Magnétostatique

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d r b u Corrigé I. Chaque élément Id θ produit un champ magnétique perpendiculaire au plan du losange et dirigé vers l’arrière, donc B a cette direction et ce sens. Les plans perpendiculaires au plan du losange et contenant une de ses diagonales sont des plans d’antisymétrie du courant, donc les contributions au champ magnétique des quatre cotés du losange sont égales et le champ magnétique est le quadruple du champ d’un coté. µ 0 Id ∧ u µ 0 Id sin ( θ + π/2 ) dB = dB = 4π 2 4 2 r π r = btan θ bdθ d = 2 cos θ b = cos θ r 1 2 r 2 cos θ = 2 b 2 µ 0I bdθ cos θ µ 0I π/6 B = 4∫ cos θ = cos θdθ 4π 2 2 cos θ b πb ∫−π/3 Par projections successives a 3 b = acos 60° cos 30° = 4 II. 4µ 0I π/6 4µ 0I ⎛1 B = [ sin θ ] = ⎜ −π/3 ⎜ + πa 3 πa 3⎜⎝2 3⎞ ⎟ 2 ⎠⎟ 2µ 0I B = ( 1 + πa 1 3) . A.1. B = µ 0Nie 1 x − µ 0Ni2ey π π π Comme cos( ωt + ) = sin[ − ( ωt + )] = −sin ωt 2 2 2 B = µ 0 NIm(cos ωtex + sin ωtey) 2 2 B0 = Bx + By B0 = µ 0 NIm ( Ox, u) = ωt dx A.2. Dans une tranche d’épaisseur dx , il y a 5 tranches de chacune 2a N dx 5 = 2a dx 5 = 2a 5µ 0Im B0= 2a −7 5 × 4 π.10 × 15,9 = = 0, 50 T −4 2.10 dx i a 1 i1 2 spires, donc : B.1.a. J 5 = 2 edx = 4a En d’autres termes, chaque spire coupe un plan contenant l’axe du solénoïde comme l’indique la figure, occupant un carré de coté 2 a : J i1 = 2 4a I 15,9 4a4(10 ) m 8 −2 B.1.b. J m = = = 3,975.10 A.m 2 −4 2 B.2.a. R 1 2 1 1 3 L L L Ds : magnétostatique, page 6 Tout plan perpendiculaire à l’axe Ox du solénoïde est un plan de symétrie du courant, donc d’antisymétrie du champ magnétique ; donc celui-ci est parallèle à Ox. La distribution du courant est invariante par translation parallèle à Ox et par rotation autour de cet axe, donc B = B() r ex. Appliquons le théorème d’Ampère à un rectangle situé dans un plan contenant l’axe du solénoïde, dont l’un des cotés noté 1, de longueur L , est parallèle à cet axe et situé à l’extérieur du solénoïde et dont le coté opposé : • noté 2 est aussi à l’extérieur du solénoïde : ( B − B ) L = 0, ce qui montre que le champ magnétique est uniforme à l’extérieur du solénoïde ; en fait, il est nul dans cette région ; • noté 3 est à l’intérieur de l’enroulement : ( B − B ) L = µ J( R + e −r) L ⇒ B = µ J( R + e − r) • noté 4 est à l’intérieur du solénoïde : ( B − B ) L = µ JeL ⇒ B = µ Je 4 x e 2 1 3 1 0 3 0 4 1 0 3 0 e B
⎧⎪ ⎪ ⎪ En résumé : B = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ µ 0Jeex µ 0J( R + e − r) ex 0 si r < R si R < r < R + e si r > R + e B.2.b. Voir ci-contre. dF = Jdτ ∧ B = Je dτ ∧ Be = JBdτe B.3. θ x r B.4. Soit y = R + e − r ; 2 2 dF e 2 µ 0Je 0 0 ∫ 0 dF = J. µ Jy. dSdy ⇒ = µ J ydy = dS −7 8 −3 2 2 dFm 4 π.10 (4.10 × 10 ) 5 B.5. = = 10 Pa dS 2 Cette force est très grande ; elle impliquerait une grande solidité de l’enroulement. Comme elle varie au cours du temps, elle créerait des vibrations auxquelles la bobine devrait résister (pas de résonance) et un sifflement. En pratique, les champs de l’ordre du tesla sont créés par des électroaimants, qui combinent bobinages et noyaux de fer pour obtenir de plus forts champs magnétiques. C.1.a.α. Le champ magnétique est la somme du champ magnétique extérieur uniforme Be e y et du champ magnétique intérieur Bi produit par le courant d’écrantage. Tout plan parallèle à OXZ est un plan d’antisymétrie du champ magnétique extérieur et de symétrie du courant d’écrantage, donc d’antisymétrie du champ magnétique intérieur et du champ magnétique total ; donc le champ magnétique total B = Beey+ Biest parallèle à l’axe des Y : B = B(,, x y z) ey C.1.a.β. Le problème est invariant dans toute translation parallèle au plan OYZ, donc B = B( x) ey C.1.a.γ. Le plan OYZ est un plan d’antisymétrie du courant d’écrantage, donc un plan de symétrie du champ magnétique interne ; c’est aussi un plan de symétrie du champ magnétique externe, donc c’est un plan de symétrie du champ magnétique total. Par conséquent, Bx ( ) est une fonction paire de x . C.1.b. Montrons tout d’abord que le courant d’écrantage ne modifie pas le champ magnétique à l’extérieur du supraconducteur. Calculons le champ magnétique à l’extérieur d’une couche de courant électrique caractérisé par la densité volumique de courant : ⎧ ⎪Jez si x < a j = ⎪ ⎨ ⎪ 0 si x > a L L L ⎪⎩ y –xsat –a 0 xsat a x Ds : magnétostatique, page 7 µ0Je B 0 R R+e L y –a 0 a Tout plan parallèle à Oxz est un plan de symétrie du courant, donc d’antisymétrie du champ magnétique ; donc le champ magnétique est parallèle à l’axe des y ; le problème est invariant dans toute translation parallèle au plan Oyz, donc B = B() x ey; le plan Oyz est un plan de symétrie du courant, donc d’antisymétrie du champ magnétique ; donc Bx () est une fonction impaire de x . Appliquons le théorème d’Ampère au rectangle de la figure : 2BL = µ J 2aL; 0 donc : si x> a Bx ( ) = µ Ja, si x< − a Bx ( ) = −µ Ja. 0 0 En ajoutant les champs magnétiques créés par les deux couches d’écrantage, on obtient alors un champ magnétique nul à l’extérieur du supraconducteur : par exemple, dans la région x > a , la couche de droite a − xsat crée le champ B = µ J e et la couche de gauche crée le champ 0 c 2 opposé, donc le champ magnétique créé par ces deux couches est nul. Il reste donc à calculer le champ magnétique dans le supraconducteur. Appliquons le théorème d’Ampère aux trois rectangles de la figure de gauche : y r x
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