Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt - Lahti
Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt - Lahti
Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt - Lahti
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Rationaaliyhtälöt</strong> <strong>ja</strong> -<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Hannu Lehto<br />
Lahden Lyseon lukio
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
2. Poista nimittäjät kertomalla<br />
yhtälö puolittain.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
2. Poista nimittäjät kertomalla<br />
yhtälö puolittain.<br />
3. Ratkaise saatu polynomimuotoinen<br />
yhtälö.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
2. Poista nimittäjät kertomalla<br />
yhtälö puolittain.<br />
3. Ratkaise saatu polynomimuotoinen<br />
yhtälö.<br />
4. Kirjoita vastaus, huomioi<br />
määrittelyehto.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
2. Poista nimittäjät kertomalla<br />
yhtälö puolittain.<br />
3. Ratkaise saatu polynomimuotoinen<br />
yhtälö.<br />
4. Kirjoita vastaus, huomioi<br />
määrittelyehto.<br />
Esimerkki.<br />
2<br />
x − 1 − 2 x = 1.<br />
Ratkaise yhtälö<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Päättele määrittelyehto.<br />
2. Poista nimittäjät kertomalla<br />
yhtälö puolittain.<br />
• •<br />
3. Ratkaise saatu polynomimuotoinen<br />
yhtälö. f(x)= 2<br />
x−1 − 2 x −1<br />
4. Kirjoita vastaus, huomioi<br />
määrittelyehto.<br />
Esimerkki. Ratkaise yhtälö<br />
2<br />
x − 1 − 2 x = 1.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
2. Ratkaise osoitta<strong>ja</strong>n p(x) nollakohdat.<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
2. Ratkaise osoitta<strong>ja</strong>n p(x) nollakohdat.<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
3. Ratkaise nimittäjän q(x) nollakohdat eli kohdat, joissa<br />
epäyhtälö ei ole määritelty.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
2. Ratkaise osoitta<strong>ja</strong>n p(x) nollakohdat.<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
3. Ratkaise nimittäjän q(x) nollakohdat eli kohdat, joissa<br />
epäyhtälö ei ole määritelty.<br />
4. Sijoita lukusuoralle osoitta<strong>ja</strong>n <strong>ja</strong> nimittäjän nollakohdat.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
2. Ratkaise osoitta<strong>ja</strong>n p(x) nollakohdat.<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
3. Ratkaise nimittäjän q(x) nollakohdat eli kohdat, joissa<br />
epäyhtälö ei ole määritelty.<br />
4. Sijoita lukusuoralle osoitta<strong>ja</strong>n <strong>ja</strong> nimittäjän nollakohdat.<br />
5. Päättele lausekkeen p(x)<br />
q(x)<br />
merkki kaikilla syntyneillä väleillä.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Ratkaisuperiaate:<br />
1. Muuta epäyhtälö muotoon p(x)<br />
q(x)<br />
olla >, ≤ tai ≥).<br />
2. Ratkaise osoitta<strong>ja</strong>n p(x) nollakohdat.<br />
< 0 (merkin < si<strong>ja</strong>sta voi<br />
3. Ratkaise nimittäjän q(x) nollakohdat eli kohdat, joissa<br />
epäyhtälö ei ole määritelty.<br />
4. Sijoita lukusuoralle osoitta<strong>ja</strong>n <strong>ja</strong> nimittäjän nollakohdat.<br />
5. Päättele lausekkeen p(x) merkki kaikilla syntyneillä väleillä.<br />
q(x)<br />
Tapa 1. Tarkastele osoitta<strong>ja</strong>n <strong>ja</strong> nimittäjän merkki erikseen,<br />
päättele niiden avulla osamäärän merkki.<br />
Tapa 2. Päättele osamäärän merkki eri väleillä käyttäen<br />
testiarvo<strong>ja</strong>.<br />
6. Kirjoita vastaus.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
−x 2 +4x−3<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
•••<br />
−1 1 3<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
•••<br />
−1 1 3<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
+ − + −<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
+ − + −<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
+ − + −<br />
−1 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 3<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
+ − + −<br />
f(x) = 5x − 3<br />
x + 1 − x<br />
−1 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 3<br />
−5<br />
−4<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
1 2 3 4<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 5x − 3<br />
x + 1 ≤ x.<br />
5x − 3<br />
x + 1 − x+1) x ≤ 0<br />
5x − 3 − x 2 − x<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3<br />
≤ 0<br />
x + 1<br />
−x 2 + 4x − 3 = 0 ⇔<br />
x = 3 ∨ x = 1<br />
x + 1 = 0 ⇔ x = −1<br />
−1 1 3<br />
•••<br />
−x 2 +4x−3 − − + −<br />
x+1 − + + +<br />
−x 2 +4x−3<br />
x+1<br />
+ − + −<br />
f(x) = 5x − 3<br />
x + 1 − x<br />
−1 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 3<br />
−5<br />
−4<br />
−3<br />
−2<br />
−1<br />
1 2 3 4<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 5
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
-1 0<br />
•<br />
••<br />
•1<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
-1 0<br />
•1<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
-1 0<br />
•1<br />
−<br />
f(− 1 2 )=−3 2<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
-1 0<br />
•1<br />
−<br />
+<br />
f(− 1 2 )=−3 f( 1 2 2 )=3 2<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
-1 0<br />
•1<br />
−<br />
+<br />
f(− 1 2 )=−3 f( 1 2 2 )=3 2<br />
−<br />
f(2)=− 3 2<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
-1 0<br />
•1<br />
−<br />
+<br />
f(− 1 2 )=−3 f( 1 2 2 )=3 2<br />
−<br />
f(2)=− 3 2<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
Hannu Lehto 3. lokakuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 5
•<br />
•<br />
Rationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
• Raationaaliyhtälöt<br />
• Raationaali<strong>epäyhtälöt</strong><br />
Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö 1 x ≥ x<br />
1<br />
x − x) x ≥ 0<br />
1 − x 2<br />
≥ 0<br />
x<br />
f(x)<br />
Osoitta<strong>ja</strong>n<br />
nollakohdat:<br />
1 −x 2 = 0 ⇔ x = ±1<br />
Nimittäjän nollakohta:<br />
x = 0<br />
+<br />
-1 0<br />
•1<br />
−<br />
+<br />
f(−2)= 3 2<br />
f(− 1 2 )=−3 2<br />
f( 1 2 )=3 2<br />
x≤−1 ∨ 0
Change language