −5(3−zy) −5(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy) 2xz 3siny x 2·=0 −z −y³´= 2xze −5(3−zy) 3sinye −5(3−zy) +5z(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy) x 2 e −5(3−zy) +5y(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)También se puede utilizar el cálculo directo realizando antes la composición:Como R 3 f → R 2 g → R se tiene que g ◦ f : R 3 → R está definida porg ◦ f(x, y, z) =g(f(x, y, z)) = g(x 2 z − 3cosy, 3 − zy) =(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)Y entonces las derivadas de esta función son:Ejemplo 6.4∂(g ◦ f)(x, y, z)∂x= 2xze −5(3−zy)∂(g ◦ f)(x, y, z)∂y= 3sinye −5(3−zy) +5z(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)∂(g ◦ f)(x, y, z)∂z= x 2 e −5(3−zy) +5y(x 2 z − 3cosy)e −5(3−zy)Dadas funciones R 2 f → R 3 g → R 2 con g(u, v, w) =(wu 2 e v ,vcos w)ydadoQ ∈ R 2 tal que f(Q) =(−1, 0, π 2 ) ydemodoquehallemos las derivadas parciales de la composición g ◦ f en el punto Q.Si utilizamos las matrices jacobianas∂f∂f∂x(Q) =(1, −2, 0)∂y(Q) =(2, −3, 1)como∂g∂u =(2wuev , 0)∂g∂v =(wu2 e v , cos w)∂g∂w =(u2 e v , −v sin w)yluego³∂(g◦f)∂f 1∂x (Q) =1 ∂f 2∂x (Q) =−2 ∂f 3∂x (Q) =0 ∂f 1∂y (Q) =2 ∂f 2∂y (Q) =−3 ∂f 3∂y(Q) =1 se tiene pues queÃ!³ ´Jg(u, v, w) = ∂g∂g∂g∂u(u, v, w)∂v(u, v, w)∂w (u, v, w) 2wue v wu 2 e v u 2 e v=0 cosw −v sin w∂x (Q) ∂(g◦f)∂yÃ!Jg(f(Q)) = Jg(−1, 0, π π2 )= −π210 0 0⎛⎞∂f 1∂x (Q) ∂f 1∂y (Q)⎛ ⎞1 2yque Jf(Q) =∂f 2∂x⎜(Q) ∂f 2∂y (Q)⎜ ⎟= ⎝ −2 −3 ⎠⎟ 0 1⎝⎠∂f 3∂x (Q) ∂f 3∂y (Q)⎛Ã!´π−π(Q) = J(g ◦ f)(Q) =Jg(f(Q)) · Jf(Q) =21 ⎜· ⎝0 0 0con lo que obtenemos que ∂(g◦f)∂x(Q) es la primera columna y ∂(g◦f)∂y(Q) la segunda.Si utilizamos las derivadas parciales directamente tenemos queyportanto1 2−2 −30 1⎞⎟⎠ =∂(g ◦ f)(Q) = ∂g∂x ∂u (f(Q)) · ∂f 1 ∂g(Q)+∂x ∂v (f(Q)) · ∂f 2 ∂g(Q)+∂x ∂w (f(Q)) · ∂f 3∂x (Q) =18Ã−2π − 7π 20 0!