Magnétostatique

I51.
Magnétostatique
Un courant I parcourt dans le sens des aiguilles d’une montre un losange de coté a et d’angles 60° et 120°.
Déterminer (direction, sens, grandeur) le champ magnétique qu’il crée au centre du losange.
II38. Étude d'un moteur électrique.
La conversion électromécanique dans les moteurs électriques est généralement basée sur l'interaction d'un champ
magnétique et d'un courant électrique. Dans la machine que nous nous proposons d'étudier ici, le champ magnétique est
créé par un bobinage fixe appelé stator. Un bobinage en rotation et alimenté par du courant continu constitue la seconde
partie de la machine appelée rotor.
Les fortes densités de courant des supraconducteurs permettent de réaliser des stators tout aussi performants que ceux
des machines à enroulements en cuivre, tout en diminuant les pertes énergétiques dans le matériau conducteur.
Dans toute la suite, les fréquences sont suffisamment faibles pour que l'on puisse considérer que l’hypothèse des états
quasi stationnaires s'applique à toutes les grandeurs variables envisagées.
A. Création du champ du stator.
En faisant abstraction des spires manquant dans la partie centrale, le montage ci-dessous est considéré comme un
ensemble de deux solénoïdes infinis et identiques, disposés dans le vide de sorte que leurs axes soient perpendiculaires
et concourants en leur milieu O. Chaque solénoïde est composé d'un enroulement pratiquement circulaire réalisé sur un
cylindre très long de rayon R, comportant N spires jointives par unité de longueur. Le solénoïde d'axe Ox est parcouru
par un courant d'intensité i1(t), celui d'axe Oy est parcouru par un courant d'intensité i2(t). L'orientation des conducteurs
est indiquée sur la figure n° 1. On veillera à respecter cette convention.
On suppose :
π
i1() t = Im cos( ωt) i2() t = Im cos( ωt
+ )
2
1) Montrer que le champ magnétique en
tout point de la partie centrale est telle que
Bt () = But 0 () , où B0
ne dépend pas du
temps et où ut () est un vecteur unitaire, du
plan ( e , e ) , dont on déterminera l’angle avec
x y
Ox en fonction du temps t.
2) Calculer B sachant que l'enroulement
0
de chaque solénoïde est fait de 5 couches
superposées de spires jointives d'un fil de
section circulaire de rayon a = 0,1 mm. On
donne I = 15,9 A et
µ =
m
π −7 −1
0 4 .10 H.m
.
B. Détermination des efforts sur le
bobinage.
On considère un seul des solénoïdes, celui d'axe Ox. On se
propose maintenant de déterminer les efforts subis par ce solénoïde
sous l'action de son propre champ (la réponse à cette partie n'a pas
d'incidence sur le reste du problème). On adopte un modèle dans
lequel les courants électriques filiformes circulant dans les cinq
couches du bobinage du solénoïde, sur une épaisseur e = 10.a, sont
remplacés par une distribution volumique uniforme de courant . Le
rayon intérieur du solénoïde, R, est égal à 5 cm. Le vecteur densité
de courant s’écrit j = Jeθ. 1-a) Exprimer J(t) en fonction de i1(t) et de a.
1-b) Exprimer la valeur maximale Jm de J. Faire l'application
numérique avec a = 0,1 mm et I m = 15,9 A . Préciser l'unité de Jm.
2-a) A l’aide du théorème d’Ampère, en supposant le solénoïde
infini, déterminer en fonction de J, e, R, µ 0 et r l'expression du
champ magnétique Brt (,) = Brte (,) x créé à la date t en un point
situé à la distance r de l'axe. On rappelle que le champ magnétique
est nul à l'extérieur d'un solénoïde infini.
2-b) Représenter graphiquement B en fonction de r à l'instant t où J = Jm.
Ds : magnétostatique, page 1
Figure 2 : coupe du solénoïde par un plan
perpendiculaire à son axe de révolution.

3) En déduire la force élémentaire de Laplace dFL (, r θ)
s'exerçant sur
l'élément de volume dτ = r drdθdx entourant le point M, en fonction de
J, B(r, t) et dτ . On
précisera le sens et la direction de cette force.
4) Par sommation sur le bobinage, en déduire, en fonction de J, e, R et
dF
µ 0 , l'expression littérale de la densité superficielle de force
dS
s'exerçant sur un élément de surface dS = r dθ dx .
5) Application numérique : e = 10a = 1 mm, R = 5 cm.
Calculer la valeur de dF
dS
à la date t où J = Jm.
C. Etude d’un matériau supraconducteur.
Lorsqu'un matériau est dans l'état supraconducteur, il est
dépourvu de toute résistance électrique et s’oppose à la
pénétration du champ magnétique. On considère une plaque
supraconductrice d'épaisseur 2a. On associe à cette plaque un
repère OXYZ, OX étant perpendiculaire à la plaque. La longueur
et la largeur de la plaque étant beaucoup plus grandes que 2a, on
adopte le modèle d'une plaque illimitée dans les directions OY et
OZ.
Cette plaque est plongée dans un champ magnétique uniforme
dont on ne considère pas la dépendance temporelle. A l'extérieur
de la plaque, on a Be = BeeY. Il se développe à l'intérieur de la plaque des courants
supraconducteurs d'écrantage de densité volumique de module Jc
constant, qui tendent à s'opposer au champ Be() t , en créant, à
l'intérieur de la plaque, un champ magnétique opposé.
Ces courants d'écrantage se développent d'abord sur la périphérie de la plaque et circulent sur une épaisseur d'autant
plus importante que Be() t est intense. On ne s'intéresse pas à la portion du supraconducteur qui permet de fermer le
circuit.
Dans le modèle de BEAN, l'écrantage du champ magnétique extérieur est réalisé dans la zone centrale
–xsat < x < xsat par une distribution volumique de courant périphérique caractérisée par le vecteur densité uniforme J e
suivant :
Pour x ∈ [–xsat,xsat] , Je = 0 ;
pour x ∈ [xsat,a], Je =+ Jcez
;
pour x ∈ [–a,–xsat], Je = −Jcez
.
On note Bint
le champ magnétique à l'intérieur de la plaque.
1-a) A partir d'un raisonnement reposant sur des arguments
qualitatifs à préciser soigneusement :
α) Montrer que Bint ne possède qu'une composante sur la base
( e , e , e ) .
x y z
β) Etablir que cette composante ne dépend que de x.
γ) Comparer les composantes B ( x) et B ( −x
) .
int
int
1-b) A partir du théorème d’Ampère :
α) Etablir que Bint est uniforme dans la zone x ∈ [–xsat,xsat].
β) Trouver B int en fonction de x, Jc,
xsat, a et Be pour tout x ∈ [–a,a].
Vérifier que les résultats satisfont aux conditions aux limites.
1-c) En déduire une relation entre xsat, Jc, Be et a lorsque le champ magnétique est nul dans la zone centrale (x ∈ [–
xsat,xsat]).
1-d) Montrer que cette relation n'est valable que pour 0 < Be < Bmax ; déterminer Bmax.
1-e) Représenter B ( ) en fonction de x pour –a < x < +a.
x
int
2) D'autres modèles d 'écrantage pourraient être proposés.
Ds : magnétostatique, page 2

2-a) Montrer que, dans tout modèle, on doit avoir J = J( x) ez.
2-b) Donner, en justifiant, la condition à respecter sur la fonction J(x) pour que le modèle soit adapté au problème.
III59. Solénoïde épais.
1) Une spire de centre O, de rayon R et située dans le plan Oxy est parcourue par un courant I dans le sens allant
de Ox vers Oy. Calculer le champ magnétique au point M de coordonnées cartésiennes ( 0,
0,
z)
. On fera une
démonstration et on exprimera le résultat en fonction de l’angle θ sous lequel on voit de M le rayon de la spire.
2) Un solénoïde de longueur L est considéré comme constitué par une seule couche de N spires jointives de rayons
R et d’axe Oz, à raison de n = N / L spires par unité de longueur. Soit α 1 et α 2 les angles sous lesquels on voit d’un
point M de Oz le rayon de la première spire et celui de la dernière. Toutes les spires sont parcourues par le même
courant I dans le même sens qu’à la question précédente. On considère d’abord un point M de l’axe du solénoïde, à
l’extérieur de celui-ci. Démontrer l’expression du champ magnétique en M.
3) Calculer le champ magnétique au centre O du solénoïde.
4) Une bobine épaisse est constituée de N ′ nappes de spires, chacune ayant un rayon R′ différent, et semblables
pour le reste au solénoïde de la question 2 ; ces nappes sont enroulées les unes autour des autres. La bobine a pour
longueur L , pour rayon intérieur R1 et pour rayon extérieur R 2 . On note n′ = N ′ /( R2
− R1)
le nombre de nappes par
unité d’épaisseur. Calculer le champ magnétique au centre O de cette bobine.
dx
2 2
On donne : ∫ = ln(
x + a + x )
2 2
a + x
5) Exprimer le diamètre d du fil en fonction de n .
6) Quelle est la relation entre n et n ′ si la vue en coupe des spires jointives
de la bobine est celle :
a) de la figure a ?
b) de la figure b ?
figure a figure b
7) Quel est le meilleur de ces deux arrangements de spires jointives dont la
coupe est représentée ci-contre ?
8) Calculer numériquement le champ magnétique en O si :
− 7
µ = 4 π .10 SI L = R = 5 cm R = 2,5 cm I = 1A n = n′
= 1000 spire/m
0 2 1
IV26.
Soit a une constante positive et j une autre constante. Considérons le champ magnétique créé par la distribution de
0
courant de densité volumique :
Si x > 0 , 0 exp( / )
j = j −x
a uy;
Si x < 0 , j = 0 .
1) Déterminer ce qu’implique la symétrie.
2) Montrer que les limites du champ magnétique quand x → ±∞ sont opposées.
3) Déterminer le champ magnétique dans tout l’espace.
V44. b
1) Déterminer la direction, le sens et la grandeur du le champ magnétique créé par un
segment AC parcouru par un courant I en un point M quelconque, à une distance b de la
projection H de M sur le segment et d’où l’on voit AH et HC sous les angles α et β.
2) Un carré de coté a est parcouru par un courant I Exprimer le champ magnétique
en son centre.
3) Exprimer le champ magnétique au point symétrique du centre du carré par rapport à
un coté du carré.
VI23.
1) Soit une spire circulaire de rayon R, de centre O, d’axe Oz et parcourue par un
courant constant I. Montrer par un argument précis de symétrie que le champ magnétique
en un point de l’axe est porté par cet axe. On note dans la suite B(z) la mesure algébrique
du champ magnétique sur l’axe Oz au point d’abscisse z.
O
α
M z
2) Déterminer le sens du courant pour lequel B(z) est positif au point M de la figure (la partie de l’axe en pointillé est
vue en perspective derrière le disque délimité par la spire).
3) Calculer B(z). Exprimer le résultat en fonction du champ magnétique au centre B0, de z et R.
4) Tracer qualitativement le graphe de B(z) en fonction de z.
5) De combien peut-on s’écarter du centre de la spire en restant dans son axe pour que Bz ne diffère pas de plus de un
pour cent de sa valeur au centre ?
6) En utilisant l’expression de la troisième question, de combien doit-on s’écarter du centre de la spire en restant sur
son axe pour que Bz soit inférieur à un millième de sa valeur au centre ?
Ds : magnétostatique, page 3
H
A
I
C
α
β
M

7) On s’intéresse à présent au champ magnétique au voisinage de l’axe. On souhaite donc exprimer les coordonnées
cylindriques (Br,Bθ,Bz) du champ magnétique en fonction des coordonnées cylindriques r,θ,z du point considéré.
Montrer par un argument précis de symétrie que Bθ = 0.
8) Montrer par un argument précis de symétrie que Br et Bz ne dépendent que de r et z.
9) On se propose de développer Bz(r,z) et Br(r,z) en puissances successives de r. On admet que le même
développement est valable pour r positif ou négatif (un point de coordonnée r négative est le symétrique par rapport à
Oz du point de cordonnée – r), ce qui suppose que le champ magnétique ne présente pas de singularité sur l’axe.
Déterminer par un argument de symétrie précis la parité en r de la fonction de r (à z constant) Bz(r,z) et la forme de son
développement jusqu’à l’ordre 2.
10) Déterminer par un argument de symétrie précis la parité en r de la fonction de r (à z constant) Br(r,z) et la forme
de son développement jusqu’à l’ordre 2.
11) Au voisinage de l’axe, le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul. S'agit-il d’une propriété
générale du champ magnétique valable en toute région, ou bien y a-t-il une raison particulière la justifiant ?
12) Exprimer le flux du champ magnétique à travers une surface fermée formée d’un cylindre d’axe Oz, de rayon r
petit et de longueur dz, ce cylindre étant complété par deux disques terminaux d’abscisse z et z + dz, en négligeant les
termes d’ordre en r supérieur à r 2 r dB() z
. En déduire que Br
= − .
2 dz
13) Au voisinage de l’axe, la circulation du champ magnétique sur un parcours fermé est nulle. S'agit-il d’une
propriété générale du champ magnétique valable en toute région, ou bien y a-t-il une raison particulière la justifiant ?
14) Calculer la circulation du champ magnétique le long d’un rectangle de cotés dz et r petit, en négligeant les termes
d’ordre supérieur à r 2 2 2
r dBz ()
. En déduire que Bz(, r z) = B() z − .
4 2 dz
15) Calculer explicitement Bz(r,z = 0) à cette approximation.
16) De combien peut-on s’écarter du centre de la spire en restant dans son plan pour que Bz ne diffère pas de plus de
un pour cent de sa valeur au centre ?
VII46. Validité du calcul du champ magnétique d’un courant rectiligne infini.
Les formules utilisées en magnétostatique ne sont valables que pour des circuits électriques
A
complets et stationnaires. Néanmoins, on calcule le champ magnétique d’un courant rectiligne
infini, bien que le circuit soit incomplet puisque les charges transportées ne peuvent revenir à leur
point de départ. Montrons que le résultat est quand même correct, en imaginant un retour du
R
α
courant à grande distance.
O a
Soit le circuit ci contre, parcouru par un courant I , constitué d’un segment AB et d’un arc de
cercle AB de rayon R et de centre O. On note 2α = π−2ϕl’angle sous lequel le segment est vu
I
de O et a la distance de O au segment AB.
B
1) Calculer la contribution B1
au champ magnétique en O du segment.
2) Calculer la contribution B2
au champ magnétique en O de l’arc de cercle.
3) Déterminer numériquement la valeur minimale de R/ a pour que le champ magnétique B de cet ensemble
diffère de moins de 1 % du champ magnétique B créé par un courant I rectiligne selon la droite infinie AB.
0
Ds : magnétostatique, page 4

Réponses
2µ 0I
1
I. B est perpendiculaire au plan du losange et dirigé vers l’arrière ; B = ( 1 + )
πa
3
.
II. A.1. B0 = µ 0 NIm
( Ox, u)
= ω t ; A.2. B0
5µ
0Im
=
2a
i1
= 0, 50 T ; B.1.a. J = 2
4a
; B.1.b.
8 −2
= 3,975.10 A.m ;
B.2.a. B = µ Jee si r < R,
B = µ J( R + e − r) e
si R < r < R + e, B = 0 si r > R +e ;
Jm
0 x 0
x
B.2.b. e e 0 c sat e 0 c sat
B = B si x > a, B = B − µ J ( a − x ) si x < x < a, B − µ J ( a − x ) si x < xsat
;
C.1.c. Be = µ 0 Jc( a − xsat
) ; C.1.d. Il faut que 0 < xsat
< a , soit Be < Bmax = µ 0Jca
; C.1.e. voir corrigé ;
C.2.a. J = J( x) ez;
C.2.b voir corrigé.
µ 0I sin
III. 1) Oz est un axe de révolution de la distribution de courant, donc B =
2R
θ
; 2)
µ 0nI
B( M ) = ( cos α2 − cos α 1)
; 3) B( O) =
2
µ 0nI
µ 0nn′
LI R2+ u
2 2
z ; 4) B = ln
1+ 4 R / L
2 R +
2 2 R + L /4
2 ; 5)
2 2 R + L /4
1
1 n
d = ; 6.a) n = n′ ; 6.b) n = n′
=
n
d 3
2 ; 7) b est préférable, car plus solide ; 8) B = 0, 0177 T .
µ 0ja 0 µ 0ja 0 x
IV. 1) B = B( x) uz;
3) Si x 0 B uz ; si x 0 B
⎡
2 exp( ) 1
⎤
< = > = − − uz
2 2
⎢
⎣ a
⎥ .
⎦
µ 0I ( sin β−sin α)
2 2µ 0I
µ 0I
⎛
V. 1) B =
; 2) B = ; 3) B = ⎜
4πb
πa
πa ⎜ ⎜⎝
10
−
3
⎞
2 ⎟
⎠ ⎟
.
−3/
2
VI. 1) axe de révolution ; 3) z u
2
z
B B0
2
R
1
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜
+
⎟
, où
⎝ ⎠
B
0
3
µ 0I
z
z
= ; 5) < 0, 082 ; 6) > 10 ; 7) tout plan
2R
R R
méridien est un plan d’antisymétrie du courant ; 8) axe de révolution ; 9) Bz ( r,
z)
B(
z)
+ r f ( z)
r ; 10) ( r,
z)
rg(
z)
, fonction impaire de
2
1
= , fonction paire de
B r = r ; 11) propriété générale ; 13) théorème d’Ampère et pas de courant
⎛ 2
3 r ⎞
dans la région ; 15) Bz( r,0) = B ⎜
0 ⎜1+ ⎟
4 2 ⎟ ; 16)
⎜⎝ R ⎠ ⎟
115 , 0 01 , 0
2
3 r
4 2
R
r
< 0,
01 ⇒ <
R
4
× = .
3
µ 0I α dθcos θ µ 0I
sin α
VII. 1) B1
= =
4π ∫ ; 2) B2
−α a 2πa
µ 0I
( π + 2ϕ
) R
=
; 3) > 50π
.
4πR
a
Ds : magnétostatique, page 5
1

d
r
b
u
Corrigé
I.
Chaque élément Id
θ
produit un champ magnétique perpendiculaire au
plan du losange et dirigé vers l’arrière, donc B a cette direction et ce sens.
Les plans perpendiculaires au plan du losange et contenant une de ses
diagonales sont des plans d’antisymétrie du courant, donc les contributions
au champ magnétique des quatre cotés du losange sont égales et le champ
magnétique est le quadruple du champ d’un coté.
µ 0 Id ∧ u µ 0 Id
sin ( θ + π/2
)
dB = dB =
4π 2 4
2
r π r
= btan θ
bdθ d =
2 cos θ
b
= cos θ
r
1
2 r
2
cos θ
=
2 b
2 µ 0I bdθ
cos θ µ 0I
π/6
B = 4∫ cos θ = cos θdθ 4π
2 2 cos θ b
πb
∫−π/3
Par projections successives
a 3
b = acos 60° cos 30° =
4
II.
4µ 0I π/6
4µ 0I ⎛1 B = [ sin θ ] = ⎜
−π/3
⎜ +
πa 3 πa
3⎜⎝2
3⎞
⎟
2 ⎠⎟
2µ
0I
B = ( 1 +
πa
1
3)
.
A.1. B = µ 0Nie 1 x
− µ 0Ni2ey
π π π
Comme cos( ωt + ) = sin[ − ( ωt
+ )] = −sin ωt
2 2 2
B = µ 0 NIm(cos ωtex + sin ωtey)
2 2
B0 = Bx + By B0 = µ 0 NIm ( Ox, u)
= ωt
dx
A.2. Dans une tranche d’épaisseur dx , il y a 5 tranches de chacune
2a
N
dx
5
= 2a dx
5
=
2a 5µ
0Im
B0=
2a −7
5 × 4 π.10
× 15,9
=
= 0, 50 T
−4
2.10
dx
i
a 1 i1
2
spires, donc :
B.1.a. J
5
= 2
edx
=
4a
En d’autres termes, chaque spire coupe un plan contenant l’axe du solénoïde comme l’indique la figure, occupant un
carré de coté 2 a : J
i1
= 2
4a
I 15,9
4a4(10 )
m
8 −2
B.1.b. J m = = = 3,975.10 A.m
2 −4
2
B.2.a.
R
1
2
1 1
3
L L L
Ds : magnétostatique, page 6
Tout plan perpendiculaire à l’axe Ox du solénoïde est
un plan de symétrie du courant, donc d’antisymétrie
du champ magnétique ; donc celui-ci est parallèle à
Ox. La distribution du courant est invariante par
translation parallèle à Ox et par rotation autour de cet
axe, donc B = B() r ex.
Appliquons le théorème d’Ampère à un rectangle situé
dans un plan contenant l’axe du solénoïde, dont l’un
des cotés noté 1, de longueur L , est parallèle à cet axe
et situé à l’extérieur du solénoïde et dont le coté
opposé :
• noté 2 est aussi à l’extérieur du solénoïde :
( B − B ) L = 0,
ce qui montre que le champ
magnétique est uniforme à l’extérieur du solénoïde ;
en fait, il est nul dans cette région ;
• noté 3 est à l’intérieur de l’enroulement : ( B − B ) L = µ J( R + e −r) L ⇒ B = µ J( R + e − r)
• noté 4 est à l’intérieur du solénoïde : ( B − B ) L = µ JeL ⇒ B = µ Je
4
x
e
2 1
3 1 0 3 0
4 1 0 3
0
e
B

⎧⎪
⎪
⎪
En résumé : B = ⎪
⎨
⎪
⎪⎩
µ 0Jeex
µ 0J(
R + e − r) ex
0
si r < R
si R < r < R + e
si r > R + e
B.2.b. Voir ci-contre.
dF = Jdτ ∧ B = Je dτ ∧ Be
= JBdτe B.3. θ x r
B.4. Soit y = R + e − r ;
2 2
dF
e
2 µ 0Je
0 0 ∫ 0
dF = J. µ Jy. dSdy ⇒ = µ J ydy =
dS
−7 8 −3
2
2
dFm
4 π.10
(4.10 × 10 ) 5
B.5. = = 10 Pa
dS
2
Cette force est très grande ; elle impliquerait une grande solidité de l’enroulement. Comme elle varie au cours du temps,
elle créerait des vibrations auxquelles la bobine devrait résister (pas de résonance) et un sifflement. En pratique, les
champs de l’ordre du tesla sont créés par des électroaimants, qui combinent bobinages et noyaux de fer pour obtenir de
plus forts champs magnétiques.
C.1.a.α. Le champ magnétique est la somme du champ magnétique extérieur uniforme Be e y
et du champ magnétique
intérieur Bi produit par le courant d’écrantage. Tout plan parallèle à OXZ est un plan d’antisymétrie du champ
magnétique extérieur et de symétrie du courant d’écrantage, donc d’antisymétrie du champ magnétique intérieur et du
champ magnétique total ; donc le champ magnétique total B = Beey+ Biest
parallèle à l’axe des Y :
B = B(,, x y z) ey
C.1.a.β. Le problème est invariant dans toute translation parallèle au plan OYZ, donc B = B( x) ey
C.1.a.γ. Le plan OYZ est un plan d’antisymétrie du courant d’écrantage, donc un plan de
symétrie du champ magnétique interne ; c’est aussi un plan de symétrie du champ
magnétique externe, donc c’est un plan de symétrie du champ magnétique total. Par
conséquent, Bx ( ) est une fonction paire de x .
C.1.b. Montrons tout d’abord que le courant d’écrantage ne modifie pas le champ
magnétique à l’extérieur du supraconducteur.
Calculons le champ magnétique à l’extérieur d’une couche de courant électrique
caractérisé par la densité volumique de courant :
⎧ ⎪Jez
si x < a
j = ⎪
⎨
⎪ 0 si x > a
L
L
L
⎪⎩
y
–xsat
–a 0
xsat
a
x
Ds : magnétostatique, page 7
µ0Je
B
0 R R+e
L
y
–a 0 a
Tout plan parallèle à Oxz est un plan de symétrie du courant, donc
d’antisymétrie du champ magnétique ; donc le champ magnétique est
parallèle à l’axe des y ; le problème est invariant dans toute translation
parallèle au plan Oyz, donc B = B() x ey;
le plan Oyz est un plan de
symétrie du courant, donc d’antisymétrie du champ magnétique ; donc
Bx () est une fonction impaire de x .
Appliquons le théorème d’Ampère au rectangle de la figure :
2BL = µ J 2aL;
0
donc : si x> a Bx ( ) = µ Ja, si x< − a Bx ( ) = −µ
Ja.
0 0
En ajoutant les champs magnétiques créés par les deux couches
d’écrantage, on obtient alors un champ magnétique nul à l’extérieur du
supraconducteur : par exemple, dans la région x > a , la couche de droite
a − xsat
crée le champ B = µ J e et la couche de gauche crée le champ
0 c
2
opposé, donc le champ magnétique créé par ces deux couches est nul.
Il reste donc à calculer le champ magnétique dans le supraconducteur.
Appliquons le théorème d’Ampère aux trois rectangles de la figure de
gauche :
y
r
x

[ Bx ( ) − B] L= µ L jxdx ( )
e
0
si − a < x < − x B( x) = B − µ J ( x + a)
e 0 c
si − x < x < x B( x) = B − µ J ( a −x
)
sat sat e 0 c sat
si x < x < a B( x) = B −µ J ( a − x ) + µ J ( x − x )
sat e 0 c sat 0 c sat
= B − µ J ( a −x)
e 0 c
sat
x
∫
−a
Explication simplifiée : appliquons le théorème d’Ampère au rectangle de droite :
x2
[ Bx ( ) − Bx ( )] L= µ L∫ j( x) dx,
donc B est uniforme dans une région sans
2 1
0
x1
z
dB
courant et plus généralement = µ 0 jz() x ; vues de très loin, les deux couches de
dx
courant d’écrantage sont très proches et portent des courants opposés, donc se
neutralisent et créent un champ magnétique interne nul : le courant d’écrantage ne
modifie pas le champ magnétique à l’extérieur ; l’expression de dB
L
x
donne alors :
dx
x1
x2
⎧⎪
⎪Be
⎪
B = ⎨
⎪Be
−µ 0Jc(
a − x )
⎪
⎪⎩
Be −µ 0Jc(
a − xsat )
si x > a
si x sat < x
si x < xsat
< a
Quelles sont les conditions aux limites à vérifier ? Comme il n’y a que des densités volumiques finies de courant, le
champ magnétique doit être fonction continue de x . C’est ce qu’on vérifie :
si x =± a B = Beey
si x =± xsat
B = [ Be
−µ 0Jc(
a − xsat
)] ey
B
C.1.c. B = µ 0 J ( a − x )
e c sat
C.1.d. Il faut que < x

2) Soit dN le nombre de spires dans la tranche dx :
dN
nRdθ
= ndx = nd ( R cotan θ ) = − 2
sin θ
3
µ 0I sin θ
B( M ) = ∫ dN
2R 3)
α2
µ 0nI sin θ µ 0nI
= ∫ − dθ
= ( cos α2 − cos α1)
α1
2 2
cos α 2 =
L /2
2
2
R + ( L/2)
=
1
2 2
1+ 4 R / L
α 1 = π−α2 cos α 1 = −cos α2
B( O) =
µ 0nI
u
2 2
z
1+ 4 R / L
4) Dans l’intervalle dR ′ , il y a ndR ′ ′ nappes, chacune produisant son champ
R2
magnétique. Donc B = ∫R1
µ 0nIn′
dR′
2 2
1+ 4 R′ / L
. Faisons le changement de variable
2R′ 2d
′
u = du =
L L
R .
R2
2 2
0nIn′ L 2
0
2
/4
L du nn′ LI R + R + L 2
R
ln
1 2 ∫ 2 2
2 2
2L
1 + u R1+ R + L / 4
1
µ µ
B = =
1
5) d =
n
6.a) n = n′
d 3 1 2 n
6.b)La distance entre deux couches est . n = n′
= =
2 d d 3 3
2
7) L’arrangement b est préférable, car les spires sont calées et résisteront aux forces
magnétiques.
( ) 2
−7
3 2 2
4 π .10
8) B =
IV.
× 10
2
× 0, 05 5 +
ln
2, 5 +
5 + 2,5
2 2
2, 5 + 2, 5
= 0, 0177 T
1) Tout plan parallèle à xOy est un plan de symétrie du courant, donc B est parallèle à Oz.
Toute translation perpendiculaire à Ox laisse invariant la distribution de courant, donc
B = B( x) uz.
2) La fonction exponentielle décroît assez rapidement, donc le courant est localisé entre
x = 0 et x = quelques fois a . Vu de très loin, cette région est assimilable au plan x = 0 . A
grande échelle, le plan x = 0 est quasiment un plan de symétrie du courant, donc un plan
d’antisymétrie du champ magnétique. Les champs magnétiques pour x =±∞ sont donc
opposés.
3) Soit Bu = lim B.
Appliquons le théorème d’Ampère au rectangle de
0 z x→−∞
2
la figure ci-contre : [ B( x ) ( ) ] ( )
1 − B x2 =µ 0∫j
x dx
.
Il en résulte que si x < 0 , B est uniforme.
Si x > 0 , B − B( x) =µ j exp ( − x/ a) dx =µ j a[ 1 − exp ( −x/
a)
] .
x
x1
x
0 0∫0 0 0
0
Si x → +∞ , 2 B0 =µ 0j0a ⇒ B0 =µ 0j0a/ 2.
D’où
µ 0ja 0 µ 0ja 0 x
Si x 0 B u ; si x 0 B
⎡
2 exp( ) 1
⎤
< = > = − − u
2 2
⎢
⎣ a
⎥
⎦
z z
Ds : magnétostatique, page 9
dx
R
α 2
α 2
L /2
α1
x
θ
d d
B
x 1 x 2
d
y
z O
z
j
x = 0
α1
M
d 3
2
x
B
j
x

V.
1) D’après la loi de Biot et Savart, le champ magnétique est perpendiculaire au plan de figure, dirigé vers l’avant et
vaut :
µ 0 Id
sin(
θ + π / 2)
B = ∫ 4π
2
r
bdθ
= b tanθ
⇒ d
=
2
cos θ
2
;
b 1 cos
cosθ
= ⇒ =
r 2
r b
2
2
θ
( sin β − sinα
)
µ I bdθ
θ µ I β
0 cos
0
µ 0I
B =
cosθ
cosθ
dθ
4π
∫
=
2 2
cos θ b 4πb
∫ =
α 4πb
2) Chaque coté du carré crée le même champ magnétique. Le champ magnétique s’obtient en multipliant par 4
l’expression précédente et en y faisant :
π
β =
4
π
α = −
4
a
b =
2
2 2µ
0I
B =
πa
3)
⎛ π ⎞
sinα
= sin⎜
−α
⎟ =
⎝ 2 ⎠
1
2
sin β =
1
=
2
3 + 1
1
10
⎛ π ⎞
sin⎜
− β ⎟ =
⎝ 2 ⎠
3
=
2
3 + 1
µ ⎛
0I
B
⎜
AC =
3a
⎜
4π
⎝
2
1 ⎛
− ⎜
−
10 ⎝
1 ⎞⎞
⎟
µ
⎟ 0I
1
⎟
=
10
⎟
⎠⎠
πa
3 10
µ 0I
⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎞
µ 0I
⎛
BCD
= BEA
= ⎜
⎜sin⎜
− β ⎟ − sin⎜
−α
⎟ ⎟ = ⎜
a
⎜
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
2πa
4π
⎝
2
3
−
10
1 ⎞
⎟
2
⎟
⎠
µ ⎛ ⎛ ⎞⎞
0I
= − ⎜
1 1
− ⎟
µ 0I
1
BDE
= −
⎜ ⎜
⎜−
⎟
a
⎟
4 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠⎠
πa
π
2
2
µ ⎛ 1 3 1 1 ⎞ ⎛ ⎞
0I
µ
= ⎜
⎟ 0I
= ⎜
10
B
− ⎟
⎜
+ − −
⎟
2
πa
⎜ ⎟
⎝ 3 10 10 2 2 ⎠ πa
⎝ 3 ⎠
L’expression est négative, car DE impose le sens de B.
VI.
D
α
β
E
I
C
A
1) Le champ magnétique en un point de l’axe est parallèle à l’axe, car celui-ci est un axe de révolution (ou de
symétrie) de la distribution de courant.
2) Voir figure ci-contre.
µ 0 I d
∧ u
3) B = ∫ = Bu
2
z .
4π r
dB
π
d
∧ u a pour module d , est dans le plan méridien et fait avec l’axe l’angle −α
.
2
µ 0Id
µ 0I
µ 0I
B = ∫ sinα
= sinα
d sinα
2πR
2
2
2
4πr
4πr
∫ =
4πr
I
O
α
M z
−1/
2
−3/
2
2
R ⎛ ⎞
Comme sin ⎜
z
α = = 1 ⎟
⎜
+
r
2 ⎟
⎝ R ⎠
, z u
2
z
B B0
2
R
1
µ 0I
B0
= .
2R
4) Voir graphe ci-contre.
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜
+
⎟
⎝ ⎠
, où
Ds : magnétostatique, page 10
3
10

−3/
2
⎛ 2 ⎞
2
5) ⎜
z
3
2
1 ⎟
z
z
⎜
+ > 1−
0,
01 ⇒ 1−
> 1−
0,
01 < 0,
01 = 0,
082
2 ⎟
2 2
⎝ R ⎠
R
R 3
−3/
2
⎛ 2 ⎞
6) ⎜
z
1 ⎟
⎜
+
2 ⎟
⎝ R ⎠
2
−3
z
< 10 ⇒
2
R
2 / 3 z
> ( 999)
⇒ > 10
R
7) Tout plan méridien est un plan d’antisymétrie du courant, donc un plan de symétrie du champ magnétique ; donc
le champ magnétique est dans le plan méridien du point considéré, soit B = 0 .
8) La distribution du courant étant de révolution autour de Oz, Br et Bz ne dépendent pas de θ .
9) Comme l’axe est un axe de symétrie du courant, c’est aussi un axe de symétrie du champ
magnétique, donc Bz r,
) est une fonction paire de r ; son développement au voisinage de
( z
2
Bz ( ) = ( ) )
10) Le même argument de symétrie montre que
( z)
( r z)
développement au voisinage de l’axe jusque l’ordre 2 est ( r,
z)
rg(
z)
l’axe jusque l’ordre 2 est r,
z B z + r f ( z , où f est une fonction inconnue de z .
Br , est une fonction impaire de r ; son
Br = , où g ( z)
est une fonction inconnue de z .
11) C’est une propriété générale du champ magnétique.
2
2
12) ⋅ dS = B ( z + dz)
πr − B ( z)
πr
+ 2πrdzB
(r.
∫∫
B z
z
r
∂Bz
En exprimant que ce flux est nul et que Bz
( z + dz)
− Bz
( z)
= dz
∂z
, on obtient la relation demandée.
13) Cela résulte du théorème d’Ampère et de ce qu’il n’y a pas de courant dans la région.
14)
C r
r
2
r′
dB
( )
( z)
r dB(
z)
B ⋅ d
= ′ ′
′
∫ Br
r dr
=
( )
0 ∫ − dr
= − z
A
0 2 dz 4 dz
E
2
r dB(
z)
B ⋅ d
= + ( z + dz)
D 4 dz
C E 2
2 2
r ⎡ dB(
z)
dB
( )
( z)
⎤ r d B
( )
() z
B ⋅ d
+ ∫ B ⋅ d
=
=
4
⎢ z + dz − z ⎥ dz
A
D
4 2
⎣ dz
dz ⎦ dz
C
A
z
D
B ⋅ d
+
A
B ⋅ d
= dz B r − B r = 0
∫
∫
∫
∫
C
∫
E
[ () ( ) ]
z
z
En écrivant que la circulation sur le parcours fermé ACDEA est nulle, on obtient
B
d
d
B
15)
( z)
2
2
⎛ 2 ⎞
⎜
z
= B ⎟
0 ⎜
1+
2 ⎟
⎝ R ⎠
( z)
dB
dz
B
dz
B
dz
z
−5
/ 2
−7
/ 2
( ) ⎛ 2 ⎞
⎛ 2
z 3B
⎞
0 ⎜
z 3B
= − + ⎟
0 z 5 2z
− × − ⎜
z 3B
+ ⎟
0 2 2 2
1
1 = [ 5z
− ( R + z ) ]
2
2 2
( z)
3B
( 4z
− R )
2
( r,
0)
⎛ 2
3 2z
⎞
⎜
z
= − B ⎟
0 ⎜
1+
2 2
2
R
⎟
⎝ R ⎠
=
R
0
2
⎜
⎝
R
2
4
−3/
2
2
R
r d B
= B0
−
4 dz
2
2
⎟
⎠
−5
/ 2
⎛
⎜
z
⎜
1+
⎝ R
⎛ 2
3B
⎞
0 z
⎜
z
= −
⎟
⎜
1+
2 2
R
⎟
⎝ R ⎠
⎞
⎟
⎠
−7
/ 2
⎜
⎝
( )
( ) ⎟ 2
z
3 r ⎞
2
2
2
R
2
2 R
⎛
z = 0 = B ⎜
0 ⎜
1+
2
⎝ 4 R ⎠
2
−5
/ 2
R
2
)
⎟
⎠
R
4
θ
B z
2
2
( z)
r d B
( r,
z)
= B(
z)
− .
4 2
dz
⎛
⎜
z
⎜
1+
⎝ R
3 r
16)
4 2
R
r
< 0,
01 ⇒ <
R
4
× 0,
01 = 0,
115 .
3
VII. Validité du calcul du champ magnétique d’un courant rectiligne infini.
µ 0 Id ∧ u
B = ∫
est perpendiculaire au plan de figure et dirigé vers l’avant. En décomposant
4π
2 r
d = drur O.
µ 0I
dθ
+ rdθu θ , on voit que B = s’exprime simplement en coordonnées polaires par rapport au point
4π
∫ r
Ds : magnétostatique, page 11
2
2
⎞
⎟
⎠
−7
/ 2
D
E
z + dz
z

a
1) = cos θ ; B
r
1
µ 0I α dθcos
θ µ 0I
sin α
= =
4π ∫
.
−α a 2πa
µ 2
0I π+ ϕ dθ
2) B2
= =
4π ∫ 0 R
µ 0I(
π + 2ϕ
)
.
4πR
3) B0
π0I
= .
2π
a
B − B0 B0 =
B1 + B2 B0 − 1 =
2cosϕ π + 2ϕ
+
a R
− 1
2
a
=
a π
( + ϕ) −( 1− cos ϕ)
.
R 2
2 a
B −B0 Si ϕ est très petit, 1− cos ϕ ϕ /2 ϕ ; alors,
R
B
π a 1
< ⇒
2 R 100
R
> 50π = 160 .
a
Ds : magnétostatique, page 12
0