Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

z xy = ∂z x∂y∂z∂(a∂u= + c ∂z∂v ) ∂z∂(∂u= a ) ∂z∂(∂v+ c ) ∂z∂(∂u= a[ ) ∂u∂y∂y ∂y ∂u ∂y + ∂( ∂z∂u ) ∂v∂z∂v ∂y ]+c[∂( ∂v ) ∂u$$$$$∂v ∂y= a ∂2 z∂u 2 · b + a ∂2 z∂u∂v · d + c ∂2 z∂v∂u · b + zc∂2 ∂v 2 · d = ab ∂2 z∂u 2 +(ad + bc) ∂2 z∂u∂v + zcd∂2 ∂v 2+∂(∂z∂v )∂v∂v∂y ]=z yy = ∂z ∂zy ∂(b∂u= + d ∂z∂v ) ∂z∂(∂u= b ) ∂z∂(∂v+ d ) ∂z∂(∂u= b[ ) ∂u∂y ∂y∂y ∂y ∂u ∂y + ∂( ∂z∂u ) ∂v∂z∂v ∂y ]+d[∂( ∂v ) ∂u∂u ∂y + ∂( ∂z∂v ) ∂v∂v ∂y ]== b ∂2 z∂u 2 · b + b ∂2 z∂u∂v · d + d ∂2 z∂v∂u · b + zd∂2 ∂v 2 · d = b2 ∂2 z∂u 2 +2bd ∂2 z∂u∂v + d2 ∂2 z∂v 2Finalmente se tiene queAz xx + Bz xy + Cz yy =(Aa 2 + Bab + Cb 2 ) ∂2 z∂v 2 +(2Aac + B(ad + bc)+2Cbd) ∂2 z∂v∂u +(Ac2 + Bcd + Cd 2 ) ∂2 z∂u 2Ejemplo 7.7 Transformar la expresióncon el cambioz xx + z yyv = 4x +2yu = x − 3y>>>>>>>>>Ejemplo 7.8 Para unafunción z de clase C 2 cambiar la expresión z xx +4z xy +3z yy con el cambio∂v ∂uEn primer lugar se tiene que∂x=3,∂v ∂uIgualmente∂y= −1,Para las derivadas segundas se tiene quez xx = ∂z x∂x∂z∂(3∂v= + ∂z∂u ) ∂z∂(∂v=3 )∂x ∂xv = 3x − yu = x +2y∂x =1∂z∂(+∂x∂y =2∂u )∂z=3[∂(∂vz x = ∂z∂x = ∂z∂vz y = ∂z∂y = ∂z∂v∂v )∂z∂v ∂(+∂x ∂u∂v )∂v∂x + ∂z ∂u∂u ∂x =3∂z ∂v + ∂z∂u∂v∂y + ∂z∂u∂u∂z∂x ]+∂( ∂v∂u∂y = − ∂z∂v +2∂z ∂u=3 ∂2 z∂v 2 · 3+3 ∂2 z∂v∂u · 1+ ∂2 z∂u∂v · 3+ ∂2 z∂u 2 · z1=9∂2 ∂v 2 +6 ∂2 z∂v∂u + ∂2 z∂u 2∂u )∂z∂v ∂(+∂x ∂uz xy = ∂z ∂zx ∂(3∂v= + ∂z∂u ) ∂z∂(∂v=3 ) ∂z∂(∂u+ ) ∂z∂(∂v=3[ )∂z∂v ∂(∂v+ ) ∂u∂z∂y ∂y ∂y ∂y ∂v ∂y ∂u ∂y ]+∂( ∂u )∂z∂v ∂(∂u+ )∂v ∂y ∂u=3 ∂2 z∂v 2 · (−1) + 3 ∂2 z∂v∂u · 2+ ∂2 z∂u∂v · (−1) + ∂2 z∂u 2 · z2=−3∂2 ∂v 2 +5 ∂2 z z∂v∂u +2∂2 ∂u 2z yy = ∂z ∂zy ∂(−∂v= +2∂z ∂u ) ∂z∂(∂v= − ) ∂z∂(∂u+2 )∂z∂(∂v= −[ )∂z∂v ∂(∂v+ ) ∂u∂z∂y ∂y∂y ∂y ∂v ∂y ∂u ∂y ]+2[∂( ∂u )∂z∂v ∂(+∂v ∂y ∂u= − ∂2 z∂v 2 · (−1) − ∂2 z∂v∂u · 2+2 ∂2 z∂u∂v · (−1) + 2 ∂2 z∂u 2 · 2= ∂2 z∂v 2 − 4 ∂2 z z∂v∂u +4∂2 ∂u 2Finalmente se tiene que∂u )∂u∂x =∂u∂y =∂u )∂u∂y ]=z xx +4z xy +3z yy =9 ∂2 z∂v 2 +6 ∂2 z∂v∂u + ∂2 z∂u 2 +4(−3∂2 z∂v 2 +5 ∂2 z∂v∂u +2∂2 z∂u 2 )+3(∂2 z∂v 2 − 4 ∂2 z∂v∂u +4∂2 z∂u 2 )=14 ∂2 z∂v∂u +21∂2 z∂u 222