Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

Si aparece alguna derivada parcial de orden superior se vuelve a aplicar reiteradamente la fórmula anterior.Veamos en primer lugar algunos cambios de coordenadas usualmente empleados. Comenzaremos por el cambio apolares que ya conocemos:Ejemplo 7.1 1. (Coordenadas polares en R 2 )2. (Coordenadas cilíndricas en R 3 )3. (Coordenadas esféricas en R 3 )x = ρ cos θy = ρ sin θx = ρ cos θy = ρ sin θz = zx = ρ cos θ sin φy = ρ sin θ sin φz = ρ cos φObservación 7.2 En el apéndice figuran los detalles de las derivadas parciales y los jacobianos de estos cambios y decómo emplearlos para relacionar las derivadas parciales de una función g de 2 ó 3 variables (2 para polares y 3 paracilíndricas y esféricas).Ejemplo 7.3 Supongamos que tenemos una funcióng : R 2 → Rque depende de las variables x e y. Mediante el cambio a coordenadas polares x = ρ cos θ,y = ρ sin θ en el cuadrantex, y > 0 (despejando obtendríamos el cambio inverso que sería ρ = p x 2 + y 2 , θ =arctan y x) vamos a transformar laexpresiónx ∂g∂x + y ∂g∂yYa hemos visto en el apartado correspondiente a coordenadas polares todo lo concerniente al cambio en sí, el cambioinverso, así como las parciales de ambos cambios de coordenadas y también cómo se relacionan las parciales de g enunas coordenadas y otras. Recordemos datos:∂x∂ρ =cosθ∂x∂y∂θ= −ρ sin θ∂ρ =sinθ∂y∂θ = ρ cos θ∂g∂x = ∂g∂g sin θ∂ρcos θ −∂θ ρ∂g∂y = ∂g∂g cos θ∂ρsin θ +∂θ ρLuego tenemos queRecapitulandolacosaasí:x ∂g∂x + y ∂g∂g= ρ cos θ(∂g cos θ −∂y ∂ρ ∂θsin θρ)+ρ sin θ(∂g ∂ρ= ρ(cos 2 θ +sin 2 θ) ∂g +(cosθ sin θ − sin θ cos θ)∂g∂ρ ∂θ = ρ∂g ∂ρx ∂g∂x + y ∂g∂y = ρ∂g ∂ρEjemplo 7.4 Supongamos que tenemos una funcióng : R 2 → R∂g cos θsin θ +∂θ ρ )=20