Ludovic RESCH - Service Commun de Documentation UHP Nancy I

Figure 14 : Équilibre des prismes élémentaires : (a) équilibre des efforts normaux (b) équilibre des moments et
efforts tranchants
1.2.3.2 Résolution du système d’équations différentielles
Bien que le système ( 93 ) puisse être résolu quel que soit le chargement appliqué et quelles que soient les
conditions aux appuis, le chargement choisi est sinusoïdal et a pour formule celle de la relation ( 3 ), soit :
En s’inspirant de la formule de la déformée ( 8 ), il vient :
Comme d’après ( 357 ), l’effort normal à une forme de type similaire au moment et donct à la flèche (d’après
( 362 )), ici de forme sinus, soit la forme suivante pour le déplacement des sections selon :
En utilisant les relations ( 94 ), ( 95 ) et ( 96 ), le système ( 93 ) devient un simple système d’équations
algébriques puisque et ne s’annulent pas sur tout l’intervalle :
En résolvant la première équation de ( 93 ) pour l’inconnue il vient :
Où le coefficient permet de simplifier la formulation de . Ce coefficient est le même que celui
déterminé dans le modèle précédent ( 44 ). En remplaçant ( 98 ) dans la seconde équation de ( 93 ), il vient
l’expression de en utilisant la relation reliant et :
Ainsi
En remplaçant le terme par sa valeur issue de ( 44 ), la rigidité peut se formuler de la manière suivante :
28|Éléments constructifs
( 94 )
( 95 )
( 96 )
( 97 )
( 98 )
( 99 )
( 100 )
Il vient en remplaçant les inconnues et par leurs expressions ( 99 ) et ( 100 ) en fonction de , dans
la dernière équation de ( 93 ) :
( 101 )