Tema 11: Cálculo diferencial de funciones de varias variables I

Ejemplo 1.6 Hallemos la derivada direccionalProcedemos así:de la función f(x, y) =sin(2x − 3y) en el punto x 0 =(0, 0) en la dirección de vector v =(v 1 ,v 2 )f[(0, 0) + t(v 1 ,v 2 )] − f(0, 0) f(tv 1 ,tv 2 ) − 0D v f(x 0 )=D (v1 ,v 2 )f(0, 0) =lim=lim=t→0 tt→0 taplicamos l’Hôpitalsin(2tv 1 − 3tv 2 ) | {z } (2v 1 − 3v 2 )cos(2tv 1 − 3tv 2 )=lim= lim=2v 1 − 3v 2t→0 tt→0 1Y si nos pidiesen ahora la derivada direccional en la dirección del vector (4, −5) se puede obtener, como el cálculoque acabamos de hacer, desde el principio cambiando (v 1 ,v 2 ) por (4, −5), pero es mejor, aprovechando los cálculosrealizados, en la expresión anteriormente calculada realizar la sustitución (v 1 ,v 2 )=(4, −5). DeestemodoEjemplo 1.7 Hallemos la derivada direccionalÉsta valeD (4,−5) f(0, 0) = 2 · 4 − 3 · (−5) = 8 + 15 = 23de la función f(x, y) =x +2yz 2 − e z en el punto x 0 =(−1, 1, 0) en la dirección de vector v =(−2, 2, 1)f[(−1, 1, 0) + t(−2, 2, 1)] − f(−1, 1, 0) f(−1 − 2t, 1+2t, t) − (−2)D (−2,2,1) f(−1, 1, 0) =lim=lim=t→0 tt→0 t=−1 − 2t +2(1+2t)t 2 − e t +2 1 − 2t +2t 2 +4t 3 − e tlim=lim=t→0 tt→0 taplicamos l’Hôpital| {z } −2+4t +12t 2 − e t= limt→0 1= −2 − 1=−3De la otra manera tendríamos que definiry hallar g 0 (0).g(t) =f(x 0 + tv) =f(−1 − 2t, 1+2t, t) =−1 − 2t +2(1+2t)t 2 − e tComo g 0 (t) =−2+4t +12t 2 − e t concluimos que D (−2,2,1) f(−1, 1, 0) = g 0 (0) = −3Ejemplo 1.8 Calcular la derivada direccional de la función(yx2f(x, y) =x 2 +ysi (x, y) 6= (0, 0)20 si (x, y) =(0, 0)en el origen en la dirección del vector (3, −5). Éstavalef[(0, 0) + t(3, −5)] − f(0, 0) f(3t, −5t) − 0D v f(x 0 )=D (3,−5) f(0, 0) =lim=lim=t→0 tt→0 t−5t(3t) 2(3t) 2 +(−5t) 2t→0=lim−45t 334t 2t→0=lim−45t34t→0=lim=lim − 45t→0 34 = −45 34tt tEn este caso no utilizamos la función auxiliar g ya que no se podría obtener su derivada por el modo usual. Esto sedebe a que la función f está definida en el origen (0, 0) de un modo aparte y diferente que en los demás puntos.2